Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 25
Текст из файла (страница 25)
отражено вторым членом в квадратной скобке (5.17) и соответственно функцией ~яз(Ч). удовлетворяющей третьему уравнению системы (5.19). Значения функций 7,'! и /' приведены в таблице 9. Для установления связи между моментом отрыва г и абсциссой точки отрыва х, необходимо решить уравнение которое, согласно (5,17), приводится к виду -хционлвного и настлционлгного слоев 147 Таблица 9 Р Уз1 Р Ую .
численными значениями у', (0), ут, (0) и Г (0), согласно кч и таблицы 9, получим уравнение + -)( ) +015ОУ ( а) ~ О (52!) .е шара радиуса а имеем х 3 . х ге (х) = а г3п —, У (х) = — У з1п —. а' 2 а' йвляя в уравнение (5.21), придем к приближенному равен- (Гг х 1+2.360 — 'соз — = О. й а .. йе провел разложение в фигурной скобке (5.17) до тз вялю.
ительно н получил в результате более точное уравнение х +2,360 — 'соз — — ~ — '! ~0,662 созе — — 0,180)+ а а ! а й г и„г,з, х хь +~ — ') !0,010созз — — 0,0!7соз — )=О. (5.22) а 7 а а огласно этому уравнению, момент т, начала возникновения отрыва х задней критической точке шара (соз — = — 1) и пройденный а ' этому моменту шаром путь й определяются величинами Г, = 0,392 —, й = 1,У„= 0,392а. (5.23) Можно заметить, что эти значения несколько больше изученных % 24 величин для круглого цилиндра, что объясняется фактом 0 0,142 0,246 0,3! 8 0,362 0,382 0,382 0,367 0,340 0,307 0,269 0 0,0! 7 0,034 0,051 0,066 0,080 0,091 0,099 0,103 0,102 0,099 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,231 0,191 0,158 0,126 0,099 0,075 0,056 0,041 0,029 0,02! 0 0,092 0,083 0,072 0,061 0,050 0,040 0,031 0,023 0,016 0,011 0 148 наплоскиз двгмввныв погвлничньщ слои (гл, в более медленного развития пограничного слоя на поверхности шзра по сравнению с цилиндром.
Если пренебречь обратным влиянием отрыва погрзничного слоя с поверхности шара на распределение скоростей У (х) на внешней его границе, то можно, пользуясь уравнением (5.22), подсчитать последовательные моменты Г, прохождения отрыва через различные точки х,/а поверхности шара. Приводим хотя и имеющие скорее качественное значение. но все же представляющие интерес результаты такого расчета: (х,/а)' = 180'; ! 60', 120'; 110', и г, — ' — ' =0,392; 0,521; 0.853; 1,505. Обращает на себя внимание любопытный факт резкого возрастания времени продвижения точки отрыва при удзлении ее от кор'щвой критической точки.
9 82. Преобразование Степанова — Манглера х = / г'„Д) Щ. у = гв (х) у, о ~5.24) У~ о= — + —. 2 'о гв в=и, ') С т е и а и о в 8. И., ПММ, т. Х 1, в. 1, 1947. ') М ап81ег %'., Хе!!зскг. 1. Апйелю Ма11ь ц. Месй. 28 (!948), 97. При рассмотрении предыдущих примеров можно было заметить наличие некоторой связи между решениями соответствующих двумерных неплоской и плоской задач. Различие между этими задачами, по крайней мере в той приближенной постановке, которая могла быть прзнята в случае удлиненных тел вращения, сводилось к наличию влияния поперечноЯ кривизны поверхности тела вращения.
На самом деле в случае стационарных движениЯ нет необходимости специально заниматься решением задач о неплоском двумерном слое на удлиненных телах вращения, так как эти задачи могут быть сведены к некоторым своим плоским аналогам. Как показал Е. Н. Степанов '), а затем несколько позднее за рубежом В. Манглер т), уравнения (5.6) неплоского стационарного слоя могут быть сведены к уравнениям плоского слоя путем следующего преобразования координат х, у и проекций скорости и, о, У к новым переменным, отмеченным черточкой сверху: 14й й 321 пгвовглзовлние стзпановл — манглвгл Ьудем иметь формулы преобрззования производных д т д, д д д — гч =+ гау = = го = дх з дх а ду ду ду и после простых вычислений получии вместо (5.6) — ди — ди — ди. д'и ди де и — +о==и='+ч —, — +==О, дх ду дх ду' дх ду т. е.
действительно уравнения плоского стационарного слоя. Граничные условия сохранят при таком преобразовании свой обычный вид, одинаковый как для неплоского, так и для плоского слоя. В качестве простейшего случая применения преобразования Степанова рассмотрим осесимметричное течение жидкости в пограничном слое вблизи передней критической точки тупоносого тела вращения.
