Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 16
Текст из файла (страница 16)
31. ннх снл. приложенных к границам АВ, ВС, С0 и А0. выбранного элемента объема будут соответственно равны рй; р — "' с1х; — (р+ ~'гх)(Ь+ — '„" ~х); ( —.,1х), Прнменяя к контрольной поверхности АВС0 теорему количеств дви- жения в проекции на ось Ох, получим — (р+ — с1х)11+ — дх) — т Их=О. лр хг. ль их Ю нлн, откидывая малые величины второго порядка малости и деля после этого обе части на г1х.
и им лр — — + 1.à — — е - — = т . Фх йх их секундного количества движения, переносимого жндкостью сквозь сечение ВС, равна и — ух. йМ У вЂ” (У+ — Ых) + 0 — дх+ ре+ р — игх— Н т ЛМ иь йх ) их йх р=д'гх! йг -1й — хУ' лх 92 пРиБлиженные однопАРАметРические методы (гл. ш Подставляя сюда значения У и М и заменяя — на — р(7 — , ига и~ йх их ' получим и (' /' Н/ . их,/ Ри г'У+(а ~ ~ риаау+р(7 о о 6 ! Ри ау+ — ~(7! риалу — — ~~ ои 1 -+ о о аг(г (' и(г 1' +,/ Р(7 сау = / ри ((а' — и) аау.
» 7, ((7 их,/ агх,/ аГх,/ Ю' откуда уже нетрудно найти уравнение импульсов в форме (З.З). Таким образом, мы убедились, что уравнение (3,3) действительно выражает теорему импульсов в проекции на продольную ось движения жидкости в пограничном слое. Уравнение импульсов содержит трн неизвестные величины: о', о'*, т или, что все равно, 3, Н и т . Задаваясь формой профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, мы получаем возможность свести эти три неизвестные к одной — параметру, определяющему вариации форм профилей скорости. 9 17. Метод Кармана — Польгаузена Зададимся, следуя ранее цитированной работе К. Польгаузена, набором профилей скорости в сечениях слоя в виде многочлена четвертой степени (а) = у/о) и 7 = — = ао+ ага) + ааа)а+ аза)з+ ааа)а.
Чтобы приблизить это выражение к действительному профилю скоростей, подчиним выбор пяти коэффициентов а,, во-первых, трем очевидным граничным условиям (см. (3.6)1 и ~=О пРи та — — О, ~а=1, — =0 пРи а)=1 (3.7) (3.8) Первое из этих дополнительных условий непосредственно следует из первого уравнения (1.17) Пргндтля, второе выражает условие и затем еше двум дополнительным ~а, Нза ича — а условиям при а1= О, при «=1.
9 17! 93 метод клемана — польглизенл того, что сопряжение профиля скоростей и(х, у) со скоростью У (х) на внешней границе имеет второй порядок, т. е. удовлетворяет условию равенства нулю кривизны профиля скоростей в точке сопряжения его с горизонтальной прямой и = У (х). Из принятых пяти условий легко определяются коэффициенты лп Если ввести в рассмотрение формпараметр Польгаузена (3.9) то искомый профиль скоростей будет иметь вид !2+Л Л 4 — Л 6 †те! .,з! 6 2 2 6 (3,10) или, выделяя явно условия сопряжении при 4 = 1, + 1)( 1)+6 (3.11) Определим границы возможного изменения формпараметра Л. Как сразу видно из (3.10), условию отрыва слоя (1.116) (А ) 12+Л соответствует Л=),,= — 12.
С другой стороны, составляя по (3.11) лт Л вЂ” '= — (1 — 4)з-4-3(1 (- 1)(! — )е+ — ((! — 4)з — 3)(! — ))Я) = мч (1 т~)Я~2+ 4т~+ 6 (1 4т) Л (3.1 2) заключим, что условие монотонности роста скорости в сечениях пограничного слоя соответствует требованию о том, чтобы корень уравнения 2+ 4т) + — (! — 4 ч) = 0, т. е. величина 2-1- 1,/6 2Л13 — 4 ' был больше или равен единице. Отсюда найдем Л ~~ 12. Итак, дону. стимая область изменения Л оценивается неравенствами (3.1 3) — 12 Л (1?.
