Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему образом, найдем: р — 1 — 14т = ~ оР ° Убт+ ~ иР У Ич+ ~ рИ,„~й = 1 с" ЛГ~ 2 ./ = ~ РР ° Убт+ ~ н ° РУбе+ ~ рК~„бт= Ф = ~ рР ° Убт+ ~ 61ч(РУ)де+ ~ р)Уг„Ж. Используя произвольность выбора объема т, получим то же выражение в дифференциальной форме: р — „~ Я = рР ° У+ 31ч (РУ) + рог„. (53) С другой стороны, умножая скалярио обе части основного динамического уравнения „в напряжениях" р — =рР+01чР М( лг на У, будем иметь: рУ вЂ”,=р г~ — 21=рР У+У ™р, ФУ Ф /1чл ЛГ М(,2 ~ (53') Работа внутренних сил трения (вязкости) эыаываег в движущейся жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (лиссипирующейся) в тепло. Чтобы найти количественное выражение этой мощности, применим прием, аналогичный принятому в 3 24 гл.
П1 для идеального газа. Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором объеме жидкости т, ограниченном поверхностью гл 3 33) гавота внттввнних сил и диссиплция энввгии 517 Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53)» получим искомое выражение Ие„в виде: (54) рИ;„= У. 01чР— б1ч(РУ). Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты х, у, г заменены на х„х, х ): а в У ° йЭ1ч Р— б1ч (РЧ) = ~~! !', (Ич Р)з — ~~$ — (РЧ)~— 4 1 , 1' ' дР~ ' а Х 'Х дхв Хдх~Х и е) 4 — 3 У 1 !» 4 ! 3 е аР„д „д~Ъ ~, д!ге Р' — — Ъ'е — — Р ч — ~ = — Р." —. тв (, гд ахи Удх/ Ь "д »,ф~! ,.ф 1 Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл. 1 обозначение дифференциального тензора Пм —— .3 —, представляет инвариантную д 1~~ комбинацию компонент тензоров Р и О: В Х РвР~!=Р Р, (55) су=з называему!о скалярным произведением двух гпензоров.
В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех компонент тензора: 3 Рв=Р Р= '~~ Р»». »,»ем Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле квадрата модуля вектора. Разложим дифференциальный тензор В на симметричную и анти- симметричную части, положив (звездочка, так же как и в гл.
1, обозначает сопряженный тензор): О= 5+ А, 8= — (й+ В~), А = — (1:! — 1'.1е), ! 1 или в проекциях." [гл. т«п 518 динАмикА вязкой жидкости и ГАЗА Тогда будем иметь (Р«в — — Р~«) В В В Х ~~дх Х «1 «1+Х «1 о + «3 1 ~ «4 1 «Я 1 Легко сообразить, что, в силу условия знтисимметрнчностн А«, = — А««, последняя сумма равна нулю: Р. А=',«' ,РИАО=О. «,3 2 Таким образом, вместо (54) получим В рМ,„= — Р.Я= — ~.', РиЯ„, ь1=1 т.
е. отнесенная к единице обаема мои«ность внутренних поверхностных сил равна взятому с обратным знаком скалярному произведению тензора напряженна на тензор скорое«ией деЯормицид. Этот, представленный формулой (56) результат имеет общее значение для любого течения сплошной среды, независимо от того, подчиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона илн нет. Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа, для которых справедливо линейное соотношение (11) 2 76 настоящей главы, будем иметь по (56) и (11): Вычислим скалярное произведение тензорной единиш«$ иа тензор скоростей деформаций Ю, "тогда получим (Ц=О при «';ау', $,« = 1): В В 3 Ф.
6=- ~3~ Й«36««= ~~) Я„= ~ — '=йчЧ, «,«=1 В 1 н, окончателыю, найдем искомое выражение мощности." Ф- =--22~'+ р 61 'У+ 8 р(61т%'-'. 2 (57) Во втором слагаемом р йт1«уз«ием мощность, затраченную силами давления на расширение газа (вспомнить 2 24). Остальные два слагаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, диссипированную за счет работы сил вязкости (внутреннего трения): фЧдд„— — — 2РЯЯ + — 11 (йъ' 1«)3.
2 3 (56) 9 84) УРАВНЕНИЯ ЛАМННАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 519 В частном случае движения несжимаемой жидкости будем иметгс рд?дв = — 2Р5Я =- — 2Р ) 5,'~ ——— ГЗ Г = — 2р ~(~~ ) +(3 ) + ),д ) + (58') Как видно из последней формулы, представляющей диссипированную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении жидкости, т.
е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие завихренности не предохраняет ввзкую жидкость от потерь энергии иа трение. Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса, выведенному еще во второй главе (формула (45) 9 16). Согласно (53), уравнение теплового баланса принимает вид: р,?Г (~~Я = Ф? рА?зя й или, подставляя явные выражения для Г? (формула (48) гл. Щ и Д?Г„ по (57), р ЯХТ) = ?61ч (Х бган ?) — р д! ч У+ 2~ Яз — — р (б?ч У)з.
