Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 93
Текст из файла (страница 93)
165) движение под действием направленного против движения перепада давления. Встреча набегающего потока с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению пограничного слои, а затем и к отрыву его от поверхности тела.
/ди ~ До точки отрыва 8, как видно из рис. 165, ~ — ) ) О, за точкой " ~ду4=о отрыва 1 — 1 (О; в самой точке отрыва инеем условие отрыва: ~,ду/а=а 2 84) УРАВНВННЯ ЛАМННАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ 529 В результате получим следующую безразмерную систему уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в сжимае- мом газе: ди ди 1 др д т ди~ ри й-+ ро й — = — — — + — ( 1» — ), х у 2 йх ду», ду)' — + —.
=О д (Ри) д (Ри) дх ду (ри — +ро — )((+ — М и")= д ~ д ~»+(~ 1 з)~ 2 р = —, (»о — 1), кМз Уравнения иензотермического ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости можно получить из этих общих уравнении, полагая число М, характеризующее влияние сжимаемости, равным нулю. Отбрасывая в третьем и четвертом уравнениях системы (63) члены с М „ получим следующие уравнения неизотермического пограничного слоя в несжимаемой жидкости: ди ди 1 йр д т ди ! Ри — +РΠ— = — — — + — ~ 1» — 1, дх ду 2»(х+ ду ~ ду/' д (ри) д (ро) — + — =О дх ду дт, дт 1 д т дт Ри — + Ро —,= — — (Р— ) дх ду а ду 1» ду)' 1 Р= т» Безразмерная плотность р в этой системе, так же как и вязкость»», предполагаются функциями Т. Пренебрегая, наконец, в случае малых перепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость, т.
е. полагая р=1, р,=1; получим упрощенную систему уравнений: ди 1 ди 1др дти ! и — 1О дх+ ду 2 дх+ дуе» ди до — + — =О дх ду дТ дТ 1 д»т "» ~-'» т» ° 34 з пипл.г.ла а динАмикА вязкой жидкости и ГАЙА (гл. чтп в которой последнее уравнение может служить для определения теввпературы, если из первых двух уравнений уже предварительно определено поле скоростей. Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерном виде, то они примуг вид (для размерных величин сохранены те же обозначения, что и для безразмерных): ди ди 1 ар д'и ди до — + — =о.
дх ду (65') — +ри — =о, ар аи ах дх и переходя к безразмерному коэффициенту давления р и безразмерной скорости и координате, для которых сохраним то же обозначение, чго и для раамериых, получим". (66) Подставляя это выражение безразмерной производной давленая в систему уравнений пограничного слоя, заменим в них давление на известную функцию и(х).
В этой форме уравнения плоского ламинарного слоя были получены впервые Л. Прандтлем в 190ч г. Установленные системы уравнений на первый взгляд представляются незамкнутыми, так как число неизвестных з них как будто на единицу превышает число уравнений. Так, например, в простейшем случае уравнений (66) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными: и, п,р, Т. На самом деле — и з этом характерная особенность теории пограничного слоя — прн больших значениях числа 1г распределение давлений в любых точках поперечного сечения пограничного слоя, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, совладает с распределением давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит смыкание пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это распределение давлений р = р(х) предполагается заданньш, определенным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании или измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий, расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.
Обозначим через и(х) размерную скорость, соответствующую размерному давлению р(х); тогда, замечая, что по теореме Бернулли ггьминьгный слой нь пльстинкя $ 86. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение Представим себе пластинку АВ длины 1 (рис. 166), продольно обтекаемую безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости плогности р со скоростью 1' . При этом анешнии потенциальный поток можно рассматривать как однородный с безразмерной скоростью 0 = 1 и давлением р= О. Система уравнений (65) сзодится к следующей: ди ди дти я — + = .„) дх+ ду дуа " ' — + — О ! ди де дх ду ' ! ( ) а граничные условия будут".
при у = О и О «х - 1 ' и=О, и —.--О; если хч, О или х 1, то ди — =О о=О. д у при у=со и любых х Решение такой задачи представляет непреодолимые трудносги в силу наличия необходимости удовлетворении услоаий по оси Ох. Задача эта Последнее более удобно, так как функция 11(х) аходнц очевидно, я гидродинамические граничные условия аадачи: при у=-О а=-О, о=О, (6) при у -+ оо и -+ 11(х), подробнее о которых будет сказано ниже а связи с рассмотрением простейших задач теории ламинарного пограничного слоя. динамика Вязкой жидкости и газа (гл.
тЕЕЙ была упрощена Влязиусом, предложившим рассматривать обтекание бесконечно длинной пластины — луча Ох — и затем уже применять полученное решение к отрезку АВ, т. е. удовлетворять приближенным граничным условиям: при у=О и х>О а=б,о=О, при у = со а =1. (68') Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функпии и и з должны зависеть не просто от безразмерных координат х и у, а от такой нх комбинации, чтобы при возвращении к размерным координатам выпа- дала величина Е. Такой комбинапией будет: и =У(у~)/х), о= =7(у/)Ех). ух (69) Действительно, переходя при этом к разлераьсн величинам, получим: в у у сь Е у со Е х ~ 1 ьх так что длина Е в решениях вьшадет.
