Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Уравнение (5.30) отличается от соответствующего уравнения для плоского пограничного слоя вторым членом в круглой скобке в правой части, выражающим влияние изменения поперечной кривизны. Можно вновь заметить, что в принятом приближении (8<~ге) при постоянном га уравнение (5.30) ничем не будет отличаться от уравнения для плоского слоя. Используя, как и в случае плоского слоя. близость функции Р (г) к линейной зависимости Р (г) = а — Ьг', приведем решение уравнения (5.30) к простой квадратуре У'(х) = — 1 (7 (Е) го(Е)с(Е Е'ь(х) гза (х),/ (5.31) ') Л о й ц я н с к н й Л. Г., ДАН СССР 86, )Ч! 6 (1942).
а) То»п о! ! Ка 8., АЙС, ЙЯМ, !678 (1935), а также Ргос. Р!»уз. Мащ. $ос. )арап 20 (1938). ') Гзйе А., АЙС. ЙЗ»М, 1766 (1936). ') М ! ! ! ! К а з С., Тгапз. Ашег. 8ос. Месю Епй. 84, »8 2 (1932). Постоянные а и Ь имеют те же значения, что и в плоском случае; они зависят от выбора семейства профилей скорости в сечениях »л >ь Дальнейший порядок расчета ничем не отличается от изложенного в ф 2!. Полиномы четвертой степени, использованные Польгаузеном в плоском пограничном слое, были применены Томотнка Я) для расчета пограничного слоя на шаре, причем в качестве распределений дзвлення на внешней границе были приняты как теоретическое потенциальное. так н экспериментальное, полученное в систематических опытах Фейджа з). Профиль скоростей в сечениях слоя в форме параболы второй степени принял К. Милликен ').
При таком приближении уже нельзя определять положение линии отрыва пограничного слоя с поверхности тела вращения; метод Милликена пригоден лишь дтя хорошо обтекаемых тел. 154 неплоския двкмевныз погваничныв слои (гл. ч Переписывая уравнение (5.32) после умножения обеих его частей на 3"/ч в виде З' дв' l 1 дУ д(Г1 З'з сГЗ' д — — + ~ — — + — ) — + — — (3'К)+ ч дГ 1(Г дГ дх) ч ч дх ди В гз В'а +2К вЂ” ° — + — ~К(7 — =ь' дх ч га ч и выполняя очевидные преобразования, направленные на выделение по (5.33) параметра у*, найдем окончательную форму искомого основного уравнения однопараметрнческого метода для нестационарного двумерного неплоского слоя: = — — — 2()+ (г ( — — — 4 — — — — '~ К~ 7*+ 2Ж'. (5,35) 1 дп г1 да ди 2 дг 9 дГ (,П дх дх гю дх) Уравнение зто служит обобщением уравнения (4.7$) нестационарного плоского слоя на случай неплоского слоя н вместе с тем обобщением уравнения (5.30) на случай нестац~онарного слоя; не следует забывать, что формпараметр у в уравнении (5.35) отличается от формпараметра / тем, что в качестве характерной толщины принята величина 3', а не Ь".
Функции К(У') и Г'(7') в случае двумерного неплоского слоя берутся теми же, что и в случае плоского слоя. Следовательно, при интегрировании уравнения (5.35) можно нспользовзть в качестве первого приближения равенства (4.79). согласно которым К(7 ) = сопя(. а ь'(у") — линейная функция /". Это позволяет значительно упростить решение; на примерах останавливаться не будем '). Изложенные только что методы приближенного расчета двумерного неплоского слоя, основанные на использовании уравнения импульсов, не являются единственными. Для той же цели могут быть использованы и методы Швеца и Тарга а).
$ 35. Пограничный слой на длинном, тонком теле вращения; продольное обтекание цилиндра При продольном обтекании длинного, тонкого тела вращения на его поверхности, на достаточно большом расстоянии от носовой критической точки образуется пограничный слоЯ с толщиной. не только сравнимой, но даже и превосходящей по величине радиус поперечного сечения тела (3 ) гз).
В атом случае сделанное ранее упрощение правой части формулы (5.4), заключающееся в откидывании второго ') См. ранее цитированную статью Л. А. Розина (стр. 1Зб). ') См. ранее цитированную монографию С. М. Тарга (стр. 139) и статью Е. М. Добрышмана (стр. 140). члена по сравнению с первым, уже неприменимо. Продолжая считать угол а малым, можно заменить (5.4) приближенным равенством г = го+у. (5.36) Уточненные уравнения стационарного пограничного слоя могут быть выведены нз (5.1), если опустить второе уравнение, сводящееся к условию др/дг = О, и член даУ,/для в круглых скобках в правой части первого из уравненнй, как малый по сравнению с другнмн д д д д членами. Произведя замену: У =и.
