Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Там же можно найти формулы для безразмерного напряжения трения, толщин вытеснения и потери импульса. абсциссы точки отрыва и др. ГЛАВА П1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 5 1В. Некоторые общие соображения Решение практических задач теории ламинарного пограничного слоя путем непосредственного интегрирования уравнений Прандтля при произвольном распределении скорости во внешнем потоке представляет значительные трудности. Представить заданное распределение скоростей достаточно точно при помощи одного из тех распределений, которые были использованы в классах решений, рассмотренных в предыдущей главе, удается только в самых редких случаях.
На помощь приходят хорошо разработанные приближенные методы, начало которых относится к ставшим уже классическими работам Кармана и Польгаузена 192! г. '). Основная идея этих методов заключается в использовании вместо точных распределений скоростей в сечениях пограничного слоя некоторых наборов профилей. представленных семейством кривых с одним параметром. Изменение параметра создает то разнообразие форм профилей, которое необходимо для приближенного описания движения жилкостн во всем пограничном слое, включая как конфузорную, так и диффузорную части.
Параметр — его обычно иааывают «формпараметром» вЂ” представляет собой функцию продольной координаты в пограничном слое, указывающую, к какому сечению слоя следует отнести данный профиль семейства. В качестве такого рода набора профилей скорости Польгаузен выбрал семейство полиномов четвертой степени, коэффициенты которых были определены из граничных условий нз твердой поверхности и на внешней границе слоя. Выполнение этих условий приближало выбранные профили скорости к действительным.
Для определения зависимости параметра семейства от продольной координаты Карман использовал выведенное им интегральное условие, являющееся результатом применения теоремы импульсов к элементарному объему пограничного слоя и называемое поэтому уравнением импульсов. ') Кагшап ч.
ТЬ., 2е!Ьсйг. 1. Апдечг. Мабь ц. Месю 1 (1921), 233; Рощйаизев К., там же, стр. 235. 88 пгивлижянные одноплелмвтгичвскив методы [гл, щ За протекшие после появления рзбот Кармана и Полыаузена почти сорок лет метод получил дальнейшее развитие. Многие советские и зарубежные исследователи занимались уточнением и упрощением этого метода. В качестве набора профилей использовались различные семейства кривых. Делались попытки повышения степени многочлена, использовались тригонометрические и показательные функции, трехчлены с нецелыми степенями и др. Применение впервые введенного в работах Кармана и Польгаузена приближенного представления о пограничном слое конечной толщины не является принципиальной особенностью метода; впоследствии толщина слоя была заменена толщиной потери импульса, представляющей точный образ в теории асимптотического слоя.
Постепенно стало ясным, что метод, использующий только один параметр, а следовательно, и только одно уравнение для его определения, может быть удовлетворительным лишь при достаточно удачном выборе профилей скорости в сечениях слоя. В связи с этим стали применять однопараметрические семейства профилей, составленные при помощи классов точных решений, соответствующих некоторым распределениям скорости во внешнем потоке. Это сразу же значительно повысило точность однопараметрических методов. Претерпело также изменение и выражение формпараметра Польгаузена, в котором условная конечная толщина слоя была заменена более определенной величиной — толщиной потери импульса.
Значительно упростилось и уравнение. служащее для определения изменения формпараметра вдоль пограничного слоя. Попытки применения двупараметрических методов потерпели неудачу по причине их чрезмерной вычислительной громоздкости. Однопараметрические методы близки по идее к прямым методам вариационного исчисления Ритца и Галеркина. Так же как и в этих методах, в теории пограничного слоя используются для профилей скорости в сечениях слоя «конкурирующие» функции, с той или другой степенью приближения выражающие некоторые свойства неизвестных решений задачи.
Использование при этом уравнения импульсов вместо некоторого вариационного принципа не существенно; аналогичный метод может быть основан и на применении вариационного принципа '). ф 16. Интегральное условие импульсов На основании уравнения неразрывности перепишем первое из уравнений теории плоского пограничного слоя (1.17) в виде д (и') д (ии) дУ д'и — + — = (7 — +э — -. дх ду дх дуз ' ') Л о й ц я н с к н й Л. Г., ПММ. т. Н, в. 3, 1944. ф 16[ интвгглльнов условие импульсов 89 Умножив обе части уравнения неразрывности на (У (х). найдем д ((Ги) д (сГв) НУ вЂ” + — =и— дх ду дх ' Вычитая почленно обе части предыдущего уравнения из только что полученного, придем к выражению д д дЦ дан — [и ((у — и)[+ — [о(0 — и)[+ ((у — и) — = — т —, дх ду дх дуа ' формальное интегрирование которого поперек слоя по у от нуля до бесконечности дает — [и((у — и)[ ду+ — г ((у — и) Ну = » 1 — ); (3.1) д ди гдиз дх дх,/ о здесь использовано обращение в нуль величины [о((У вЂ” и)[", слег=в ' дуюгпее из граничных условиИ, а также асимптотическое стремление к нулю производной да/ду прн у-э со.
