Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Кнб ель, Н. Е. Кочин и Н. В. Розе, Теоретическая гидромехэиака, ч. И. стр.,350 — Й7; %. Мй!1ег, Е1а(зпппгй 1п й)е Тпын)е йег азпеп р)еззгдйегге~. Ее1рмй, 1939, стр. 113 — 1лб:. йрямолмикйнок движении вязкого глзА й 82) Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: а, р, Р, р, А Исследуем интегралы этик уравнений, конечные прн х = '-оо. Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы: п=нт, р=рт, Р=Рн р=рн 1=ты где индексом „1" обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всея величин при х= — са.
Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве ( — оо ( х с,. + со). Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при х = ~ со, нл единственное, существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл Рп = Ргпо 3 а третье, если в нем положить для простоты с = —, интеграл 4' з из пг 1+ — = гт+ —. 2 2 Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме: яи я — 1 Ы 4 Д / г(и~ Рьиг — = — — — (Рт) + — — (ч~ — ) ех д ях 3 пх ч дхг" что сразу даст интеграл Д вЂ” 1 4 Фи з Ф вЂ” 1 Ргпгп = — — Рг+ — Р— +Р и + Ргот я 3 Ых тт и нли 4 ди я — 1 — р — = Р,пт (и — ит) + — (Рг — Ртгт), 3 йх й При составлении последнего интеграла, кроме ранее прннятык граничных условий, использовано еще условие равенства нулю производной — при и'и и» х = — сс, вытекающее из конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении р через 1, согласно последнему равенству (49), а 1 и Р— через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определенна скорости и как функции от х: з я 1т+ у.пт 2 пз ~( к рт Ртпт(и — иг)+ — ~ — '' (ч1т+ +- — )-Рт(г). (50) Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, переудя к безразмерным июрдинатам: Рги,х — и х —, и= —. рт (гл. тщ диилмихА ВязкОЙ жидкости и ГАВА Будем ыметь, деля обе части уравнения (50) на ртизх.
тт 1 1- — „+ — — из 4 аз '", 2 2 Фй — ы 1 "1 ~~~ 1 1 — т 1т~ 'У или, замечая, что по формулам гл. 1Ч; 1з лсяуз аз 1 аз гт (я — 1) и~ (Ф- 1) М' ' получим 4 г А — 1 з Д вЂ” 1 з — зла~~а у(1+ — М вЂ” — и — М1 а ) == 2 Фл — Мта" — (1+ ДМз) и+ 1+ — Мд аМт и (бб) Корни этого уравнения бучум 1+ Ф Ф/ (1+ Ьз — ."+1М,11+А — 1 „~ (а+ 1) Мз 2 1+ 2 Мт 1+ АМз ч-(1 — Мз) ь~ д+1 2 1.
(Д+ 1)М" Введем пока лишь для краткости обозначение 1+ — Мз А — 1 .+1', смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (бо? можно переписать в следующем, более компактном виде: ~ — ) """ ) —,-„ а — 1 — 1и-— (а — 1) (и — аз) 4ДМ~'~ 2 / (боя) Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях а производная от схорости обращается в нуль; для этого рожны квадратное уравнение — Мзй' — (1+ ДМтз) а+ 1+ — Мз = О. 2 2 2 82) ПРЯМОЯИНВЙНОВ ДВИЖВНИВ ВЯЗКОГО ГАЗЧ Предположим, что изч.1 или, согласно принятому обозначению, 1+ — Мз '~1, М,~1; 2 2 иными словами, предположим, что вначале, при х = — со„поток был сверхззукозым.
Тогда, как это видно непосредственно иэ уравнения (50а), прн изменении й в интервале йз<'й~ 1 аргумент х будет изиеняться в интервале — со~х (со. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости й от значения иг = 1 на бесконечности вверх по течению с числом М, ббльшнм единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения иг на бесконе тости вниз по течению. Легко показать, что при и = йг поток будет доззуьоэызг (Мгч„ 1), Длн этого используем полученный в числе первых интегралов интеграл энергии и' иг 3 . 1 гг+ — = гт+ —, 2 2 ' из которого по предыдущеМу сразу следует.