У =о, = —, — = — н а дх ' дг ду вводя скорость на внешней границе слоя У(х), получим следующую, более точную, чем (5.3), систему уравнений пограничного слоя: д д дх ду — (ги) + — (го) = О (5.37) с граничными условиями и=О, о=О прн у=О, (5.38) и У (х) прн у оо. В уравнениях (5.37) можно, когда это потребуется, заменить у на г. а в граничных условиях (5.38) — у=О на г=г (х), у-+со ма г-ьоо. Уравнения (5.37) перепншем еще в виде ди ди НУ ! даи 1 ди т и — +о — =У вЂ” +ч~ — + — — ), дх ду дх (дуя ге+ у ду ) ' ди де ге(х) и е дх+ ду + го+у + г,+у (5. 39, Интегрирование этой системы уравнений при граничных условиях (5.38) представляет большие трудности даже в наиболее простом случае продольного нзбегания однородного потока со скоростью У на полубесконечный круглый Пилиидр радиуса а.
В этом случае ге — а и равенство (5.36) выполняется точно; так как при этом иго -аг-=о, — =О. то УРавнениЯ (5.39) пеРеходат в следУющие: ди ди /д'и 1 дит и — +о — = ~ — + — — ), дх ду (ду у+а ду)' ди де е — + — + — =0 дх ду у-1-а (5.40) прн граничных условиях и=О, о=О прн у=О, и=У при у = оо. (5.41) 6 35] погганнчный слой нл длинном, тонком теле внащения 155 156 [гл, ч неплоские дякмегные погвлннчныв слон ди ди г'д'и ! ди! и — +о — =ч ! — + — — 11, дх дг ! дг' г дг/' д (ги) д (го) 0 дх дг (5.42) ') ЯеЬап й. Л., Вопд й., Зопгп. Легоп. Вс!. 18 (1961), 671.
') К е !! у Н. й., !опгп. Аегоп. Яс!. 21 (1964), 634. ') С (а пег! М. В., 1.!8Ь! Ь 1! ! М. !., Ргос. йоУ. 5ос., асг. А 230, 1181 (1956), 188 — 263. Основнзя сложность в решении этой простейшей из возможных задач такого рода заключается в наличии, кроме заданной скорости У,, еше заданной длины а (радиуса цилиндра]. При существовании двух таких определяющих движение величин уравнения (5.40) уже не могут быть сведены к одному обыкновенному уравнению, как это было в предыдуших случаях. Прихолится искать решение уравнения в частных производных, разлагая его по положительным или отрицательным степеням какой-нибудь характерной для задачи малой или соответственно большой величины.
В данном случае такого рода характерной величиной может служить отношение местной толщины пограничного слоя к радиусу цилиндра, т. е. величина, / гх пропорциональная отношению 1гг —: а, или какая-нибудь функция У и этого отношения. В лобовой части поверхности цилиндра, где толщина слоя еще достаточно мала по сравнению с радиусом цилиндра, иожно пренебречь влияниеи поперечной кривизны. Тогда развитие пограничного слоя на цилиндре ничем не будет отличаться от соответствующего развития на плоской пластине (задача Блазиуса). Действительно, при а †«сю уравнения (5.40) переходят в обычные уравнения плоского пограничного слоя при отсутствии продольного перепада давления, что при граничных условиях (5.41) приводит к задаче Блазиуса о пограничном слое на пластине. Первые поправки на влияние поперечной кривизны в рассматриваемой задаче были даны Себаном и Бондом ') в 1951 г. и в несколько уточненном виде Капли э) в 1954 г.
Было показано, что в формуле напряжения трения по Блазиусу т„= 0,332РУ У У/(гх) появляется поправочный член 0,70РУ/а, который при «х/(У аа) =0,001 дает поправку в 7',е. Глауэрт и Лайтхилл а) дали приближенное решение этой задачи, справелливое при любых значениях параметра «х/(У а') и, кроме того, асимптотическое решение, соответствующее большим значениям того же параметра. Взамен уравнений (5.40), составленных в переменных х, у и содержащих явно величину а, и грзничных условий (5.41), от нее не зависящих, авторы предпочли пользоваться не сод Ржащпми а урзвнениями в переменных х, г и=о=О при г=а, и=(/ при г=оо.
'5.43) зависящими явно от а. Если ввести обычным путем функцию тока ф(х, г), удовлетворяющую равенствам 1 дФ 1 дф (5А4) г дг' г дх' и воспользоваться вместо г в качестве основного переменного безразмерным комплексом 4~х (5 А 5) то можно попытаться разыскать решение уравнений (5.42) в форме асимптотичэского ряда Ф тх~УеИ)+ р Л('ч)+уЛ(4)+ ° ~="хгг(т) х) (5 46) 1 1 расположенного по отрицательным степеням большой величины ~="( — ) Вычисляем (штрнх — производная по т)) (5.47) дг 1 и = — (I у', о= — (т)/' — / — х— дх)' (5.48) тогда первое иа уравнений (5.42) сведется к такому: т17"'+Г" + 2 т1Г" + 2 хд г' 2„х дх7 — — О, (5.49) причем, согласно (5.47) и (5.46), будет дУ дУ 1 2 хд = — — — — У вЂ” — у'э— дх дэ (5.50) Пользуясь этими соотношениями, подставим разложение г'(т1, х) по (5.46) в (5.49) и приравняем коэффициенты прн одинаковых отрицательных степенях параметра р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
