Механика жидкости и газа Лойцянский Л.Г. (1014098), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Пусть ~' — некоторая характерная величина для первого явления, Г"'* — значение той же величины в сходе!венной пространственно-временной точке второго, сравнивасчого с первым и подобного еиу, явления. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение величин и определит коэффициент подобия АП Выберем теперь совершенно вроизвольно канув-нибудь одну пару сходственных точек, почему- либо особенно характерную для сравниваемых явлений, например, „бесконечно удаленную" или „критическую" точку в случае обтекания тел, точку на оси трубы в установившемся протекании жидкости н т. п. Пусгь значения величины в этой характерной паре точек будут, соответсгвеино, ~' и Д".
Тогда по определению подобия имеем: у'у« =;=~;:.уй", нли, исключая коэффициент подобю!, у: 4ь =~"'.~е. Назовем паРУ величин Уе, ~' масштабами величин У" в сРавниваечых между собою двух явлениях. Иа последнего равенства вытекаег, что в любых двух сходственных точках подобных иезиду сибво явлений безразмерные оглношения величин к своим масгитабам одинаковы.
Иначе говоря, два подобных явления различаются лишь мосйитибами величин. Выделим в данном явлении характерные для него масппабы: времени, линейных размеров, скоростей, плотностей, давлений, температур н других определяющих явление величин. Маги!табо«! времени может 31 3««. !йи. л г. лой««!«««й диплиикл вязкой жидкости и газх Ггл. шп служить, например, период колебательного процесса, время прохозкдения телом какой-нибуль характерной длины (в частности, длины самого гела) и др.; масштабом длин — линейный размер тела, лиаметр трубы и др.; иасштабами скоростей, давлений, плотности, температуры идр.— соответствующие их значения в набегающем потоке „на бесконечности" или те же величины, построенные по заданным объемным, массовым, тепловым расходам, мощностям и другим характерным для явления и известным наперед величинам.
Разнообразие выбора масгптабов явления велико и не может быть заранее ограничено какими-то общими указаниями. Если выразить все величины, служащие для описания явления, в частях своих „масштабов", то эти величины стануг безразмерными. Такими гке безразмерными окажутся и уравнения, характеризующие явление, и граничные и начальные условия, если входяпгне в них величины заменить произведениями масшгабоз на соотвекгвующие бежжзмерные величины. Сделаеч это в только что выведенной системе уравнений динамики вязкой жидкости, причем удовольствуемся лля простоты случаем сшционарного обтекания тела при отсутствии объемных сил.
В этом случае время явно не входит и масштаб времени можно не вводить; точно так же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем за масштабы: один из размеров тела 7 и величины „на бесконечности" 1:, р , р , Т , 8 и г. д. Условимся временно (это не приведет здесь к путанице) обозначать безразмерные величины теми же буквами, что и размерные. Тогда замена размерных величин на безразмерные сведется к замене: х на 7х, у на 7у, з на 7з; и на И п, е на Г о, и на г' гв; р на р р, Т на Т Т, 7 на г й Исключение сделаем лишь для лавления р, приняв вместо отношения р/р известный уже нзм по предыдущему коэффициент давления р: Это выражение и примем за безразмерное давление. Тзким образом, лля давления произведем замену: 1 з— р на р + — р И р. Подчеркнем, что эта уступка общепринятым обозначениям не имеет существенного значения и не ставит давление в какое-то особенное положение.
ь 7ь1 нодоьнг Гилводиньмичвских явлений 411д Замечзгг, что масштабы являются величинами постоянными, не зависящими гл координат, легко проведем указанную замену в системе уравнении динамики вязкого сжимаемого газа„' будем иметш Я РЗ д а — д1т(РЧ) =О, 1 — д1чго 1г РЧгь,г+ — 1; Ь'1 — — рдтай1 — 1+Ч- Ч )— %'~ 2 — — О~ ГО1Ч х'„Ч вЂ” — ЧйяЧ "=О 1 а /1 — Ф " +2а ~" = — г,1, Х а.,ь',.
Разделим обе части первых трех равенств на козффициент при безразчерном конвекчивном ускорении. В четвертом равенстве масштабный множитель пропадеь Обе части пятого равенсгва разделяя на выражение ~ 1, В шестом равенстве произведем приведение к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом воспользуемся произволом в выборе ро, го и положим ро — — р., 1о — — г' . Тогда будем иметь в безразмерных величинах: ди 1др исо Г д г диг ои — +... = — — — + — [ 2 — гго~-~+...
), дх '' 2дх а 1: 1[ дх х1 йч(рЧ) = — + — -~- — ' = О дОи1 д1ьо1 дО 1 дх ду ° дх 1 Чз ' и бгт~оЧ~ г+ — . Рз — егаб — + —, Ь' 2 — — ° — р ~ го1 Ч ~( Ч вЂ” — Ч й1гг Ч)~ О, о 3~г г Э )гл. чп| дииАмикА ВязкОЙ жидкости и ГАЗА Величинаг К= — =— РатвГ гч 'о где то, рв, и ь г — некоторые характерные для данного движения величины, называется по имени известного гидродинамика Х1Х в., который впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса (кратко, „число н"). Входящее в предыдущие уравнения число обозначич через 1с и будем называть „числом й на бесконечности" или „числом 1т набегающего потока".
