Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. положим (3.20) по методу Польгаузена, и экспериментальные точки по Шубауеру. Бросается в глаза отмеченное выше отставание в развитии польгаузеновского профиля скорости по сравнению с экспериментальным (пунктирным), который при х/11=1,946 уже имеет типичный предотрывный вид с отчетливо заметным перегибом, в то время как у польгаузеновского профиля (сплошная кривая) точка перегиба еше только еле заметна. Интересно заметить, что в случае обтекания эллиптического цилиндра минимальное экспериментальное значение параметра Польгаузена Л оказывается равным Л= — 5,37, т.
е. еще очень далеким от Л,= — 12. Конечно, причина такого неудовлетворительного состояния теории Польгаузена заключается главным образом в неудачном выборе основного полинома (3.10). Попытки перехода к полиномам пятой и шестой степени, учитывающим более широкую совокупность граничных условий, чем (3.7) и (3.8Л и, в первую очередь, непосредственно следующее из уравнений Прандтля условие (Ф)„.=' показали возможность уточнения метода Польгаузена, но в настоящее время в связи с развитием других, гораздо более простых и точных методов, о которых будет речь впереди, вряд ли такие уточнения представляют интерес. 9 19) овозшение метода кагмлнл — польгляззна 99 Зтот новый параметр отличается от старого параметра Польгаузена Л (3.9) тем, что в нем толщина 5 заменена 5"; оба параметра связаны очевидным 'соотношением У = ЛН"".
(3,21) ь(ет необходимости вновь выводить уравнение для определения параметра у. Лостаточно вернуться к уравнению (3.15) и заметить, что входящие в него функции д (Л) и А(Л) при помощи (3.21) могут быть выражены череа /(Л) и функцию Р(Л) = 2Н" [Ь вЂ” Л(2Н + Н')). (3.22) Так, а(Л)= —,, Ь(Л) = — „, Р 0У/ИЛ ' Л/г/ЛЛ ' после чего уравнение (3.15) перейдет в искомое уравнение для определении формпараметра ДФ (/И У'= и Р(у)+(: ~ (3.23) В этом уравнении предполагается, что Р выражено в функции от у' путем исключения Л из совокупности уравнений (3.21) и (3.22). Чтобы произвести это исключение, введем, подобно тому как это делалось для определения величины Ь(Л), безразмерную первую производную от скорости прн задании семейства профилей скорости (3.19) С=( — )) =~ ( ~~~ 3 =~ ~~ ц 3 +=ЬН .
(3.24) Заметим еще. что ЛН'Н"=ЛН", Н=уН. (3.25) ~ЬЬ(у/5 ) 1у=е ( ~~)я=о Ш ~(1-т) лч Н ' 0 т(1 т)еЧ (3.27) (3.28) уже являются функпиямн параметра /. Таким образом, исключение Л произведено. Тогда, раскрывая скобки в (3.22), получим новое выражение для функпмн Р(/) Р(у) = 2 1ч — (2+ Н) Г), (3.26) где величины 100 пРнелнженные однопАРАметРнческие методы [гл. ш д (и/(Г) 1 ч д (У)а") [т= иь" [1 — т(ч; У))дч ч Р(ча СГЗ Н(Я, / т 09 У) П вЂ” т (ч' У)[ дч о и уравнение импульсов (3.5) перепишется в форме (3*')'+ [2+ Н(г)[ = —...
ч(Д. (л» Умножая обе части этого уравнения на 2 —, преобразуем его ч к виду У( — ) + 2 — [2+Н(г)[=2(Д). и'е Неопределенный пока формпараметр положим равным тогда предыдущее уравнение приобретает однопараметрический вид У~ — „) = 2". (У) — 2~ [2+ Н(У)[= Р(У); (3.29~ ') Л о й ц я и с к и й Л. Г., )ЛА Н СССР ЗЗ, Рз 8 (1942Х Изложенный только что вывод') основного уравнения (3.23) показывает непосредственную связь нового однопараметрического метода со старым методом Кармана — Польгаузена. По Ходу вывода становится ясным существенное преимущество уравнения (3.23) по сравнению с уравнением Польгаузена (3.15). Переход от параметра Л к параметру г' свел две, содержащиеся в уравнении (3.15) характеристические функции е(Л) и»е(Л) к одной гт(/), причем, как далее будет показано и что очень существенно, новая характеристическая функция г»(у), в отличие от двух предыдущих, допускает в первом приближении замену ее линейной функцией.
