Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 94
Текст из файла (страница 94)
ма!не~в. Нпб МесЬвггга, Вф 8, Н. 3, 19Ж (гл. тш дннамнка вязкой жндкостм н ГАВА на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные сгенкн. Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке. Уже ранее упоминалось, что понятие .толщины" пограничного слоя весьма условно. Если под толщнной пограничного слоя попика~э такое размерное расстояние у = 5 от стенки, где продольная размерная скорость а лишь, например, на один процент отличаегся от скорости внешнего потока \~, то по табл.
14 найдем приблизительно ч г У в а если повышать точность совпадения и н Ъ', то толщина будет соответственно увеличиваться. Так, еслн потребовагь, чтобы отклонение не превышало 0,2о~о, то коэффициент 5,0 в предыдущей формуле заменится на 5,8 и т. д. В настоящее время набегают пользоваться этим приближенным понятием (ход возрастания 5 вдоль пластинки показан на рис. 166), вводя для характеристики „толщины" слоя некоторые ннтегральные определения. Так, общеприняты: „толщина вытеснения" 5'., равная йэ = ~ (1 — — ") ду =-1,721 ~/ — ' о н „гплщнна потери импульса" = ) — ( 1 — — ) ду = 0,664 ~~ —. Формулы этих величин для общего случая обтекания любого ця линдрического тела и физический их смысл, объяснеощий происхождение наименований, дадим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности, как представление о толщине слоя (5=.'- 35* =' 7,5 5"э), но зато слабо зависит от неточности учета совпадении и и Г прн больших у.
Так, нз формулы 1' *Р'= ~ (Ь' — а)Иу э видно, что выраженная в безразмерных величинах правая часть представляет заштрихованную на рис. 167 площадь, заключенную между кривой скоростей, „осью ординат" и прямой и= 1'; величина этой площади (1,72) мало зависит от ошибки, которая будет сделана, если ннтегрнрованне производить до конечной абсциссы, равной, напрнмер, й оо) льмннагный слой па пластинкв 537 пяти, а не шести, семи н т. д.
Аналогичное замечание можно слелагь и относительно величины йээ. Интересно отметить, что в рассматриваемом случае продольного обтекания пластинки кривые изменения условных толщин пограничного слоя вдоль пластинки представляют собою изогахи погока. В самом деле, при: у =о(х), у =-6" (х) или у =аз" (х) будем иметь: и= — Ъ" <~ (сопз1)=-сопя( - Ъ' . 1 Отсюда не следует делать вывода, что и при обтекании любого тела граница пограничного слоя совладает с изотахой; этим свойством обладает лишь пограничный слой на пластинке. Если поток изотермнчен, то решение задачи о продольном обтекания пластинки с ламиварным пограничным слоем заканчивается проведенным только что определЕнием скоростей напряжения трения я коэффициента сопротивления.
Если же поток не нзотермнчеи, как это будет, например, иметь место при искусственном поддержании на поверхности пластинки размерной температуры Т„„отличной от температуры набегающего потока Т, то в этом случае представляет интерес разысканяе также распределения температур в потоке и количества тепла, снимаемого потоком с пластинки илн, наоборот, отдаваемого потоком пластинке. Введем вместо размерной температуры Т безразмерную температуру 6, равную 6= Т Т Т вЂ” Т и будем опять вместо задачи о пластинке решать задачу об обтекании плоскости, уходящей иа бесконечность вниз по потоку и нагретой до постоянной температуры Т . Предположим, что перепад температур ҄— Т„настолько мал, что можно пренебречь влиянием температуры иа плотность и вязкость ,жидкости.
Положим в третьем уравнении системы (65)' Т= Т вЂ” (Т вЂ” Т ) 6(т)) и заменим по предыдущему а и и на их выражения через функцию йч 1, 1 л= — э'(и). п==(ът' — р) 2 2)гх тогда после простых приведений будем иметь линейное относительно 6 уравнение (73) 6" + эг6' = О, решение которого по аадаиному 6(ч) не представляет труда. т В силу однородности этого уравнения по отношению к температуре безразлично считать Т размерным или безразмерным, [гл. члн динамика вязкой жидкости н ваза Имея н виду граничные условия: при ч=о 6=0, при т~ — — о; 6=1, легко получим: — ч) теч о о 6 (6) .— — — —— (73в) Это выражение можно еще упростптьч если заметить, что по (71): тт 3 ч чбт= — ) ~= — 1п '; —— зе(6) ' а следовательно, Окончательно будем имсты (Че (6))~ юХч 6(ч) = ) !ге(6))'дз в (74) Особенно простой результат получается, если жидкость такова, что приближенно можно положить в=1, тогда квадратуры берутся легко и из равенства (74) следует: 6(4) =— ч'(6) ч'( )' нли в размерных величинах: уж — т и (74') Таким образом, если число рея с=— Л близко к единице, что в некотором приближении имеет место, например, для многоатомных газов„то распределение температуры в неизотерническоп похраничном слое вблизи пластинки с постоянной вдоль ее поверхности телгпелатурой подобно рисиредавению продольных скоростей й 86) ллминыный слой на пластинки 639 ты (), отдаваемое в едиигшу времени одной стороной поверхнОсти пластинки.
