Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Задача зта при отсутствии закрутки не представляет никакой сложносз и. Л. А. Вулис и В. Г1. Кашкаров ') обобщили плоскую задачу о струе, ограниченной с одной стороны стенкой (9 7), на случай струи, распространяющейся на поверхности конуса. Ряд работ выполнен по распространению струй в спутных потоках 4). Обзор точных решений по ламинарным струям можно найти в статье В. П, Кашкарова з).
Следует заметить, что в настоящее время теория струй уже отделилась от теории пограничного слоя и превратилась в самостоятельную область, имеющую свою специальную литературу а). В дальнейшем мы еще вернемся к некоторым вопросам теории струй. Как показали опыты, ламинарные струи мало устойчивы и сразу же по выходе из источника переходят в турбулентное состояние. То же относится и к аэродинамическому следу за телами. ГЛАВА !11 ТРЕХМЕРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧИЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 9 38. Равномерное вращение диска в безграничной вязкой жидкости В отличие от рассмотренных в предыдущей главе неплоских двумерных течений с двумя компонентами скорости, зависящими от двух координат, в настоящей главе будут разобраны осесимметричные прострзнственные движения с тремя компонентами скорости, в силу симметрии вависящими только от двух координат.
Начнем с рассмотрения пограничного слоя, образующегося на диске, равномерно вращающемся в безграничной жидкости вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости. Задача зта гг была впервые решена Карманом '). Более точные вычисления впоследствии г выполнил Кокрен Я). Обозначим (рис. 43) гг через и, и, тв соответственко радиальную, окружную (азимутальную) и нормальную к плоскости диска компоненты скорости в системе цилиндрических координат г, д (азимутальная координата при наличии осевой симметрии Рис. 43.
течения в уравнения не входит). Полные уравнения движения (уравнения Стокса) будут иметь вид (6.1) дм дэ 1 др г'д'ю 1 дге д'ге! и — + тв — = — — — +ч~ — — + — — + — ), дг дл р дз ~дг' г дг дат)' ди и дю — + — + — = О. дг г дл ') ч. К а г ю а и ТЬ., Еензсвг. !. Апнетт. Ма!Ь, я, Месй. 1 (1921).
') С ос Ь г а п %, О., Ргос. о1 !Ье СаюЬг. РЬП. Бос, 30 (1934). См. также моиогрзфию; дорф и а и Л. А., Гидродииамическое сопротивление н теплоотдача арзщающихся тел, физматгиз, 1960. 174 ТРЕХМЕРНЫЕ ОГЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОГРАИИЧНЫР СЛОИ [ГЛ Мг где за аргумент принято выражение (6.4) Задача сведется к интегрированию совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих — проиаводная по ч) А+6 =0,1 уз+ г~ь а [ О 2ЯК + ЬД" — К" = О, Р'+ ЬЬ' — Ь" = О. (6.5) при граничных условиях г=О, аг=1, Н=О, Р=О при с=О; (=0, К=О при ч=-со.
(6.6) Карман проинтегрировал зту систему уравнений приближенно, используя понятие о пограничном слое конечной толщины Ь, которая в этом случае не может зависеть от г, т. е. будет постоянной '). Из второго и третьего уравнений системы (6.5), пользуясь первым, легко вывести следующие дза, содержащие только две неизвестные функции г и К, интегральные соотношения, (6.7) ') Указанные Кокреяом [си. сноску иа предыдущей странице, а также Сойес(ед ц'огиз о1 П), ч.
Кагщав, 2 (1%6), 1.ояйоц, стр, нн) неточности здесь исправлены. Граничные условия при равномерном вращении диска во«руг оси Ог с угловой скоростью е) будут такими: и=О, и=гы, п)=0 при а=О; (6.2) и=О. и=О при а=со. Если отвлечься от влияния конечности радиуса диска, т. е. пренебречь периферийным эффектом и заменить диск безграничной плоскостью, то задача будет автомодельной. Следуя Карману, положим / ("), " = г ((1. = 1) ( ((), ~ (6.3) р = р (г) = р ияР(.), 9 38! глвномегное вглщвния диска в вязкой жидкости 175 где че= 61 — характеризует толщину пограничного слоя в безразч мерной форме.
