Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Примерами такого рода могут служить: пограничный слой и аэродинамический след, образующиеся при продольном обтекании тел вращения, а тзкже осесиммегричные струи. Начнем с рассмотрения зздачи о пограничном слое на теле вращения большого удлинения в условиях его обтекания однородным потоком, пзраллельным оси тела; при этом линии тока располагаются в меридиональнь>х сечениях, что н делает поток двумерным. Выберем в плоскости мери- л дионального сечения поверхности г тела (рис.
41) координаты х, у Ряс. 41. и составляющие скорости и, т так же, как при плоском обтекании профиля. Вместе с тем отметим и обычные цилиндрические координаты точки М(г, г) и соответствующие нм компоненты скорости У, и У,; угловая координата, так же как и трансверсальная компонента скорости, в уравнениях движения будет отсутствовать. Уравнения Стокса представятся в виде дУа дУа дУа 1 дР )дг(г даУ 1 дУат +У а ) У а +т~~ а+ а+ ) дГ а дз г дг р д» 1 даа дга г дг /' дУг дУг дУг — '+У вЂ” '+У вЂ” '= дФ ада 'дг 5.1) 1 дР /д'У, даУг 1 дУ, Уг1 гзг1гг дг 1дза + дг' + г дг г')' Ж-(гУа)+ д, (гУг) =() ° д д 142 нвплоскиа двтмввныв погвлничныв слои (гл. г ди ди ди 1 др Г дги даи 1 ди т — +и — +о — = — — — +т — + — + — — /, дГ дх ду р дх гадка дуа г ду /' до до ди 1 др бадьи дьи 1 до от — +и — +о — = — — — + — + — + — — — -а .
дг дх ду т ду (дха иуа г ду г/' — (ги) + — (го) = О. д д дх ду (5.2) Рассуждая зналогично тому, как это уже делалось в теории плоского пограничного слоя, сможем во всей области слоя, где г ) гз > О. пренебречь в круглой скобке в правой части первого уравнения (5.2) даи 1 ди членами — и — — по сравнению со старшим по порядку членом дк' г ду дти/ду'. Второе урзвнение сведется к известному условию постоянства давления в поперечном сечении слоя.
Тогда. вводя еще в рассмотрение скорость У (х, г) на внешней границе пограничного слоя, придем к такой системе уравнений осесимметричного пограничного слоя н теле вращения: ди ди ди дУ дУ д'и +и — +о — = — +и — +.—, дт дх ду дг дх дуя ' (г») д (го) О дх ду (5.3) В предположении. что тело вращения имеет достаточно большое уллинение, примем за малую величину угол а, образованный касательной к меридиональному контуру тела с осью тела. Это предположение не оправдывзется вблизи передней критической точки, если тело тупоносое, т. е.
если угол а близок илн равен г/2, н вблизи кормовой критической точки, где а также бывзет заметно отличающимся от нуля. Как обычно в теории пограничного слоя. неточность решения в области начала появления слоя слабо сказывается на дальнейшем его развитии вниз по потоку. Что касзется задней критической точки. то в непосредственной близости к ней поток обычно отрывается или находится в предотрывном состоянии и методы теории пограничного слоя все равно оказываются либо очень неточными. либо вообще неприменимымн.
Если же по какой-нибудь причине представляет особый интерес изучение течения вблизи критических точек, то это также может быть выполнено дополнительным анализом. о чем пойдет речь далее. Приняв предположение о малости а. произведем в уравнениях (5.1) д д приближенную замену (Г, на и, (Г, на о. а производных — на —. д д, — на —; тогда получим следующую приближенную систему уравдг ду ' пений: й 311 пгимввы стлционленого и нвстлционлгного слоев 143 Заметим. что при наличии (рис.
41) очевидного равенства г = гз(х)+ усова (5.4) можно повсюду в пограничном слое, кроме области, близкой к кормовой критической точке, где пограничный слой сравнительно толст, а радиус поперечной кривизны поверхности тела гз, наоборот, стремится к нулю, положить во втором уравнении (5.3) приближенно г =' г (х). Это приводит к следующему окончательному виду уравнений неплоского двумерного пограничного слоя: ди ди ди дсГ дУ дзи — +и — +о — = — +У вЂ” +» —, дс дх ду ис дх ду» ' д (г,и) д д(г»и) дх ду (5.5) ди ди д(У д'и и — + о — =У вЂ” +» —, дх ду дх ду» ' д (гои) + д(~зи) дх ду (5.6) Граничные условия как в случае нестационарного, так и стационарного слоя ничем не отличаются от соответствующих условий для плоского погрзничного слоя.
Отбрасывзние второго члена в правой части равенства (5.4) допустимо только в таких областях пограничного слоя, где его толщина значительно меньше радиуса поперечной кривизны (3 (( гз). На длинных и очень тонких телах вращения пограничный слой может вырасти настолько значительно, что вто условие окажется не выполненным даже в области, еще сравнительно далекой от кормы. В атом случае необходимо применять более точные уравнения (см.
3 35). $ 3!. Примеры стационарного н иестационарного пограничных слоев на удлиненном теле вращения Примером стационарного двумерного слоя на теле врзшення может служить случай зздания уравнений поверхности гз = гз(х) и распределения скорости на внешней границе у = у (х) в виде степенных рядов гз(х)= и,х+и хз+ ..., И(х)=и~х+и хз+ ... (5.7) справедливому, конечно, лишь при тех ограничительных условиях, о которых шла речь в начале параграфа.
