Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Чтобы определигь коэффициенты сопротивления Х илн ф в рассматриваемом конкретном случае ламинарного движения в круглой трубе, заменим в (29) Лр его выражениями череч среднюю или максимальную скорости по (27') нлн (27"). После простых сокращений будем иметь ),= —— 94 Р. Рге„л б 4Р, РГРппалл Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдсап: ап и Ргвтахп Пеппппп й Р, и Гогда окончательно получим формулы сопротивлении 64 4 о= — —. й,' ' К Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений гли Р, представляющие по (29) не что иное, как особым образом :оставленные безраамерные сопротивления или перепады давлений 1 трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса Й.
.сли два ламинарных течения в цилиндрических круглых трубах ь 79) ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕ ННЕ ПО ТРУБЕ подобны между собою, то соотвегствуюгцие им числа К равны друг другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, дзян<ения не подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце предыдущего параграфа, коэффициенты сопротмалений представятся некоторой функцией (ЗО) числа К, по которой может быть вычнслено сопротивление при любом ламинарном движении. Зная диаметр трубы и среднюю или максимальную скорость, по формулам (29) и (30) можем определить сопротивление Ьр движению жидкости с заданнымн коэффициентами вязкости м и плотности р на любом участке длины 1. Наиболее употребительны первые формулы равенств (29) и (30), заключающие коэффициент 1 н среднюю скорость те,р. Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круглой трубы, равное по закону Ньютона ( дв ) (31) В силу равномерности и осесимметричности движения можно составить простое условие равновесии столба жидкости (рнс.
157) в трубе под действием движущего перепада давления Ьр, приложенного к сечению трубы с площадью паз, и сопротивления трения на т„Ела 1 стенке, равного произведению напряжения трения т„, 1р ар)ла" ', м „л ла' на боковую гюверхность 2иа ° 1 участка 1 трубы: Ьр ° яаа= 2яаХ °; . Отсюда следует, что между Рис. 157.
движущим перепадом и напряжегшем трения существует просгое соотношение (31') А 8 р (32) Для дальнейшего важно отметить, чго формулы (29) и (32), так же как и соотношение (31'), являются общими формулаяи движения которое можно сформулировать так: напряжение трения на поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке длиной в половину радиуса.
Формулы (29) на основании (31') дают следующие выражении напряжения трению (гл. ип линамикл вязкой жидкости н газа в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не талька для ламинарного, по и для так называемого „турбулентного движения, о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (ЗО) верны только для ламииарного режима. Подставляя значения й и ( из (ЗО) в (32), получим: 4яю шах (32') Эти же результаты получим, вычисляя т„по формулам (3(), (24"), (27') и (27"). В случае трубы эллиптического сечения напряжение трения на стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симмегричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения по периметру эллипса меныпе, чем напряжение трения в круглой грубе той же площади сечения.
Аналогичный результат имеет место и по отнощению к объемному расходу. "при том же перепаде давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через равновеликое ему по площади сечение круглой трубы. Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы (24") можно получить и иначе.
Составим вместо (23) уравнение движения в полярных координатах г, е. Для этога выразим лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим в качестве основного уравнения: (зз) Интегрируя, найдем общее регпение ы = — — Р гчв -~- С )и г' -'- С . 4р1 (зз') Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г". = 0 следует, что С, = О; вторая постоянная найдется из условия те=-0 при г' =-и„ при ге=а и г =а, чго приведет к полученной ранее „параболе скоростей" (24").
Решение (33') предсгавляет преимущество по сравнению с ранее приведенным. Так, например, пользуясь равенством (ЗЗ'). легко получить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя соосными круглыми пилиидрами радиусов а и Ь'>и. Подчиняя репзеяие (33 ) граничным условиям; 7Ч! лАминАРнОе днмжгник ПО тРувй нолучим внюру скоростей бд; а гашке формулы расхола и средней скорости: кзр Г (Ьз — ав)з З Ь4 з4 ЗР1 ~ 1н(Ь/а) 1' Задача о ламинарном двггжении вязкой несв.нмаемой в.ндкости сквозь иилнндрнческую трубу нропззольного сечсчшя не ирелставляет ирниципиальнык затрулнении )(ело сводится к решению уравнения Пуассона (23) с постоянным свободным чченом.
Зная частяое решение чравнення (23) ш = ш, и заменяя ш на сумму ш+ шь, свелем ч равнение (23) к плоскому у равиешво Лапласа. для решения которо~о мозно применять исток кочнчексночо иеремениого ичи другие приемы Привслем без доказательства заимствованные нз теории кручения призматичесшга стсржнеи прячоугольного сечения формулы скоростей и расхода в чамниарном Лви.кении несжнмаемочч вязкои жидкости сквозь призматическую тр1бу лряхоугольного сечения ( — а~х~а, — Ь 'у==-Ь, а)Ь). 5— Знх 1 16Ьз ку 2Ь 1 Злу 2Ь вЂ” уз + — соз — ° — — соз —. — — -+ ...