Используя обычные для метода Кармана — Польгзузена граничные условия ,л г,уй~ 7 = — О, — „,,= — 1, л'=1, —,;.=0 при .=О, /= — =О, л= — =-0 прн Г.=-(е, л'( ' лс зададим функции г" и л в виде полиномов (6.8) где Л вЂ” пока неизвестный формпараметр, а Г=(/(з. Для определения двух неизвестных Л и чв имеем два уравнения (6.7). Составляя вхо- дящие в эти уравнения интегралы / уз Г = (0,030!ЛЯ вЂ” 0,00675Л+ 0,000397) гзе, о с, Ю ~ агсК. =0 2357~ ~ (юг!~.=(0 0607Л вЂ” 0 00564)(з о о а также необходимое для дальнейшего выражение ( Ь= — 2 ~ У'А= — 2Гзга~ — Л вЂ” — 1-4-( — — — Л)га ! ( — Л вЂ” — )гз~, о (6. 10) получим вместо (6.7) два алгебраических уравнения, корни которых равны Л=0.1945.
Г =2,794. (6.1 1) Отсюда следует, что толщина пограничного слоя равна о = 2,794 $/ (6.1 2) Увлекаемые вращением диска частицы жидкости в пограничном слое двигаются от оси вращения к периферии по спиральным траекториям. На их место сквозь внешнюю границу пограничного слоя со скоро- стью (тв),, поступают новые частицы. Определим эту скорость; она равна (яв)з-а = — тв((а) = ~7ле7г((а) = ф'~м(й)г, — — — 0,545 !' м. 176 тгахмегные осесиммзтгичные поггхничные слон (гл Найдем момент сопротивления жидкости вращению диска рь диуса а (диск смочен с обеих сторон): а М=2. 2- / г ° гр( — ! с!г= гДо~ ~с.),, о Зя 1 = 4 рму' (О) ~ г' (г = рачу' (О) = — — ра4 2 о По второму из равенств (6.11) М = 1,69рт21п4юж = с пз рО)' 2 получим 338 Ш Ке = †.
(6.13 Кокрен, как уже упоминалось, непосредственно разрешил сь стему уравнений (6.5) численным методом, пользуясь понятие:, асимптотического слоя. Значения вычисленных им функциИ ппив< дятся в таблице 1О. Таблица 1! Пользуясь данными тзблицы 10, можно определить величину коза фнциента момента см, Точное значение этой величины оказызаетс. равным с и ~/' — ' (6.14 0 О,! 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 0 0,046 0,084 0,114 0,136 0,154 0,166 О,! 74 0,179 0,181 0,180 0,173 0,162 0,148 0,133 0,1!8 0,084 0,058 0,026 0 1,0 0,939 0,878 0,8! 9 0,762 0,708 0,656 0,607 0,561 0,51 7 0,468 0,404 0,341 0,288 0,242 0,203 0,131 0,083 0,035 0 0 0,005 0,018 0,038 0,063 0,092 0,124 0.158 0,193 0,230 0,266 0,336 0,404 0,466 0,522 0,572 0,674 0,746 0,826 0,886 0,510 0,416 0,334 0,262 0,200 0,147 0,102 0,063 0,032 0.006 — 0,0!б — 0,046 — 0,064 — 0,073 — 0,076 — 0,074 — 0,061 — 0,046 — 0,022 0 9 391 глвномгвног вглщвнии днскл, огглничвнного кожххом 17Ч т, е.
значительно превосходит приближенное, подсчитанное по методу Кармана значение и близко подходит к опытным данным. Пользуясь таблицей 10, можно подсчитать секундный обьем жидкости, подтекающей в осевом направлении к вращающемуся диску сквозь внешнюю границу слоя, или, что то же, отбрасываемой одной стороной диска в радиальном направлении. Этот расход (;! определим по формуле ьг' = 2яа ~ и йл = 2 каям фl — / у ("„) Ж.
о о Но по первому из уравнений системы (6.5) находим 2 ~ У(С)с((.= — !Ь(со) — й(0)) = — Д(оо) о и, следовательно. пользуясь таблицей 10, получим О = 0,886яаа )! чи = — '. )' йе (6.! 5) 9 39. Равномерное вращение диска, ограниченного кожухом При равномерном вращении диска в ограниченном пространстве, в частности в соосном с диском цилиндрическом кожухе (рнс. 44), возникают новые явления, расмотрение которых прелставляет интерес. Отмеченное в предыдущем параграфе подтекание жидкости к вращающемуся диску н последующее ее отбрасывание к периферии диска вызывзет перетекания, образующие циркуляцию жидкости по стенкам кожуха.
