Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. на передней кромке пластинки. В теории стационарного слоя можно было пренебречь этим «краевым эффектом», быстро убывающим прн удалении от передней кромки и ничтожно влияющим на с)ммарное сопротивление длинной пластинки; при нестационарном движении это не так. Остановимся на рассмотрении случая внезапного возникновения равномерного поступательного движения полубесконечной пластинки в своей плоскости и отметим две основные тенденции а картине развития пограничного слоя в пространстве и во времени.
Заметим, что в той части поверхности полубесконечной пластинки. которая удалена от передней кромки. пограничный слой будет развиваться так же, как и на безграничной в обе стороны пластинке, т. е. в соответствии с профилем скоростей (4.42) при (У(х)= (У и а= Рд (4.56) и= У Ег(4, 2~»г Что касается обл 1сти в непосредственной близости от передней кромки, то чем ближе к передней кромке, тем скорее установится Режим стационарного пограничного слоя с не зависящим от времени Распределением скоростей по Блазиусу.
Области эти непрерывно переходят однз в другую, прич.м прнкромочная область расширяется вниз по течению, постепенно захватывая все большую часть поверхности плзстинки. В пределе установится известное уже нам по главе ( стационарное течение в пограничном слое. Количественное описзние процесса образования погрзничного слон на внеззпно приведенной в движение полубесконечной пластинке было произведено рядом авторов (С.
М. Тарг, Е. М. Добрышмаи. 9 за» юг л г. лояиян«яяа )80 плоский настлцнонаРный погвлничный слОЙ !гл. щ Как и в предыдущих работах, в качестве нулевого приближения рассматривается обтекание пластинки идеальным потоком с функ- цией тока Че= У у. Добавка и, к продольной скорости будет вы- РажатьсЯ чеРез добавкУ Чг к фУнкции тока по фоРНУле и! †— — ' . дф, =ду ' Для построения первого приближения надо решить уравнение, полу- чающееся из (4.ЬТ), если положить правую часть равной нулю. Та- ким образом, задача может быть сведена к решению уравнения в частных производных по переменным х.
у и 1 — =чЧзи ди, дг' (4.58) при граничных и начальных условиях и,=О при 1=0, и,= — У при у=О, х> О, и,— »О при )у)-»со, Л~О (4.59) и при )х~ или )у)-»со, х~ О. Автор довольствуется этим цриближением, соответствующим начальному этапу движения и первым двум членам в разложении функции тока Ф( ° у !)=Ф.+Фг+Ф+ ". =У-у+ + У„)/.! Р, ~ —., ' )+ У„!7,( — ", -',)+ ... (4.80) Если положить Ф,=У„'и'.!7,(Е ), ! — ." у то потребуется решить уравнение в частных производных от двух ') Розин Л. А., ПММ, т. ХХ!1, в.
3, 1958. Л. А. Розин), ссылки на работы которых были уже даны в э 23. Первые два из них получнлн приближенные решения, основанные на использовании понятия слоя конечной толщины. Это привело их к установлению решения с резкой границей между областями стационарного и нестационарного режимов, где первые производные от толщины слоя по времени и координате терпят разрывы; при этом. конечно, и профили скоростей не будут гладкими.
Л. А. Розину ') удалось избавиться от этого недостатка и получить непрерывное и гладкое решение. Имея в виду наличие особенности в уравнениях пограничного слоя в области переднего края пластинки, Л. А. Розин обращается к полным уравнениям Стокса относительно функции тока, переписанным в форме чЧаЧА) — — Чтф = †3 †(Чзф) †††(7тф), (4,57) д дт д дт д дГ ду дх дх ду $ 271 пгодольнов нистлционавнов овтвкании пластинки 131 переменных Е и и вида — — ~Š— + л — )=7 иг 1Г да, дат 2Е де дя) (4.62) при граничных условиях и,= — 1 при и1 — — 0 прн т1 = О, Е)0, Е-ьоо, 71-ь оо, ~ "л ~ -ь оо, Е ~ О, 3 'Л!.
! Ц -ь со, Е < О. (4.63) при при )(~,(~4 —, ~а —, ~) з1ц(л — Яб, й = 'ЕУ ЕЯ+ т1а, О = агс16 (ЩЕ); — = Ег1 — ~+У при х > О, Ц"„— 2 о .Ег- — — 1 — l, пРи х< 0. и ОЗ ы / ~' [( а ) ~ ( 1)а( а )'а~е — „У~. (а )аа, (4,64) и=О нли 1, где применены общепринятые обозначения для специальных функций. Первое нз них удобно для расчетов при малых Й, когда ряд быстро сходится, второе — при больших 11.
Из второго выражения для скорости и сразу видно, что при ааданном ~ и больших х, т. е. больших Е, а следовательно. и больших Я. поле скоростей приближается к виду — = Ег( —, У У~ 2' )ч~7' (4.65) Для решения используется математическая аналогия с задачей стационарного пространственного пограничного слоя на боковой кромке пластинки, решенной Хоуартом ').