Предполагая существование интегралов и (Ц вЂ” и) г(у = (Уа 1 и 11 — и [ду = Уз3**, ,~' " ( ж = -*, С~ ( сГ / / (и — и)ау=и ~ (1 — — ")ду=Л, о о' и допуская возможность замены порядка интегрирования и дифференцирования в первом интеграле в левой части (3.1), получим, вводя напряжение трения на стенке т = 9[ †удит [ ду уз=о — "(ив**)+и — "' = ', (3.2) или, записав в развернутом виде производную в первом слагаемом, да*' 1 д(у — + — — (23" + 3') = — ' их Ц дх ~~Р' Уравнение (3.3) в несколько иной форме было впервые выведено Карманом в ранее цитированной его работе, относящейся к 1921 г., и получило название «интегрального условия Кармана».
В настоягцее время его принято именовать «уравнением импульсов»; происхождение последнего наименования вскоре будет объяснено. В дальнейшем будет принято обычное в литературе обозначение Ь'|о'* = Н, (3.4) 90 пгивлижвнные одноплвдмвтгическив мвтоды !гл. ш после чего уравнение импульсов (3.3) перепишется в форме (здесь и далее штрих — производная по х) и'з" (о )'+ (2+Н)= —.
(3.5) Во многих приближенных методах используется понятие о толщине пограничного слоя 3 как о некоторой конечной величине, представляющей собой неизвестную функцию продольной координаты х. При этом толщина слоя 6 определяется не как значение ординаты у, в которой продольная скорость и на заданный малый процент отличается от скорости внешнего потока У. В отличие от сказанного по этому поводу в главе 1, принимается, что на внешней границе (у = 3) выполняются одновременно два условия ди и = У(х), — =0 при у=В(х).
ду Эти два равенства выражают основные допущения приближенной теории пограничного «слоя конечной толщины», которую мы будем в дальнейшем отличать от более точной теории «асимптотического слоя». Заметим, что при пользовании понятием слоя конечной толщины уравнение импульсов сохранит своИ вид (3.3) или (3.5). В этом случае следует только величины Ь' и о'* определять как интегралы в конечных пределах Благодаря наличию определяющих пограничный слой конечной толщины граничных условий (3.6) весь вывод уравнения импульсов (3.3) может быть буквально повторен с тоИ лишь разницей, что пер* вый интеграл в левой части (3.1) должен быть преобразован так: д д / дз — (и (У вЂ” и))г1у = — у и (У вЂ” и) ау — (и (У вЂ” и)1 дх дх, У= дх о о д дх д — и (У вЂ” и) г(у.
о Пользуясь понятием пограничного слоя конечной толщины, поясним происхождение наименования «уравнение импульсов», С этой целью дадим другой, более близкий к приведенному в ранее цити. рованной работе Кармана вывод этого уравнения. Применим теорему об изменении количества движения в форме Эйлера или, как ее принято именовать в зарубежной литературе, 91 $161 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УСЛОВИИ ИМПУЛЬСОВ теорему импульсов, к объему жидкости АВС0 (рнс, 31), заключенному между двумя бесконечно близкими сечениями пограничного слоя АВ н С0 с абсцнссами х н х+ ~1х, твердой стенкой А0 н внешней границей слоя ВС. Обозначим через М и у соответственно секундную массу н проекцию на ось Ох секундного количества движения жидкости, протекающей через рассматриваемое сечение слоя АВ, М = ~ риду, У= ~ ри'йу.
Тогда из условия сохранения массы будет следовать, что секунлная НМ масса. протекающая через отрезок границы слоя ВС, равна — ~1х. Фх Принимая во внимание, что на всем отрезке ВС внешней границы слоя можно с ошнб- В рй л кой высшего порядка малости принять скорость равной У, найдем, что проекция на ось Ох -(р+Я~й ~~а~ Я ~,у л х и'х ~й' Проекции на ось Ох внешРнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