с1ч— 2Ь сй— 2Ь и!в Среднюю по ссченшо скорость можно определить формулой шпьч — 16Н( 'г Я глс функция имеет следующие значения: 166 5,059 5,2'Й 4,655 э,чВО 4,203 У (а)Ь) 2,25З Простые формулы получаются лчя призматичсскои трубы с сечением в виде равностороннего треугольника и др.
496 динамика вязкой жидкости и глзл (гл. чш й 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобшеиия Чтобы гюказать значительную математическую сложность решения задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к рассмотрению простейшего примера †обтекания шара.
1а1 Поместим центр шара радиуса а в начало координаг (рис. 168) а и рассмотрим обтекание шара однородным потоком со скоростью а~ "а / 1/', параллельной оси / Ох и направленной в йй положительную сторону оси. Пренебрежем влияй нием объемных силн бу- дем считать движение стационарньш. Основное дифференциальное уравнение (16') 6 77 моя<но прн этих условиях переписать в виде: р(Ч- Ч) Ч= — ргали р — и го12. где М, как и ранее, обозначает вектор вихрю ' Я=югЧ. Интегрирование этого уравнения в его обпгем виде даже для случая обтекания шара представ/шет непреодолимые затруднения из-за наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части.
Значительно суживая область применения решения, поступим так. Откинем нелинейные члены в левой части уравнения. решим совокупность линеариаированного таким образом уравнения с линейным уравнением несжимаемости: О=йтабр+рго1Й, гИчЧ=О, (34) з загем, чтобы выяснить область применимости решения, оценим порядок откинутых нелинейных членов.
Такой не строгий прием позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической задачи Стокса об обтекании шара. Исключим из первого уравнения рассматриваемой системы (34) давление р, для чего возьмеч ог обеих частей уравнения операцию той будем име~гк го1 го1 О = О. (35) 6 ЗО) ОвтвкАиив ШАРА и еоРмулА стоксА 497 Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох, с центрами на этой оси.
Вводя сферическую систему координат (г, е, 6), заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей Я„ которую для краткости обозначим просто Я, включая в это обозначение знак -+; составляющие Г), н Я„очевидно„равны нузпо, так кзк вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии. В силу той же симметрии имеем: е =О, Я=-Я(г, О). дп Вспоминая помещенные в конце й 60 выражения компонент вихря вектора в сферической системе координат, будем иметь: го1 Я= —.— (Явюпй), го!!Я= — — ~ —, го1,Я=О, и, повторяя ту же операцию: го1,(го!Я)=0, го)в(го!Я)=0, го1, (го1 Я) = — — (гго1,Я) — --6(го)„Я) = 1 д 1 д 1 да(гн) 1 д Г 1 д г дгз г'да~ з1па да " Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению: г — "+- ~ —.-о-(Язшз)1 =О, да(гз) д Г 1 д дВ да $ а)яд О (36) решение которого Я(г, 6) можно пока подчинить лишь одному граничному условию: Я -ь 0 при г-+ оо.
(36') Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух функций Й(г) и с!(6), каждая из которых вависнт лишь от одной переменной, и подставляя значение Я=И(г) Г)(6) в уравнение (36), получим: ая 1 4! 1 д да () 66 В~(! Еда В силу назависнмости координат г и 6, левая и правая части этого равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует 32 з иаь л. г. л а ь динамика вязкой жидкости н гьзь (гл.
втн (в произвольная постоянная): г ив —,—, (г)с(г)) = а, — вт0 ~ — -0 (() (0) з1п О) ~ = — а. 1 И1 1 0(6) 11 ввпа И легко видеть, что единственное решение етого уравнения, удовлетворяющее условию обращения в нуль при г -+ со, будет — . ОбоСОМЗЗФ гв вначая константу через А„получим искомое решение для вихря я в виде: йв!па Я гв Обращаясь теперь к вадаче разыскания сферических составляющих СКОрОСГИ (Гг И (ГВ (СОСтазпяЮщая (Г,=О, В СИЛУ СИММЕтрИИ ОбтЕКаНИя), имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое„ пользуясь выражением вихря скорости Я через составляющие скорости в сферических координатах )', и (гв, можно переписать в форме; 1 д(г)Гв) 1 дК. Ав1па т г дг г да (38) и 2) уравнение несжнмаемости в сферических координатах (при ); = О): 1 д(гв)г„) 1 д()гвв)па) (39) Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных условиях: при г=а, (г,=0, "'в = О.
прн г = со, )гг~== $'~соей, (гв *=~ — )Г~йп 0. (40) Принимая во внимание вти граничные условия, будем искать решения в форме: (Г ()г + ~~фона, ь-в' л„ Рв-( — Р' + ~)~ ф)а(п0. (41) В 1 Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу задачи периодическое решение. Заметим, что прн в=2 уравнение имеет очевидное решение: Е(0)= (п0, а первое уравнение системы превращается в ,)гв [г)т (г)) г )т (г) ив 2 овтвкаииа шага и еогмтла стокса где число л считаем неопределенным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