Конечно, в заключительном этапе, прн подсчетах сопротивления трения для пластинки длины Е, эта длина вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса Чтобы свес~и две неизвестные функпин и н о или У' и 7 к одной, воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную функпию тока ф, положив: а~у о дф дд (70) Прн таком подходе к задаче исчезает характерная длина Е, между тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин Е Е $' 1'= == = и поперечных скоростей Ь" = =- = тГ~ Ф'К., / Р„Е ' ь М ф 88) лАминагный слой нл пластинки Тогда, вводя новый аргумент т) = =, будем имсг!и у 2 г'х я д (2 1/х) 1 (2 )гх) ( о о причем предположено, что при у=О, ф=-О.
Ис!гользуя для краткости обозначение: 2 ~ У(т!)г!т1=р(т!), о найдем такое выражение для ф!: Ф = Ф'хр(!). (70') Вычисляя (ижрих означает производную по т!): дф —, дп ! и= — = 1~х <р'(т!) — '= — о'(т), ду ду 2' — = — '7 (т!) = — %' (т!) ди ! „ дЧ 1 ду 2 ду ч ага ' дои 1 «о м( ) дуо йх ' ди ! „д, 1 у — =-7 (т!) — = — — — р (т!)=- — — т!р (т), дх 2 дх 8 )гхо ех — — — т(!) — и . гу Ю вЂ” = ъ/ г дх 2 )'х дх 1 и, 1 — '. (т)+ — 'ггч' Ю = — М' — 7). 2г'х ' 2х 2 Г'х которое надо решить при очевидных граничных условиях: при в=-О, 7=0, о'=-О при л = оо гу' = 2.
(71') уравнение (71) и граничные условия (71'), благодаря использованию безразмерных величин, приведены к чисто численному виду, не и подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68), получим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнснис третьего порядка с'х+ ос" — О, (71) 534 дннлмикл вязкой жидкости и глзл (гл.
оп содержащечу никаких параметров (плотность, вязкость, скоросгь, размер). Решение задачи может быть закончено численным интегрированием уравнения с той или другой точностью. Приводим табл. 14 значений безразмерной скорости и = — 9 (е) в функции от и с точ- 1 2 ' постыл до четырех знаков. Таблица 14 ! и= —, г'(ч) 2 и = — т~ (л) 1 2 68 Пользуясь этим табличным решением задачи, найдем прежде всего напршкение трения на поверхности пластинки, равное в размерных величинах: %).- Определял ~ннближенно по таблице т (03) — 1'(О), 323 0,1 э 1 будем иметь распределение трения по поверхности пластинки (72) Эта формула (ход изменения т показан на рис. 1бб) дает очень хорошее совпадение с опытными данными, исключая области, непосредственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72) имеем: ((„~,=~, (т ) =0,332 на самом же деле -.
и при х=-0 и при х=1 из соображений непрерывности и симметрии потока должно быть равно нулю, 828 989 617 298 '38 0,5168 0,574 0,6298 0,681 0,7290 0,772 0,811 0,8460 2,3 24 2,5 2,6 2.7 2,8 2.9 0,9%7 0,9878 0,991 5 0,9942 0,%62 0 9775 0,9984 635 лАмннАРный слой на плАстинкв Суммируя напряжение трения по обеим сторонам пластинки вдоль всей ее длины, получим полную силусопротивления трения(Я)(27.!в смоченная поверхность, С,— коэффициент сопротивления грения): Ю'~ —— -СГЬ' — =-2 ~ т гух==1 3231'рр!1Г" (72) а и выражение коэффициента сопротивления грения: (72") Экспериментальное определение сопротивления пласгинки, пограничный слой которой полностью ламинарен„ представляег большие трудности, связанные с невозможностью создания достаточно тонкой пластинки с острыми носиком и хвостиком, необходимостью измерения малой силы, малых скоростей и лр. Наиболее точные экспериментальные значения коэффициента сопротивления пластинки оказьааются близкими к теорети- (ББ ческому (72ч).
Рассмотрим еще безразмер- и ное распределение скоростей по сечениям пограничного слоя. Согласно формуле, О,Б и= — 2 (тг) 1 2 ' ,или в размерных координатах и скоростях 0 Г Е Б 4 Б Б — ~.. у /Кю Рис. 167. можно дать одну кривую распределения скорости зо всех сечениях слоя. Такая теоретическая кривая проведена на рис.
167 сплошной линией. На том же рисунке приводятся экспериментальные точки,' которые хорошо совпадают с теоретической кривой в различных сечениях пограничного слоя (л= 3 слг, 10 си и 15 слг). Некоторое заметное отклонение при л = 3 сл объясняется близостью этого сечения к носику, который представлял г по опытам хвнзена см. м. и а иве и, 1!ге сгевсьчггпогйкеггв чеггенвпй гп пег сггепввс!нсвг ап егпег е1пяешвснгеп ргагге. хе11всйг. Ваг Апяен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