что позволит свести уравнение (3.23) к простому линейному дифференциальному уравнению. Можно дать другой вывод уравнения (3.23), не связанный с уравнением Полы аузена (3.15), а непосредственно использующий уравнение импульсов в общем его виде (3.5). Будем исходить из того, что профили скоростей в сечениях слоя заланы однопараметрическим семейством (3.19) с некоторым, пока неизвестным формпараметром г. Тогда будет 9 20) опгвдвлвнив хлвлктегистичвских втнкций 101 выполняя дифференцирование слева, вновь получим уравнение (3.23). Бели после преобразования уравнения (3.23) к виду (3.29) ввести в качестве размерного параметра величину р,2 э Ц (3.30) зэ представляющую собой аналог параметра Польгзузена г = †, то можно получить уравнение (")'= "й' (3.3 1) не содержащее второй производной (7", т. е.
не требующее двухкратного дифференцирования задаваемой обычно приближенно величины (7(х). Уравнение (3.31) удобно для интегрирования численными и графическими приемами. Переход от параметра ), к 7' и вместе с тем к уравнениям вида (3.23) или (3.3!) был предложен независимо друг от друга рядом исследователей в период 1940 †19 гг. По-видимому, впервые по времени уравнение (3.31) было предложено Г. Хольштейном и Т.
Боленом '). Можно, однако, заметить что на два года раньше Хоуарт з) уже пользовался, по существу, аналогичным параметром Х= )/ у' и уравнением типа (3.23), применяя класс точных решений, соответствующих «односкатному» профилю скоростей внешнего потока, для расчета пограничного слоя с произвольным распределением скоростей на внешней границе з). Тот же параметр, что и предложенный Хольштепном — Боленом, был, независимо от этих авторов, введен у нас одновременно А. П.
Мельниковым 4) и автором настоящей книги а). Уравнения типа (3.23) и (3.31) были испольвованы и другими авторамиэ). ') Но!а!е!и Н., Вод!еп Т., ЬВ!еп!а1 — Вег!сдд 3 — 10, М 5, 1940. э) Н о ж а г ! Ь 1 ., Ргосеед, коу. Яос., Вег. А, 164, М 91 9 (1938). ') Подробнее см. Лойцянскнй Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя„Гостехнздат, 1941.
в. 1, 1942. 1) Мельников А. П., Труды Ленингр. военно-воздушной академии, э) Л о й ц я н с к и П Л. Г., ЛА Н СССР 85, № 8 (1942). ') У о п п 9 А., Ю ! п ! е г Ь о ! ! о гл Н., АКС, КеР. 4697, 1940; Тт' а ! г А., 1.!Пел!а! — Вег!сш, 141, 1941; т а п ! 1., Аего. Йеэ.
1пю, токуо ()и!т., 199, !941; Н и П ! гл о ! о В., зонгп. Бос. Аего. Зс!. зарап, М 8, 1941. ф 20. Определение характеристических функций Для определения входящей в уравнения (3.23) и (3.31) функции Р(у), а .вместе с тем и функций Г(г) и Н (Г), остается задаться тем или другим однопараметрическим набором профилей скорости .в сечениях пограничного слоя. 102 пэизлнженные однопаваметгические методы [гл. ш В ранее цитированной нашей работе 1942 г. использовалось семейство профилей (Г.= 1 — у/3) —,=<2(",) =!+а,"."+аэ",""'+аа (3.32) с переменным вдоль слоя показателем степени п, характеризующим очевидно, степень плавности перехода профилей скорости (3.32) к значению а/(/=1 на границе слоя (ч=О).
Коэффициенты а,, аэ. аз определялись из условий на стенке и=О, = — — = — Л, =0 прн у=О, (3.33) де (и/Щ (/'Ь2 до (и///) д (у/э) — д (у/э)2 представляюших условия Польгаузена, дополненные последнии условием, непосредственно следующим из первого уравнения Прандтля, если обе его части продифференцировать по у, воспользоваться уравнением неразрывности и положить у=О. Было получено а,= — Л вЂ” — (и+1)(и+2), ! 1 2 6 аэ= — Л+ — (и — 1)(и+ 2), л 1 л-1- ! 3 л — 1 1 а = 2(л+ !) 6 Л вЂ” — (и — 1) и, (3.34) и после этого вычислены характерные для слоя величины Ь=! /! = — р'(1) = — Л+ — (и+2), г д(и/(/) 1, 1 1 [ д(у/Ь) /у=о л+1 3 э' а, а2 ао Н Э л-1-1 л+2 л+3' э"' а2 а2 а2 1 2 з э 2л-1-1 2л+3 2л+5 а,ае 2а,ао аеао л+! 2л+3 л-!-2 ' (3. 35) В точке отрыва слоя (т =О, 6=О) будет Л = Л, = — — (и+ 1) (и+ 2).