Вблизи этой точки распределение скорости нз внешней границе слоя задается линейной функцией и = сх; кроме того, можно приближе' но считать, что га(х) = х. Преобразование (5.24) в этом случае прииет вид з 3 х у=ху + 2 (5. 25) и .= и с Узх. (5.27) Как это следует из последнего равенства системы (5.25), дело свелось к решению задачи о плоском слое с распределением скорости на внешней границе по закону л В-— и=с,х' .,= Уз. Это частный случай класса точных решений Фоккера и Скан Я 11) при лг ='/з. Нет необходимости повторять ход этого решения. Поль2т 1 зуясь таблицами 3 и 4 при р= = —, определим все характ+1 2' терные величины плоского слоя, а затем, совершив обратный переход к переменным осесимметричного слоя, найдем искомые значения этих величин и для неплоского слоя.
Так, местное напряжение трения тч, в пограничном слое на теле вращения можно вырззить через соответствующее ему напряжение т в плоской задаче по формуле тм р( ) гер (=) гетн (5 26) Точно так же найдем связи для условных толщин слоев рм га 150 нвплоские двьмввныв пограничныи слон [гл, ч Преобразование (5.24), интересное с принципиальной стороны, может принести пользу лишь в случзях наиболее простых зависимостей го(х) и У (х). Чтобы по заданному закону (у(х) найти О (х), необходимо сначала разыскать зависимость х от х, а для этого составить обращение интеграла, заключающегося в первом преобразовании системы (5.24).
Подставляя таким образом определенное значение х в (Г(х), приходим в большинстве случаев к очень сложным аналитическим выражениям для О(х), которые не подходят ни под один из известных, далеко не многочисленных классов точных решений. большинство которых изложено в главе !1. Это обстоятельство умаляет значение преобразования (5.24) для разыскания точных решений задач о двумерных пограничных слоях на удлиненных телах вращения и заставляет обратиться к другим путям решения такого рода задач. ф ЗЗ. Однопаряметрический метод расчета двумерного стационарного пограничного слоя Обобщим на случзй двумерного неплоского пограничного слоя однопараметрический метод, изложенный в предыдущих двух главах для плоского слоя, Начнем со стационарного слоя. Выведем прежде всего соответствующее уравнение импульсов.
Для этого поступим так же, как и в случае плоского слоя. Пользуясь вторым уравнением системы (5.6), перепишем первое уравнение этой системы в форме д (г,и') д (г,ии) йсГ д'и дх ду о дх о дуо' Умножая обе части второго уравнения той же системы на У(х) преобраауем его к виду д (гоиИ ) + д (гои(Г) Н7 + = гои дх ду дл ' после чего вычтем почленно из обеих частей этого уравнения обе части предыдущего. Тогда получим д д дУ дои — [гои (У вЂ” и)[+ — [гоп (У вЂ” и)[+ го — (У вЂ” и) = — тго— дх ду Ил дуй Проинтегрируем теперь обе части этого уравнения поперек слоя по у от О до оз (или 6 — при пользовании понятием слоя конечной толщины). Тогда в полной аналогии с выводом.
помещенным в $16. придем к равенству юеэ иг — (гаити )+г,и — З =.. дх дх р 9 ЗЗ] однопаиаметгичиский маток иасчвта двтмивного слоя 151 в котором а' и Ь" обозначают, как и в случае плоского слоя, толщины вытеснения и потери импульсов, причем выражаются теми же самыми интегралами. Выполняя в первом члене слевз дифференцирование и деля обе части на гоиа, получим окончательное выражение уравнения импульсов в рассматриваемом случае двумерного неплоского слоя на удлиненном теле вращения (штрих — производная по х) и 'ь*' а""+ и (2+и)+ —,.
8"=-,г, (5.28) где Н= 8'/8". ль" + (ли(л ) ь» ( +— л й гйо (6.29) В силу (5.24), (5.26) и (5.27) имеем ЛЬ 1 Л, 1 ЛЬ" 1 Иго = (гоь )= — — + — — а . Лх го Лх го Нх го Лх а 2 огй — — — ь =гь, лх го ох — з — о Й=Н. т го Подставляя зти выражения в (5.29), вновь получим (5.28). Введем, как н в плоском случае, формпараметр / и величины НЯ н ь(7), положив и ьооз У=— ч Тогда уравнение (5.28) после умножения обеих его частей на иа„— сможет быть переписано в виде иь« и го — а '= [" — (2+н)71 — —,— /. ич От известного урзвнения импульсов в случае плоского слоя уравнение (5.28) отличается наличием последнего члена в левой части. выражающего влияние переменной поперечной кривизны поверхности тела вращения.
Заметим, что в принятой приближенной постановке (Ь(( го) при г = сопя(. т. е. на поверхности круглого цилиндра. уравнение (5.28) ничем не отличается от случая плоского слоя. Следует отметить, что с помощью преобразования (5.24) уравнение (5.28) можно вывести и непосредственно из уравнения импульсов плоского пограничного слоя 152 1гл. и непчоскга звямегные поггл»»ичныя слои После преобразования левой части прилем к искомому выражению основного уравнения однопараметрнческого метода в случае двумерного неплоского слоя на удлиненном теле вращения ') (5. 30) где функция Р(г) та же, что и в случае плоского слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
