Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 28
Текст из файла (страница 28)
74) Далее, взяв от обеих частей первого уравнения системы (5.40) производную по у и используя второе уравнение той же системы, получим д'и (д'и ! да! [д'и ! д'и 1 ди ) дхду (дуг у+а ду/ (ду' у+а ду' (у+а)' ду [' Полагая в этом уравнении и=О=О при у=О, найдем второе условие. связывающее производные от скорости в сечениях слоя Введем в рассмотрение формпараметр а(х) семейства профилей скорости, связав его с безразмерной первой производной от скорости соотношением [д(аД) )1 (5.76) а ( а(у,'а) ! з ') См. ранее цнтнроваиную статью Газу»рта и Лайтхнлла % 36! РЛСЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНОЙ КРИВИЗНЫ 165 Тогда, согласно уравнениям (5.74), (5.75) и (5.76), первые три про- изводные от скорости на стенке могут быть выражены через пара- метр а равенствами Разлагая и (у; а) в ряд вблизи у = О, получим или, пользуясь прелылущими равенствами, Замечая, что первые три члена в квадратной скобке совпадаюг с разложением функции !п(1 + †), можем с той же точностью на- а)' писать — = — 1п(! + «)+0(У,).
(5.77) Довольствуясь этим приближением. выберем толшину пограничного стоя 6 из обычного условия и = (7 при у — — о; тогда по (5.77) будет о = а(е" — 1). (5. 78) В разбираемом случае (г=-а, С! = (l ) уравнение импульсов (5.72) упрошается н принимает вид ад" т — = 2ка — '" —, огх р(гг (5.79) причем Ь и т определяются равенствами ои (а (6.81) Полагая для вычисления интеграла (5.80) 1+— У 6-=2 /(а+у) — „" (1 — —," )(у= о /а =2и — / (1+ У)!п(! + «)[1 — — 1п(1+ У)~И(У), (580) о (гл.
у 166 неплоскив двтмяоныа погтаничные слои интегрирование которого (7 — постоянная Эйлера) дает 4чх я 2 (е'" — 1) Осса' а — =е'+3— + Е! !2а) — ' !п(2а) — 7. Раалагая правую часть при малых а в ряд, получим — = — аа -1- — а + — — а -(-0(а ) 4тх ! 4 а 3 Ы„аз 3 9 -!О или, совершая обращение, =0,289(,) +0,667 — 0,750( 'х,) -(- ... (583) Польэуясь этим разложением для а, можно определить аависимость от параметра тх/~У аа) наиболее характерных для пограничного слоя величин: Р=2яат по (5.83), Ь'" по (5.82) и, наконец. Ь'. равной по (5.73) Ь'= / 2я(1 — — )(а-+у)ду= о да = 2яая / ~1 — — 1п(1+ у)~(1 -1- Х)~(( — ")— а й ем — 1 — 2а 22 =- 2яаа (1 — — ! еж Жг = пар ч (5.84) причем при малых а будет Ь'=яая(а+ — ая+ — аз ( ) 2 1 3 3 (5.85) получим а Ь = 2я —,~ е'*г(а — г)г(а=2и —,! 4 (а — 1)е'"+-(а+!)~.
е ае (4 о (5. 82) Подставляя это значение, а также эначение ™ по (5.81) в уравр(l~ пение импульсов (5.79), придем к обыкновенному дифференциальному уравнению для определения формпараметра а(х), (2аа — За+ 2) ее" — (а+ 2) Л» 4ч аа ах у ая' % 37) кгяг,чая стетя в затопленном пеостехнствг. 167 Результаты расчетов по только что приведенным приближенным формулам показаны сплошными кривыми на рис. 42. Сравнение с пунктирными кривыми, рассчитанными по асимптотической теории, изложенной в предылушем параграфе, показывает систематическое, но не слишком большое отличие. ф 87. Круглая струя в затопленном пространстве гизЖ. = сопз(, о который связан с законом сохранения секундного количества движения (импульсз) вдоль струи риз 2кг дг = /, о (5. 86) представляющим собой следствие постоянства давления во всей струе.