Семейство кривых, ограниченное этими значениями параметра, приведено на рис. 32 сплошными линиями. Пунктиром показаны при"еры немонотонных кривых с параметром )., не удовлетворяющим (3,13) 94 пРББлиженные однопАРАметРические методы (гл. и Перейдем к составлению уравнения для определения формпаря метра )(х). Имея в виду дальнейшие обобщения, приведем вызов этого уравнения, несколько отличный от изложенного в работе Поль гаузена'). Отвлекаясь от частной формы профилей скорости (3.11, принятой Польгаузеном, предположим. что и/У представляет общяя гг ги ЕР Щ Да 06 гуЕг дг Рнс. 82. функпию 1Р(т1; А), и введем в рассмотрение следующие.
Бависящи= только от Л величины: а —,= 1 (1 — р)(|=Н'Р), о 1 з— ', = У р(1 — р) Н)=Н"(Л), о (3.14 Переписывая уравнение импульсов (3.3) в виде у'з (Н Ь)'+ — (2Н" +Н )=1 и замечая, что по определению (3.9) параметра Х будем иметь ') Л ой Нянек и й Л. Г., ДАН СССР, ЗЗ, М 8 (1942). 96 метод кАРмАнА — польгаузенА $ 171 перепишем предыдущее равенство в виде (фУ вЂ” ', )l"ЛН") +)/ — ', Ч Л(2Н "+Н")=фl — ' Выполняя дифференцирование в левой части и сокращая обе частк / «СГ' уравнения на у †,, получим Л' = 1, К (Л) + и„ й (Л), г, и- (3.! 5) где положено а (!) — л(2и" + н*) к(л)= „и.
1 ' Л вЂ” Л+ 2 И'* ! ли" 2 й(л) — ди- 1 + 2 И" (3. 16) Уравнение (3.16) представляет общий вид преобразованного уравне- ния импульсов в том случае, когда используется произвольный одно- параметрический набор профилей с параметром ), и =~(Ь, Л)=1(тб Л), Возвращаясь теперь, в частности, к однопараметрнческому семейству Польгаузена (3.10) или (3.11), вычислим по (3.14) 3 Л Н'(Л) = — — —, 10 120 ' ,* . 3? Л !Л Н**(А) = — — — — — '-., 315 945 9072 ' Ь(Л) =2+ —. (3. 17) Подставляя найденные значения Н'(Л), Н" (Л), Ь(Л) з выражения функций л'(Л) и й(л).
будем иметь 3,84+ 0,81 213,!2 — 5,76Л вЂ” Лг ' Й Л = 213,!2Л вЂ” 1,92ла 0,2лз 213,12 — 5,78Л вЂ” Лг ') См. таблицу Ч нашей монографии ААэродинамика пограничного слояР, Гостеаиздат, 1941. Функции эти затабулированы'). Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения (3.16) первого порялка представляет значительные вычислительные 96 пгивлижвнные одноплвлмятгичаские ьштоды (гл. ш трудности, так как это уравнение имеет особые точки в начале координат х = О, где (7(х) = О, и в точке минимума давления х = х , где (7'(х) = О. Польгаузен интегрировал эквивалентное (3.15) урав- З2 ЛЛ пение (г = — = —,) ч (7') О 8 ( 90?2.+ 1670 4Л (47 4+ 48 — я) Л' (1+ — я) Лз~ .
(3.!8) (l ( — 213,12+ 5,76Л+ ЛЯ) Для интегрирования применялся графоаналитический метод изоклин. Вычисления начинались с лобовой критической точки х = О, где (7(х) = О. Для определения начального значения Л = Л использовалось то, что точка х = О, г = ге является особой точкой уравнения («седлом»). Приравнивая нулю числитель в правой части уравнения Польгаузена (3.18) при (7 = О, получим кубическое уравнение, корни которого будут: ( — 70), 7,052 и 17,75.