В случае стационарного пограничного слоя будем иметь более простую систему уравнений 144 НЕП.1ОСКИЕ ДВУМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ (гл. ч Такого рода класс задач, представляющий обобщение на случай неплоского двумерного слоя задачи Блазиуса — — Хоуарта (9 13), был рзссмотрен Н. Фрвсслипгозз; решение в дальнейшем было уточнено Ф. Шолькемейером '), Если ввести в рассмотрение функцию тока ф(х, у), положив 1 д (гоф) 1 д (гоф) о= — — — - — ' го ду го дх то уравнения (5.6) ззменятся одним уравнением третьего порядка дф дзф Г дф 1 дго ! дзф д(Г дзф — — ~ — + — — оф) — = и — +.
— '- (5.9) ду дх ду (, дх го дх ) ду' дх ду' с граничными условнями дф ф=О, — =0 при у=О, ду — -ь (о'(х) при у — ь оо. дф ду (5. 10) Решение уравнения (5.9) при граничных условиях (5.10) проводится методом, аналогичным изложенному в 9 13 методу Блазиуса— Хоуарта. Вводя вместо у координату (5. 11) представим функцию тока в виде ряда ф=ф~ 2 (пзхУ!(6)+2лзх~уз(6)+ ], (5.12) где следует также положить У,(~) =А;(-4)+ — „''„" А,(~) (5.13) ') Р г о в в ! ! п д Х,, ! Впдв.
Оп!ч. Агввкг. Х. Р., Адч. 2, 36 (1940); Бс во ! Ке же уег Р., Агсщч д. Ма!Ьеш. 1 (1949). Цитируем по монографии Шлихтинга Г., «Теория пограничного слоя», ИЛ, 1956, стр. 176 — 179. и принять аналогичные дополнительные разложения для последующих функций. Подставляя значение ф в виде ряда (5.12) в уравнение (5.9) и приравнивая нулю последовательные коэффициенты при различных степенях х, получии для определения неизвестных функций уп ьгз, Ьв, ... систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, которые, благодаря дополнительному разложению (5.13), не будут зависеть от частных значений параметров пп ип а смогут быть проинтегрированы раз и навсегда. Выпишем соответствующие дифференциальные уравнения и граничные условия лишь для первых двух функций У, и гз в разложении(5.12); в ран~в цитированной работе Шолькемейера вычисления доведены до функции Г',, стоящей коэффициентом прн х', включительно, причем эта функция должна быть подвергнута дополнительному разложению типа (5.13) на десять слагаемых.
уравнения для функций Гп а и и имеют внд (штрих — производная по и) .у"'+ ~ у" = -'(.ут — !) И,"+/дз — 2У,'~з'+ 2У ~а= !. "а +У~"а 2АДз+ 2Уьлз= 2 УьУ~ (5.1 4) причем им соответствуют граничные условия при 1 ьа 2' "3 = прн Первое из уравнений (5.14) совпадает с уравнением Фокнера и 1 Скан (2.15) при р = 2 илн, что все рзвно, ш='/з. Значения функции г', могут быть взяты иэ таблицы 3. Заметим, что полученное таким образом решение отвечает частной задаче о течении в пограничном слое вблизи лобовой критической точки на тупоносом теле вРащения (а = †), когда можно положить га (х) = х, ( Г = и 1х; и1 = 1, из — — пз = ° .
° = О, из=из= ... =б. Значения характерных параметров пограничного слоя для этого простейшего случая можно найти в таблице 4. Второе и третье уравнения системы (5.14) являются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и допускают лишь численное интегрировзние. Соответствующие вычисления для этих и последующих уравненпй выполнены Фрвсслннгом и Шолькемейером. Результзты интегрирования были сведены в таблицы, которые можно найти в оригиналзх цитированных статей; кроме того, тзблнцы у",, а'', л', и', Ь,'., й'., ~",. и д,'. и численные значения вторых их производных при т) = О, необходимые для вычисления сопротивления трения, приведены в цитированной выше монографии Г. Шлихтинга.
й 31! пяимеяы стационляного я нгстлционляного слоев 145 146 нзплоскив двямевныв погвлничныв слои [гл. т Примером нестационарной задачи того же рода может служить задача Вольпе ') о развитии пограничного слоя при внезапном приведении тела вращения в движение вдоль его оси со скоростью У(х), Введем функцию тока ф при помощи отличных от (5.8) равенств л= — —, о= — —— 1 дф ! дф (5.16) га ду ' га дх и разложим функцию тока в ряд по степеням времени ф (х, У, !) = 2 ) У аГ ~ ге У/! (ч) + + г [геУ вЂ” 1т! (4)+ Ув — ' Дтз(а))]+ ° ° ° ~ (5. 17) где принято, как и в случае плоского слоя (9 24). )=Ы(2У !) (5.18) Подставляя значение ф в (5.16). а затем в первое из уравнений (5.5) прн — =0 и приравнивая коэффициенты при одинако- дУ д! вых степенях ! в обеих частях равенства, придем к системе обыкновенных дифференциальных урзвнений третьего порядка /,'к+ 2т(у = О, у21+ ~~2! Ат! Р! г аг! ) 7'"'+ 2аф' — 4/' = — 4г !7,.
(5,19) ~,"(0)+С, ~(~ ) Ую(0)+У, ( — ~') ~~(0)~=0. (520) а) Во)гзе В., Огеяззсй!св!еп ав йогановз!аогрегв !и Р1йзз!6йейев шй й)е!яЕГ ЙЕ!ЬЕП6. О!ЗЗЕГ!ЗИОЯ, 0вгИВВЕВ, 1906. Первое из этих уравнений совпадает с уравнением (4.5) соответствующей плоской задачи и имеет решение (4.6). Второе совпадает с уравнением (4.10) плоского случая и имеет решение (4.11). Отличие от плоского случая. заключающееся во влиянии поперечной кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