1г г 1 иг 1 1 Г 1 1) 1 1 + (а — 1) Мг ~ (Д вЂ” 1)М„2) йг 2 ( — 1)(1+ — ', ' МЦ, 1+ — М,' 2 М =— й — 1 ДМг —— 2 8 последней формуле нетрудно узнать выведенное еще и 6 32 гл. 1Ч соотношение между числами Мт и Мг до и после прямого скачка уплотнения (формула (77) В ог). Отсюда сразу следует, что Мзч.1. Итак, рассматриваемое ие тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвукоаому г прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого ыза. Йетрудио Убедиться в том, что не только числа М, ио и температуры, плотности н давления на бесконечности вверх н вниз по течению связаны между собою теми жс соотношениями, что в теории пряного скачка уплотнения, изложенной в гл. 1Ч для газа беэ внутреннего трения.
Разница здесь в тои, что з идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую иориальную к линиям тока поверхность разрмза элементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассиатривать как предельное обрааоваиие, 83 Зак Пнк Л Г. Лгацянскнг 514 динамика низкой жидкости н Глзл (гл. чт 3 (6+1)т Я 4АМ1 будем пметгс й — 1 ь Г1+ 2 Мт прп х=- О нлн й — --0 и — — == = р пя. —; — ~( й+1 — М, 2 Интегрируя от этих значений и = ттгйя н 1 =- О, получиьг. н / — й — 1 — хн —— -Г- ~йз — — пя) пФй л + (и — 1) (и — пз) уг= (61) Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины и. Общий характер кривой скорости й($) по- 12 казан на рис.
162. Левая и правая ветви , кривой настолько быстро асимцтотическн стремятся к значениям пт = 1 и ат, что на самом деле фактическая ширина области, где происходит' переход, очень мала. Примем за меру толщины левого переходного участка средилно интегральную величину равную отношению заштрихованной на Рис. 162. рис. 162 левой части площади к максимальной разности ординат 1 — р йт на атом уЧасткс. Аналогично определим толщину правого переходного участка как 1 Ьт = — ~ (и лт) ФВ вт — пт 0 ие допускающее описания Прн помощи непрерывных решсний уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движсния, а именно интегралом дифференциального уравнения (60") в области юнпкення ( — оэ~'х ч, + схз). Покажем, что.
практически, зта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Мь Всриемгл к уравнению (56") и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна критической скорости а'", соответствующей паранетрам потока вверх по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение пРямОлинейнОе дВиженне НИЗКОГО Газа б 32) Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет равна: о СО б= бт+Яз= ~ (1 — и) бс+. (й — ит) йг (32) Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя степеня и в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры пли теплосодержаиия.
На рис. 133 приведе- нысоставлеиныеА.Е.ГО- й лавиной кривые измене- 1 ния толщины скачка 6, выраженной в частях длины свободного пробега молекулы Ю 1 = 1,2% й. Рт Рта (эн гэ ат — скорость звуКд, ВЯЗКОСТЬ, ПЛОТНОСТЬ на бесконечности вверх по течению), в функции от числа М, при различных л. На основании при- б веденных графиков можн заключить что тол- о . шина' скачка уплотнения Рнс. 163. имеет порядок длины свободного пробега, исключая значения Мо близкие к единице, или очень большие Мт (при л =1). Экспериментальная проверка этого факта очень ззтрудинтелыза, так как границы скачка в силу его колебательных нерем ценнй бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень малых временах экспозиции. С точки зрения излоткенной только что теории становится ясной причина указанного еще в гл.
1Ч возрастания в скачке уплотнег ия энтропии. Прирост энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковой поверь механической энергии, превращающейся за счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссютируемой в тепло энергии при движении вязкого шкимаемого газа будет выведена в следующем параграфе. Тот факт, по,толщина" скачка уплотнения имеет порядок дли г-свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще нользоваться в этом случае обычнымн уравнениями движения вязкого сжимаемого газа. Частные сзучан рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (ч =Оз) 3 и Прандтлем (с=О), а затем Релеем и беккером 1я= —, п=й, коэффи- 4 цнент вязкости не зависит от температуры).г ' См.
НапдЬнсй бег РЬузйц Вб. РП, 1927, 5. 328 — 331). (гл. Мй 513 динлмикл вязкой жидкости н глэл й 83. Работа внутренних сил и диссннацня механической энергии в движущейся вязкой среде — „„~ — Ж = ~ рР*Угй+ ~ р„° Удч+ ~ РЛ~„Ж; здесь Фг„представляет величину отнесенной к единице массы мощности всех внутренних поверхностных снл, включая сюда как давления, так и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами тяготения, пренебрегаем).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