Искомое поле продольной скорости и определяется одним из следующих двух выражений через ряды или интегралы специальных функций; 152 плоскиЙ нестАционАРный погРАничный слОЙ (гл и слое на безграничной в обе стороны пластинке, приведенной вн» ванно в рзвномерное движение со скоростью У . На рнс. 39 приведены графики ззвнсимости и/СУ от,' прн раь личных значениях т), рассчитанные по формулам (4.64). Прежд» всего непосредственно замечается асимптотическое стремление ско рости при ,| †са к значениям, определенным по (4.65).
Обрашазна себя внимание кривые скоростей при отрицательных 5, выраж шие, очевидно, подтормажнвающие влияния пластинки на обл» течения вверх по потоку относительно переднего коая плас л' Рис. 39. Как видно, это рзспространяюШееся вверх по потоку возмущенн: ограничено облзстью пркмерно с ) †2 †: — 3. Исследование более сложного нестационарного движения пл. стинки принадлежит Ротту '). Им рассмотрено плоское движени.
вязкой несжимаемой жидкости на пластинке, совершающей гармонь ческие колебания в своей плоскости и находящейся во внешнеь продольном потоке со скоростью, пропорциональной расстоянию д~ среднего положения передней кромки пластинки. Решение получается путем использования уравнений Стокса, которые разрешаютш при помощи рядов, расположенных по положительным степеням чз стоты колебания пластинки (случай малых частот) нлн по отрицательным степеням той же величины (случай больших частот).
ф 28. Применение приближенного однопараметрического метода Лежащее в основе приближенных однопараметрических методо| расчета нестационарного пограничного слоя уравнение импульсоь может быть выведено совершенно аналогично тому, как это делалос. в теории стационарного движения. ') к о | | Х., очаг|. Арр|. Ма|И 13, М 4 (1956), 444 — 451, 6 28) пгимвнзиив пгивлижвнного одноплвлмвтгичвского мвтолл 133 Переписывая первое нз уравнений Прандтля при помощи уравнения нерззрывности в виде ли д т д дУ дУ дли др+ дх ( )+ ду ) дт дх+ ду' и вычитая обе его части почленно из обеих частей преобразованного уравнения неразрывности д (0и) д ((Ъ) д(7 получим — (У вЂ” и) + — (и (У вЂ” и)) + — !и ((7 — и)1= — (У вЂ” и) — — » †. д д д дУ дли дг дх ду дх дул' Интегрируя обе чзсти этого равенства по у поперек слоя и сохраняя те же обозначения для толшин вытеснения и потери импульса, что и раньше, придем к следующей форме уравнения импульсов в случае нестационарного пограничного слоя: (у — + — о" + (ут — + (У вЂ” (2о'*+ ь*) = ~.
(4.66) да* дУ „да* дУ Отличительной особенностью этого уравнения является то, что входящие з него величины 6*, о'" и -., так же как и У, представляют собой функции двух переменных х и 1. Легко видеть, что при отсутствии зависимости от Г уравнение (4.66) переходит в известное уже нам уравнение импульсов теории стационарного пограничного слоя. Обобщим нз случай нестационарного пограничного слоя изложенный в предыдущей главе однопараметрический метод. С этой целью допустим, что в качесте семейств профилей скорости в сечениях нестационарного слоя могут быть использованы стационарные «наборы» профилей (4.67) с формпараметром 7, зависяшим не только от х, но и от Г, и с некоторой пока произвольной условной толщиной И слоя, которая также ввляетсв функцией переменных х и Е.
Принятое только что допушение соответствует в известном смысле «квазистационарному» приему рассмотрения явлений в нестационарном пограничном слое. Выразим через И и г входящие в уравнение импульсов (4,66) неизвестные 3', ь*' и т . Прибегая к там же .обозначениям, что 134 плоский нястационлгный погглничный слой и ранее, и полагая т) = у/Ь, найдем 3'= /(1 — -",) Гу=д~ (1 — а)г(а=й Н'(7), о о (4.66 3"= I "1'1 — И)1у=л~ 7(1 — 7)(1=» н-в, й1 (ГУ о о .=р~ —,1 — р — 9 (о,л — ь Сч). луге где, подчеркнем зто.
Н', Н н ь являются функпиямн только форм параметра 7. для определения структуры формпараметра 7 используем то ж: его определение, как и в случае стационзрного слоя. Примем аа взятое с обратным вязком безразмерное выражение второй произ водной скорости и по у при у = О. Используя первое нз уравнени~ нестационарного пограничного слоя (1.13), согласно которому буде- получим Таким образом, вводя для краткости обозначение 1 дУ дУ Я= — — + —, и аг лл' (4.70 найдем для формпараметра выражение яаз У= —. ч (4. 71 да~ ди лн* лу — =Н' — +Л вЂ” —, дг дг лг дг' да** „дл г Н дУ вЂ” =Н" — +И вЂ”вЂ” дг дг ~Ч~ д1 н подставляя зги их значения в уравнение (4.66). получим посл: простых преобразований слелуюшее нелинейное уравнение в частны; соответствующее использованному нами квззистационарному подход и представляющее очевидное обобщение формпараметра стапионаьного слоя. Составляя по (4.66) входящие в уравнение нмпульсов (4.66 производные $28) пгимвнанив пвивлижвнного одноплвлметгичяского метода 135 производных первого порядка, служащее для определения заданного равенством (4.71) формпараметра г": Уравнение это служит обобщением уравнения (3.23) предыдущей главы на случай нестационарного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