По условию (3.13), смысл имеет лишь корень ) = 7,052. который принимался за начальное значение Л. Как показали многочисленные расчеты, метод Польгаузена оказался и сложным, и недостаточно точным. Было сделано много попыток уточнить метод путем использования многочленов других степеней, а также и других функций'). В настояшее время сохранилась лишь общая идея этого метода, а созданные на его основе другие однопараметрические методы с вычислительной стороны гораздо более точны и просты. ф 18. Применимость метода Кармана — Польгаузена Чтобы составить себе представление о возможности применения метода Польгаузена для практических расчетов, остановимся прежде всего на простейшем случае продольного обтекания пластинки (задача Блазиуса).
В этом случае (7 = сопя! = (7 , (7' = О, следовательно, Л повсюду равно нулю. Согласно (3.!7), имеем Н'=0,3; Н"=О,!175, 8=2. Уравнение импульсов непосредственно сводится к такому: 0,11753'= 2~/((7 8), откуда при начальном условии 8 =- 0 при х = 0 получим 8=5 83 )/ ') Подробнее см. ранее цитированную нашу монографию «Аэродинамика пограничного слоя», стр. 171.
$181 ПРименимость методА кАРмАНА — польглузенл 97 и, следовательно, будем иметь о'= 0,3о = 1,75 $/ †', , 3'" = 0,11?5о = 0,685 $~ и„ии„' =)к Ь=О 343 1/ 3 Сравнивая эти результаты с ранее полученными точными решени|ми задачи Блазиуса, убеждаемся в пригодности метода Польгаузена для случая отсутствия продольного изменения давления.
Весьма удовлетворительные результаты получаются и в конфузорных областях пограничного слоя с ускоренным движением во внешнем потоке. В оригинальной работе Польгаузена можно найти расчет плоского конфузора с распределением скоростей У = — А/х. Аналогичная задача в точной постановке была уже решена в 3 11. Как показывает сравнение этих двух ф вэ ЗЗЗ решений. разница между ними ф г 1 Фу=бу4а очень невелика. 1)е а к ЙоРет.бйеаегоУ ее/ ч Иной результат получается при применении метода Польгаузена к расчету диффузорных участков да ПОГраНИЧНОГО СЛОЯ, ГдЕ ВНЕШНИЙ ' ЛЕ = — „=да.нтга поток замедляется, а давление восстанавливается. Расчеты показывают, что профили скоростей, определенные по методу Польгау- фЩ вена, отстают в своем развитии от Рнс.
33. точных и дольше сохраняют свою «полноту». Это отставание сказывается особенно резко при приближении к точке отрыва; точка отрыва, определенная по Польгаузену, как правило, располагается ниже по потоку, чем в действительности, а иногда и вообще не обнаруживается. Так, например, в случае поперечного обтекания круглого цилиндра точка отрыва по Польгаузену лишь незначительно смещается по сравнению с результатом расчета по более точной теории. В случае же поперечного обтекания эллиптического цилиндра, экспериментально изученного Г. Шубауером ') (отношение осей а: Ь= 2,96: 1), теория Польгаузена не предсказывает отрыва, между тем как опыты обнаруживают отчетливый отрыв в точке, отстоящей от передней критической точки на расстоянии, примерно равном длине Ь меньшей оси эллипса. На рис.
ЗЗ приводятся для сравнения несколько профилей скорости в сечениях пограничного слоя на эллиптическом цилиндре, рассчитанных ') Зсй ИЬа иег О. В.. МАСА, йер. 527, 1935. 7 Зак езг Л Г Лаан н.«на 98 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. Пг ф 19. Обобщение метода Кармана — Польгаузена Изложенный в предыдущих параграфах однопараметрический метод может быть легко обобщен и на случай произвольного семейства профилей скорости и асимптотического или конечного по толщине пограничного слоя.
Такое обобщение приводит к значительному упрощению и уточнению метода. Примем в качестве характерной толщины пограничного слоя вместо условной толщины 3 строго определенную величину — толщину потери импульса 3 . Зададим однопараметрическое семейство профилей скорости в сечениях слоя в виде гг =Тф) У)=17(тй У) (3.19) где формпараметр 7', аналогично (3.9), определим как взятую с обратным знаком безразмерную вторую производную скорости по нормальной к стенке координате, вычисленную непосредственно на стенке, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