Прн этом на основаниях кожуха движение жидкости происходит от периферии к оси. Если зазор между плоскостью диска и основаниями кожуха очень мал, в частности меньше, чем сумма толшин пограничных слоев, возникающих на диске и основаниях кожуха, то получается движение, аналогичное тому, которое имеет место под обильно смазанной а ° .„...,.
° .,р -. -. ° р.. .р. . в ...,~ ') Н ь, Р ц . Ма. ~, Ю 42 о%о 1768 — ~315. о) А ь1ьо го Г., Вепгояе гпг Рьуопс лег (ге!со А!аозрьвге 11, ж 4, !2 а*к оог л г чю„. Хоуарт') рассмотрел аадачу о вращении сферы вокруг одно~о из своих диаметров в безграничной жидкости и показал, что вблизи полюсов имеет место движение, аналогичное движекию на вращающемся диске вблизи его оси. Образующиеся в пограничном слое сферы течения от полюсов к экватору в некоторой мере соответствуют полярным пассатам, наблюдаемым в земной атмосферея).
178 т»зхмявныв осзсиммзтгичныв погганичныз слои (гл. ш теории пограничного слоя входит изучение более сложного, промежуточного случая, когда на рассматриваемых поверхностях образуются пограничные слои, не перекрывающие друг друга и взаимодействующие между собой через рззделяющую их область «вг2ешнего» потока. Этот случай был разобран впервые Шульц-Груновым '), использовавшим приближенный метод, аналогичный изложенному в предыдущем параграфе методу Кармана. Как показали опыты Шульц-Грунова, между пограничными слоями образуется объем жидкости с распределением азимутальных скоростей как в твердом теле, вращающемся с некоторой угловой скоростью 2в, средней между нулевой угловой скоростью кожуха н угловой скоростью ш вращения диска.
Рассмотрим в связи с этим две сзмостоятельные задачи: 1) о пограничном слое на основании кожуха — неподвижном диске радиуса Ь ~ а — при наличии внешнего потока с азимутальной скоростью Ряс. 44. (г = «2г (6.16) и 2) о пограничном слое на диске, вращающемся с угловой скоростью «2 прн наличии внешнего спутного квазитвердого вращения жидкости с тем же распределением азимутальных скоростей (6.16). Величина «2 может быть затем определена из условия равенства моментов сил трения жидкости о поверхность дискз и основания кожуха. В отличие от вращения диска в безграничном пространстве, в рассматриваемом случае внешний поток обладает азимутзльными скоростями (6.16), благодаря чему во внешнем потоке образуется изменение давления в радиальном направлении, характеризуемое производной г)Р $/2 =Р =Р22 г.
(6,17) В связи с этим при рассмотрении системы уравнений (6.11 уже нельзя пренебрегать радиальными производными, как это делалось ранее, в ~лаве !!. Воспользовавшись уравнением неразрывности (четвертое уравнение системы), перепишем левую часть первого нз ') Я с В я ! 1 г-С2 г ч я о м )2., Еепзсйг. !. А пйегг. Ма%. в. Месм ! 5, № 4 (1935), 19!. 9 39! яхвночзтноч вяюцвнив виска, огвлниченного кожгхом 179 уравнений (6,1) в виде ди и' д (ии) дя и- д (и') из е', д (иш) сс + дг дл дг г г ' дз дг г после чего умножим обе части уравнения на гдз и проинтегрируем по г от нуля до толщины слоя на неподвижном диске, которую, в от.чичие от толщины о слоя на вращающемся диске, обозначим через 6р. Замечая, что ь 'б и =.!' г — (и ) дз = ( — (ги ) г(г — 7 и дх .
г дг .l дг и что, по условию, радиального потока на внешней гранпне слоя нет (и = 0 прн г = бз), а и и ти= 0 при з = О, придем окончательно к следующему первому интегральному соотношению импульсов: ~э 1 й Ъ вЂ” г ! и г(з~ — ( и Жз= -- ~г~ — г! — г ( —. дг. (6.!8) О О о Аналогично перепишем левую часть второго уравнения системы (6.1) в виде д д ии дг — (ии)+ — (пш)+ 2— д» г ---! г ! ипФг — ыг — г ! иа(а = — яг ! — ), (6.19) дг ~,1 / выражающее теорему об изменении момента количеств движения. В кзчестве приближенных профилей скорости примем следующие: и=- — ив!1 — (2 — — 1) ~ и и=га~! — (! — — ) ~, (6.20) где и — неизвестная максимальная радиальная скорость, а знак минус при ней взят в связи с тем, что на основании кожуха радиальная составляющая скорости направлена от периферии к осн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