(59) л 2 Ф Из уравнения (59) следуем что нцаивидуальное изменение отнесенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно, темперагуры) движущейся часпщы вязкого сжимаемого газа происходит за счет: 1) теплопроводности, 2) нагревания газа вследствие его сжатия и 3) превращения в гепло рабогы сил вязкого ~ранив. б 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламннариого пограничного слоя В основных задачах, выдвигаемых перед гидроаэродинамикой, авиацией, кораблестроением, турбомашиностроеиием н другими областями техники, приходится иметь дело с обтеканием тел лри больГлах значениях числа РейнольдсГА Представим себе некоторое тело (рис.
164), плавно обтекаемое вязкой жидкостью или газом. Будем увеличивать число Рейнольдса, изменяя для этого соо~ве~с1вующим образом илн плогпость и вязкость динамики вязкой жидкости и глзл 1гаа, чш среды, или переходя к геометрически подобному и подобно расположенному телу ббльшего размера, илн, наконец, увеличивая скорость набегающего потока. Ограничим способы увеличения рейнольдсового числа лишь одним условием, чтобы число М, характеризующее влияние сжимаемости среды, при этом либо сохраняло неизменное аначеиие, либо менялось в области тех малых своих значений, когда влияние сжимаемостн не существенно.
Наблюдаемое вблиан поверхности неподвижного обтекаемого тела возрастание скорости от нуля непосредственно на самой поверхности тела до величины порадка скорости набегающего потока в некотором удалении от тела будет при больших значениях числа Рейиольдса сосредоточено в весьма тонкой по сравнению с размерами обтекаемого тела области, причем при росте аи сольлыи оооаол Ф М иь слои ., слео" Рнс. 164, числа Рейнольдса толщина области все более и более уменьшается. Эта образующаяся только при больших значениях числа Рейнольдса, расположенная вблизи поверхности гела область движения вязкой жидкости называется пограничным слоем.
С кннематической стороны область пограничного слоя замечательна тем, что в ней практически сосредоточено все вихревое движение набегающей жидкости, а вне ее движение можно считать потенциальным, безвихревым. Действительно, в пограничном слое, как только что было отмечено, касательные к поверхности тела скорости меняются очень резко, а следовательно, их производные по нормали к поверхности обтекаемого тела очень велики, что приводит к большой интеисивносги завихренносги жидкости, проходящей сквозь область пограничного саюн.
Наоборот, на внешней границе пограничного слоя и вне его эти производные становятся сравнительно малыми, и взвихренностью внешнего по отношению к пограничному слою потока можно пренебрегать. Как уже упоминалось в начале гл. Ч, именно этим объясняется, почему прн реальных обтеканиях столь хороню оправдываются результаты расчетов обтеканий, произведенных по теории безвихревого движения идеальной жидкости.
При движении тела сквозь неподвижную жидкость или, чго все равно, при набегании на него однородного на бесконечносги потока, скорости деформаций, входящие в члены уравнений (14) настоящей главы и содержащие коэффициент й 84) УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 521 вязкости, вдалеке от тела окажутся очень малы, и уравнения (14) будут мало отличаться от уравнений Эйлера для .идеальной" жидкости. При этом „идеальном" движении реальной жидкости вихри, как мы уже внаем, образовываться не могут. Только пройдя сквозь область пограничного слоя па поверхности обтекаемого тела, поток становится вихревым и затем, уже оставив тело и попав В закормовую „кильватерную" область за телом илн, как еще иногда говорят, в область „аэродинаьшческого следа", постепенно теряет полученную завихренность, исчезающую вследствие диффузии, причем энергия вихрей преврапается в тепло, рассеивающееся благодаря теплопроводности.
Следующий простой опыт наглядно показывает возникновение пограничного слоя. Насыпем на поверхность воды в резервуаре какой- нибудь несмачиваемый порошок. Погружая вертикально в воду пластинку и медленно ее перемещая в продольном направлении, заметим, что не только близлежащие к пластинке частички порошка, но и далеко расположенные от нее частички будут увлекаться пластинкой в движение. При значительном увеличении скорости пластинки, казалось бы на первый взгляд, скорости частнчек жидкости (а с ними и частиц пороппса) должны были бы увеличиться как вблизи пластинки, так и вдалеке от нее.
Между тем„ отчетливо видно, что за пластинкой следуют лишь частички, расположенные в непосредственной близости к ней, находящиеся в пограничном слое и в „спутном потоке", как называют аэродинамический „след" аа движущимся сквозь неподвижную жидкость телом, перемещения же удаленных частиц становятся пренебрежимо малыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