Далее, заметим, что в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости деформаций отсутствуют и движение вязкой жидкости совпадает с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на бесконечности' можно применять газодинамнческие формулы, изложенные ранее В гл. 1Ч и И для идеального гйза. Будем, в частности, иметь (здесь в промежуточных Выкладках временно появляегся газовая постоянная 1с, обозначение которой не должно быть спутано с числом Рейнольдса): Р р 1 Р Заметив зто, получим окончательно следугощую систему безразмерных уравнений стационарного движения вязкого газа: де до доз 1 др р) и — +о — +св — ~ = — — — + дх ду дг) 2 ду й 78! половив Гидродиньмичвскнх явлений дга да! дгл'! 1 ду р( — + — + — ) =- — — — + дх ду дх> 2 дх + К, ! дх (! ( дх +дх) + ду ~1' (да + ду ) (+ д ' дгл'! 2 д + 2 — !р — ) — — — Ь б! 'тг) 1), дх!, дх3 3 дх — + — -+ — =б, д(рл) д (ря) д(р!я) дх ду дх Л вЂ” 1 з з! ! Г! д!я~ р)(~1+ — М Ъ' ) — — )!йгад ~ — +()г — 1)М Ъ' ~— (21) х — 1 з / 2 — М )!(го!7 Х Ч вЂ” — Уд 'У!!=(), С.
Э 3 2 Р (Р ) лМ К этой системе уравнений присоединяюгся безразмерные граничные условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для конкрепюго случая обтекания тела эти граничные условия приведутся к заданию в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства нулю на ней величины скорости, ааданию распределения безразчерной темпера гуры (теплосодержания) или нормальной ее производной, а также безразмерных значений скорости и гемпературы на бесконечносги, равных при ранее выбранных масш!абах единицам, и коэффигшенза давления, равного на бесконечности нулю.
Безразмерная система уравнений и граничных условий движения !нилкосги или газа вредставляег некоторый самостоятельный интерес, гак как позволяет изучать не только отдельное единичное движение, но одновременно весь класс движений, отличающихся от данного масшгабами линейных размеров тел, скоростей, температур и т. д. Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяет просто н наглядно установить условия полобия двух движений жидкости или газа, что полезно для моделирования натурных явлений в лабораторных условиях, для обобщения результатов эксперимента и лр. Предположим, например, что рассматриваются два подобных стационарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел в обоих движениях будут геометрически подобны н подобно расположены по отношению к набеганяцим потокам, что входит в определение геометрического подобия, представляющего часть условий общего полобия явлений.
При наличии геометрического подобия безразмерные (т. е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях) координаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми отвлечеинымн числами. Безразмерные граничные условия будут также 486 диньыикь вязкой жидкости н ГАВА (гл. чш одинаковы; одинаковыми окажугся и безразмерные величины скоросгей, давлений и другие в сходственных гочках потока, представляющие решения безравмерной сисгемы уравнений (21). Следовательно, одинаковы должны быгь и сами безразмерные системы уравнений. Как видно из структуры системы (21), при этом в двух подобных системах должны имегь одно и то же значение величины гг, М й н е; если задана температура на поверхности обтекаемого гела, ~о из безразмерных граничных условий для темперагуры будег еще вы~екать одинаковошь отношения размерных ~ечперагур на сгенке в каких-нибудь сходщвенных гочках к температуре на бесконечности.
Это отношение Тм: Т температуры на стенке обгекаечого тела Тм к температуре набегающего потока Т, называют пгемлературнылг фпкглпром. Отсюда следуя~ прямая т еорема подобия: если два стационарных движения вяакой жидкости или газа при отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа Я, М, л, о и — одинаковы для обоих Тю рассматриваемых движении. Есгесгвенно возникает вопрос об обращении этой теоремы, т. е. об установлении необходимых и достаточных условий подобия двух гидроаэродиначических явлений.
Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что в настошцее время сделано лишь в ряде простейших случаев. Кроме гого, разнообразие посзановок задач о движении жидкое~и н газа также вызывает некоторые трудности. В случае нзогерчического сщпионарного обгекания гел несжимаемой вязкой жидкошью необходимыми и досгагочными условиями подобия обтекания двух ~ел являкп ся: 1) геометрическое подобие ~ ел и их расположения по отношению к набегающему потоку и 2) одинаковость числа К При обгекании тел сжимаемым газом, при отсу ге ганн геплоогдачи нз ~дТ поверхности ~ел — =-0), к предыдущим условияч прнсоединянмся чдп еще условия одинаковое~и в обоих движениял чисел М, и й. Число а при этом можно считагь одинаковым, согласно раяещгву (6), илн включа~ь одинаковость а отдельным условием в ~ех случаях, когда это равенство не справедливо, например, в случае жидкосгей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