Рассмотрим сначала простейшую задачу о струе, бьющей из бесконечно тонкого отверстия '). В этом случае граничные условия ди — — О, и — 0 при г=О, дг и — ьО при г — ьоо, (5.87) так же как и уравнения 15.42), не содержат характерной ллины. Это позволяет получить автомодельное решение задачи путем составления функции тока в форме г х) 6 ф = хи(т)), <5.88) ') Зс в11с в11п3 11., йензсиг, 1. Аяйеж, мань ч. меси, 13, )чв 4 (!933), Уравнения (5.42) могут быть использованы для рассмотрения аалачи о круглой струе, прелставляющей пример неплоского «свободного» пограничного слоя прн отсутствии продольного перепада давления. Аналогично тому, как это было в случае плоской струи (% 6). уравнения (5.42) обладают интегралом 168 (ГЛ Ч НЕПЛОСКНГ ДВУМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ Определяя входяшие в урзвнения (5.42) водная по т1) 1 а' 1~2 и = —— о=— х Х величины (штрих — ~рш2з- (5.89) при граничных условиях а=0, а'=0 при 2)=0, при 2) = оо.
(5.90) а конечно Второе условие следует из конечности продольной скорости нз оси струи, третье — ив конечности расхода сквозь сечение струи. Кроме граничных условий (5.90), необходимо удовлетворить условию нетривиальности решения уравнений (5.86), которое сводится к такому соотношению: 2ЛЧ 22 (а'(и)!' — = — ' 2ли о (5.9 1) Уравнение (5.89) интегрируется один раз непосредственно н вследствие конечности а" при и = О его интеграл имеет форму »)а" — а' + аа' = О. Интегрируя еще раз.
получим 1— т2а' — 2а+ — аз = О. 2 после чего унге нетрудно найти а2ч2 а(2)) = ,2„2 4 (5.92) Использование условия (5.91) позволяет определить постоянную интегрирования Г з У 16л (5.93) и подставляя их значения в (5.42), убедимся, что вопрос сведется к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения й 8У) квкглля стеки в затопленном пеостванстве 1б9 Решение имеет вид азиз зх аз, з 4 2а' 1 (1! 1 зз) ( за~ — ап (1 — — азч (5.94) (! + — азчз) Из второго равенства системы (5.94) найдем максимальную скорость и на оси струи 2а' 3 Уо 1 (5.95) х 8я а к' Точечность источника приволит к особенности в точке х =- О.
Секундный массовый расхол сквозь сечение пограничного слоя. расположенное на расстоянии х от источника, определим по фор- муле г)4 = / ри ° 2кг лзг = 2кр ( — з)г = 2крф(со) = 8грх. (5.96) ! дф ') Ландау Л. Л. и Л нф ш нц 8. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1953, стр. 188 — 110. з) Р у и е р Ю. Б., ПММ, т. ХЧ1, в. 2, 1952.
а также Л о й ц а н с к и й Л. Г., ПММ, т. ХН!1, в. 1, 1953. Этот расход равен нулю при х = О и растет пропорционально расстоянию от источника. Тот факт, что при нулевом расходе в точке х = О импульс конечен и равен lа, объясняется бесконечной малостью лиаметра трубки, из которой происхолит истечение жидкости.
Естественно. что при конечности импульса, имеющего порядок квадрата скорости, расход, зависязций от первой степени скорости, должен быть равен нулю. Задача о струе, вытекающей из точечного источника, в общей постановке при любых числах Рейнольдса, а не только при больших их значениях, как это принято в теории пограничного слоя, была решена Л. Д.
Ландау '). Можно наперед задать конечную величину секундной массы М, вытекающей иа источника. В этом случае, кроме,/, появляется еще характерное отношение ае(з)(е, имеющее размерность длины, и задача перестает быть автомодельной. )зля решения этой задачи з) представим 170 (гл ч НЕПЛОСКИР ДВУМЕРНЫГ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ функпию тока в виде асимптотнческого ряда, годного при больших х, ф Р(ах+ ао+ — '- +...), (5.97) где а, ао, ...