если дэя Определенности Ти) Т . Будем иметь по формуле Фураж 0,00 г ~ ~6Т~ 000 э причем предполагается, что, 0 Г 7 3 4 в силу плоского характера потока, расчет ведется на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости движения. Введем в рассмотрение безразмерное число Нусссльта )4, равное аг И=в Х ' где величина а определяет коэффициент теплоотдзчи, равный секундному количеству тепла, отдаваемому едишщей площади пластинюг и отнесенному к единице температурного напора: а = —.—. = (Т„-Т )1.1 Будем нметь1 1 О (и ) а ® в о иаи н принятых безразмерных величинах: Х=-~ — ) . ~ .
~/'Й' — ~ ) .'~г'К =у(а)~')г . (75) а Здесь функция у(а), равная .( ~лб~ (0 (о))' ~(э()) а э может быть. кан показал Польгаузен,г приближенно представлена формулой У (а) = 0,664 )Г э; (75ь) З В. Ро)11Ьацзеп, Хш(зойка йи Апцетг. Ма!11. Ипб Меспаой1э В61,19Л), В случае жишгостей. как было указано в начале настоящей главы, число с во много десятков, а иногда и сотен раз превышает единицу. В этом случае 0 (ч) приходится вычислять непосредственно по формуле (74). На рис. 168 показаны кривые для нескольких значений чисел э. Вычислим количество тепло- динамика вязкой жидкости и газа 1гл. тш о степени приближения можно судить по цифрам табл.
15. Таблица 15 0,664 т а у (а) У(а) 1,64 70 10,0 15.0 1,29 1,46 1,67 0,641 0,664 0,685 0,9 1,0 1,1 0,640 0,664 0,687 Таким образом, вместо (7о) можно пользоваться простой приближенной формулой: 7г'! 14=0,664~'. )~'к,.=0,66417 "'," 17 (76) Исследование ламинарного аэродинамического и теплового следа непосредственно за пластинкой представляет большие математические трудности. Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости вдалеке вниз по потоку от задней кромки пластинки. т й йй.
Ламниарный пограничный слой при степенном задании скорости внешнего потока (у=сх"' Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных производных (65) к обыкновенному уравнению является такое движение жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость внешнего потока на границе пограничного слоя определяется степенным равенством я (77) Этот случай янтересеп, как пример ускоренного (иг ) О) или залыдлекного (тс. О) движения во внешнем потоке; анализ решения атой задачи позволяег сделать выводы об особенностях поведениа пограничного слоя в такого рода потоках. Обозначая, как и раньше, через 1 и т' масштабы длин и скоро:тей, будем иметь: \~= ср' (77') т См.
Л. Г. Лойцявский, Азродинамика пограничного слоя. Гостехвдат, 1941, стр. 118 — 124. т У. м. г а18 не г апб 5. ьч. $ на и, Акс цам да 13!4 (19%), а также Х й. На ге!ее, Ртосееб. о1 !не СатогИйе Рй!!. Яос. 33 (1937), Зная число И, козффнцнент теплопроводностн Х и температурный напор Т,, — Тч, легко определим и отнесенное а единице ширины пластинки попе.
рек потока количество теплоты !), отдаваемое в единицу времени потоку одной стороной пластинки: д=).(à — Г) 14. ф 88) степянкой закон сковостн внвшняго потока 64! и, взяв отношение левых и правых частей, илн, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и для размерныхе ц хм Уравнения ламинарного пограничного слоя (85) в силу равенства (бб) прн безразмерном р=1 будут иметь ввд: да ди е даа и — + о — = ииаы г+ дл ду да» да дп — + — =О.
дл ду В данном случае имеем масштабы А=1, у= —, г 1% причем в силу (77') И сР' К= — = —, К=а; Из условия независимост~ решений уравнений (78) от масштаба 7, который отсутствует в условиях задачи, следует, что искомые функции должны зависеть не от безразмерных х и у отдельно, а от такой нх лцабанацаа„чтобы при переходе к размерным величинам масштаб 1 выпал.
Сравнивая выражение Х и Г, видим, что искомой комбинацией безразмерных х н у является ц =ух Полагая в безразмерных величинах и=ф(ф=х~~(ух -' ), введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78), без» размерную Функцию тока ф; тогда будем иметь: 9 я ы т еа+г ы+т ф= ( аду=хм ~,г(ул ' )Иу=х ' ~ ~(ц)с7ц=х ' о(ц). (80) О е о $86) стзпвнной закон скогости внзшного потокА 343 3 = ~ (1 — — ") (у, 3 = ~ — "(1 — — ") (у, о е илн, согласно (83'): С \ 3" = ~ (1 — Ф' Щ) аЕ ° $/ —, = А(Р) ), Ят, о 3 ' = ~ Ф'(Е)11 — Ф'(Е))А'.'6~ ~, =В(р) ф~ ф.
а Входящие сюда функции А(р) н В(р), рзвште А(6) = ~ [1 — '1н(Е)) г1Е, В(Р) = ~ Ф (.)11 — Ф'(Е)ИЕ. о о (85) Пользуясь зтимя равенствами, легко установим граничные условия задачи. Ф (0) = Ф' (0) = О, Ф' (со) = 1. (84) Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение третьего порядка, решение которого прн граничных условиях (84) может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на специальной интегрирующей машине, как зто сделал Хартри в цитированной на стр.
640 работе. Рбзультаты численного интегрирования сведены в табл, 16 значений отношения скоростей и/Е1 илн функции Ф'(Е) при различных величинах параметра р. Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать нз рассмотрении табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным т соответствуют ускоренные внешние потоки (У'".ь О), имеющие место в конфузорных (сходящихся) каналах, а отрицательным и — за.кедлзкнмз потоки (Ег" ~ 0), наблюдаемые в диффузорах (расширяющихся каналах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