1 (3.36) Границы значений Л, в которых указанные профили обладают свойством монотэнности, будут — Л,>Л>Л, (3. 37) Предложенное семейство профилей (3.32) является деуларамеглричееиим. Его можно сделать однопараметрическим, если задаться связью между параметрами л и Л. $20] ОНРеделение КАРАктеРистических ФункциЙ 103 Заметив, что в конфузорной области слоя профили скоростей (олее ааполнены, чем в диффузорной области, где благодаря налнию перегиба профили имеют урезанный вид, можно предположить, то степень плавности смыкания внутреннего н внешнего потоков ;олжна непрерывно уменьшаться при переходе из конфузорной юласти в диффузорную. Сообразно с этим и долж)го уменьшаться ~пи убывании Л. В цитированной работе был принят линейный закон .той связи Л= 3 (и — 4), и=0,15Л+.4, 20 (3.38) оответствуюший использованию многочлена четвертой степени в точке !Инимума давления (Л = О) и многочлена третьей степени в точке отрыва (Л = Л, = — 20/3).
Равенство (3.38) позволяет выразить характерные для слоя велиины Н*, Н, Ь в функции одного параметра л, а затем составить и ;еличины у, ч, Н, Р в функции от и, после чего окончательно пределить функции ч(7), Н(~) и Ь'(у). Таблица 7 содержит знаения этих функций в интервале изменения 7' от отрывного ,= — 0,089, где ч = О, до критического в лобовой точке = 0,084 †: 0,085, где должно быть (7 = 0 и, следовательно, .огласно (3.31), Р = О. Таблица 7 0,357 Класс точных решений Фокнера и Скэн (9 11) приводит к одно1араметрическому семейству (2,24) с параметром р.
Пользуясь вы1ажениями (2.19), (2.23) и таблицей 4, легко найдем выражения тля у, г., Н и Р в функции от параметра р, а затем и ((/), Н(/) . гИ. 3 - ° * чу юа р ° ° а ° Я'>. (1942), ') Кочин Н. Е. н Лойцянскнй Л. Г., ДАН СССР 36, Зй 9 — 0,089 — 0,01 0,00 0,000 0,019 0,039 0,071 ' О,ГИ7 0,120 0,142 0,162 0,181 0,2000 0,2! 9 3,85 3,66 3,50 3,28 3,12 3,00 2,90 2,82 2,74 2,67 2,61 1,04 1,00 0,96 0,88 0,81 0,74 0,68 0,615 0,55 0,495 0,44 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,084 0,085 0,236 0,253 0,270 0,286 0,302 0,318 0,335 0,350 2,55 2,50 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,24 0,38 0,33 0,275 0,22 0,17 0,12 0,07 0,02 0,003 104 пРиБлиженные однопАРАметРические методы [гл. и Габлнцз ' Н вЂ” 0,0681 [ 0,0000 — 0,06 0,064 — 0,05 0,098 — 0,04 0,130 — О,'03 [ О,'!55 — 0,02 0,178 — 0,01 0,200 0,00 0,22! 0,01 ! 0,240 4,03 3,35 3,12 2,96 2,84 2,74 2,66 2,59 2,53 0,336 0,283 0,232 0,180 0,130 0,078 0,028 — 0,023 — 0,074 0,257 0,274 0,291 0,307 0,323 0,338 0,352 0,366 0,380 2.48 2,43 2,38 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,18 0,821, 0,02 0,772 ) 0,03 0,715 0,04 0,658,[ 0,05 0,602 [! 0,06 0,548 [ 0,07 0,495 [ 0,08 0,441 1 0,09 О,'388 ( О',1О Аналогично можно было бы использовать и однопараметрическиь семейства профилей скорости, получаемые из класса точных решений для «односкатного» профиля Хоуарта (9 12) или класса точны: решений А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