суть функции того же комплекса и, что и ранее. Будем ичеть следующие аснмптотические выражения для скоростей и и о: х 11 х~ Е 1 др а — — —. г дг (5.98) 1 дф )Г ч Г , а ~ 1 7 , а1! 1 о = — — — — — — 1ьа' — — + а — +(а'+ — ) — +...). гдх х Ь Ч о х (,1 Ч/хо ( — )"+'., ( —; (а1 )' 1+а (а, )' 4а' а,' ( —;) +( —;) =-о, )' — ' — '- ао + — — о=О, 11 Г( ) а1= — 2 — ' (5.99) с граничными условиями а=а,=а,= ... =О, 1 а =а =а,= ...
=0 при 4=0, / (5. 100) а, ао, а, ... огРаничены пРи о!=со; кроме того. та же операция сравнения коэффициентов при одикаковых степенях х приводит к условиям нетривиальности решения О \ а' Уо д а'а„~ ао + 2аа~ 7а — — г(т! = —, / — ' дт! = О, ~ — а4= О.
(5.101) 2АИ ' о о о Первое уравнение системы (5.99) с соответствующими ему граничными условиями и условием нетривиальности решения было уже рассмотрено в задаче о точечном источнике с Мо — — О. Остается найти поправку за счет наличия Л(о, отличного от нуля. Обратимся ко второму уравнению системы (5.99). Полагая в нем ''/'= (5 102) Подставляя эти разложения и составленные при их помопдп производные в первое нз уравнений (5.42) и приравнивая коэффисиенты при одинаковых степенях х, придем к следуюгцей системе обыкновенных уравнений: 6 87! кягглля стекя в затопленном пгостя«яствз 17! и переходя от аргумента л к новому аргумерту . =- 4 а, связанному с й по (5.92! соогношением — ааър 1 4 ! т- — а«Ч' 4 (5.103) придем к гипергеометрнческому уравнению НА «А "(6 !! =с -.- — 6А=О, л ~ (5.
104) регулярным решением которого, удовлетворяющим граничным условиям и условию нетривиальности, будет А (ч) = С (1 — ()з (1 — 4С). (5. 105) Возврангаясь к уравнению (5.102) и ванне, получим 1 4 а„(з) =- ~6 (2" — 1) =- выполняя новое ннтегриро- где р' — постоянная интегрирования, Исправленное на конечность расхода Ме решение имеет вид 1 ! — — аз 3 4 ! (!+ —,' "ч)' (5.107! (1 + — а«за) 1 «~Ч (! — — ««Ч«) 4 3 (! «а) (! + — «а«з) о !!« (! ! ~ ««.„а)* Постоянная 8 выражается через заданный секундный массовый расход М, при х= О. Имеем, аналогично (5.96>, общую формулу массового расхода М = 2и«оа = 8крх + 2к~р. (5.108) Отсюда прн х = 0 и М = М„следует Л4« 2«а ' (5.109) -[ .«(1 ! а««) 1 + ««ча 1 1 4 ! + ««чг ! а«ла (1 — — а«Ч«) 1 (5.106) (! + — «ач«) Ггл нзплоскиз двкмегные погглничные слои Максимальная скорость на оси струи (4 = О> по второму раз.нству системы (5.107) будет равна 2аз ! т х 2ха (5.110) ') Л у б о в В.
С., Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, Техническая гнаромеханнка) № !76, Машгнз, 1955, стр. !39 — 145. з) Л о 9ц я н с к ий Л. Г., Труды ЛПИ (Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика) М 5, 1953. з) Вулис Л. А., Кашкаров В. П., ЖТФ, М2, 1956. ') 5 9 и! г е Н., Т г о и и с е г )., АКС йй№, 1974, 1944, Б у ш и а р и н О. Н., ТРуды ЛПИ (Энергомашиностроение, Техническая гидромеханнка) М 176, 1955. ') К а ш к а р о з В.
П., Некоторые точные решения в теории струй несжимаемой жидкости, Сб. «Исслелованне физических основ рабочего процесса топок и печей», АН Казах. ССР, Алма-Ата, 1957. ') Бай Ши-н, Теория струй, пер. с англ., Физматгиз, !960. Следующее приближение, включающее определение функции аГ(т)), было найдено В. С. Дубовым '). Радиальная щелевзя струя, бьющая из тарельчатого клапана (ее иногда называют «кольцевой» струей), была рассмотрена автором настоящей книги з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
