Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 12
Текст из файла (страница 12)
13) граничные условия сохраняют форму (2.9). Уравнение (2.13) было численно проинтегрировано Хименцем в его диссертации, относящейся к 1911 г. Впоследствии Хоуарт ') дал подробные таблицы значений функций у и ~у' в числе других функций, входящих в более общий класс рассмотренных им решений, О которых будет идти, речь в $ 13. Вернемоя теперь к общему случаю проиввольного гл и будем в дальнейшем считать всегда с Р О.
Подстановка У=)/ — ', Ф. 1=1/ — 1,1 ') Н о а а г ! 'и ), АЙС, Й м М, 1б32 (!935). Таблицы функции Т н Т' можно найти также в книге: Лойцанскнй Л. 1., Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат, !941, стр. 403 (второй и третий столбцы таблицы 1). !гл. и гонии!н ггшнния гглвннний ннлндгля — одо о 0,1 0,2 0,3 Р !988 — О,!3 — 0,18 .-0,.6! — 0,14) 0,0000 ~ 0,0000 0,0198 0,0246 0,0413, 0,0507 О, О, О, О, 0,0000 0,0!37 0,0293 0,0467 0,0659 0,0868 0,1094 0,1338 0,1598 0,1874 0,2166 0,2791 0,3463 0,4170 0,4896 0,5621 О 6327 0,0000 0,0095 0,0209 0,0343 0,0495 0,0665 0,0855 0,1063 0643 0,0781 0,1003 0889 О,!069 0,1356 1151 0,1370 0,1718 1427 0,1684 0,2088 1719 ' 0,2010! 0,2466 2023 ' 0,1408 0,1876 0,2342 0,2806 0,3266 0,3720 ~ 0,1715 0,2265 0,2803 0,3328 0,3839 0,4335 0,4815 0,2858 0,3495 0,4672 0,4816 0,5212 0,5312, 0,5718 0,2584 0,3177 0,3747 0,4294 0,2347 0,2849 0,2694 0,3237 0,3050 0,3628 0,3784 0,4415 0,4534 0,5194 0,5284 0,5948 0,6016 0,6660 0,6712 0,7314 0,7354 0,7896 0,4167 0,4606 0,5453 0,6244 0,6967 ! 0,7610 ' 0,8167 0,8633 0,5274 0,5782 , '0,6190 0,6135 ) 0,6640, :0,7033 0,6907! 0,7383! 0,7743 0,801 1! 0.8326 0,7583 0,8160 0,8637 0,9019 0,8528 0,8791 0,8940 0,9151 0,9260 0,9421 0,8398 0,9011 08817 09306 0,9617 0,9754 0,9847 0,9908 0,9946 0,9970 0,9315 0,9537 0,9697 0,9808 0,9883 0,993! 0,9500 0,9612 0,9792 0,9873 0,9924! О 9957 0,7927 0,8422 0,8836 0,9168 0,9425 0,96! б 0,7162 0,7605 0,7754 0,8146 0,8273 0,8607 0,8713! 0,8986 0,9071: 0,9286 0,8107 0,8574 0,8959 0,9265 0,9499 09153 (09529 0,9413 0,9691 0,9607 0,9804 0,9746 0,9880 0,9515 0,9681 0,9798 0,9876 0 9927 О 9959 0,9978 0,9988 0.9994 0,984! 0,9929 0,9961' 0,9904 ~ 0,9959 0,9978 0,9944 ~ 0,9978 0,9988 0,9984 0,9991 0,9995 0,9997 0,9999 0,9999 0,9352 0,9563 0,9716 0,9822 0,9893 0,9938 0,9965 0,9981 0,9990, 0,9995 ' 0,9997 0,9669 0,9789 0,9871 0,9924 0,9957 0,9977 0,9988 0,9994 0,9997 0,9999 0,9752 0,9845 0,9907 0,9946 0,9979, 0,9984 ' 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,99?6 0,9987 0,9993 0,9969, 0,9988 0,9994 0,9996 0,9983 ~ 0,9994, 0,9997 О,УВВ 0,9991 ' 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 ! 0,9997 0,9999 0,9!199 ! 0,0 0,1 0,2 О,З 0,4 0,5 О,б 0,8 1,0 1,6 1,8 2,2 24 2,6 2,8 3,0 3,2 3,6 4,4 ! 4,6 5,0 5,6 5,8 6,0 6,2 0,0000 0,00!О 0,0040 О,!689 0,0158 0,0248 0,0358 0,0487 0,0636 0,0803 0,0991 0,1423 0 !927 0,2498 0„3126 0,3802 0,4509 0,5230 0,5946 0,6635 0,7278 0,8158 0,8364 0,8789 0,9132 0,9399 0,9598 0,9741 0,9839 0,9904 0,9945 0,9969 0,9984 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000 0,1289 О, 0,1533 ' 0,2341 0,1794 0,2671 0,2364 0,3362 0.299! 0,4083 0,3665 0,4820 0,4372 0,5555 0,5095 0,6269 0,58!4 ~, 0,6944 0,6509 ' 0,6995 0,7561 О,'ОООО ~ О,ОООО ( О,ОООО ~ О,ОООО ' О,ОООО 0,0324(0,0469 0,0582 ~ 0,0677 0,0760 0,0659 ' 0,0939 0,1154 ~ 0,1334 0,1490 0,1970 0,2189 0,9997 ! 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 70 точные Решения уРАВнений ПРАндтля (гл.
п преобрззует уравнение (2.8) к более удобному длз численного инте- грирования виду (2,15) где введено дополнительное обозначение 2т (2. 16) граничные условия в новых переменных сохраняют ту же форму (2.9) иФ ЫФ Ф= ΄— =О при 6=0; „3 — »1 при 1 — э.оо. (2.17) Выражения функции тока ф и составляющих (и, о) скорости через функцию ФЯ; р) представятся совокупностью равенств (пприх далее означает производную по 3) ф .1/ уг л 3 Ф (г, р .Ргфг (г. чР) и+1 т-г «г= — ~/ т -х ' ~, (Ф'(3; р)+ „, Ф((; р)~. (2.18) ) 1, сз з~г — г Ф«(0.
8) г 3ич l т -1-1 (2. 19) Выяснилось, что сушествует целый интервзл значений Ф" (О; р), при которых удовлетворяются граничные условкя (2.17). Хзртри выбрал такое наибольшее возможное значение Ф" (О; р), при котором Ф' Я; р) прн стремлении 1 к бесконечности подходит к единице со стороны меньших значеняй, что соответствует монотонности возрастания скорости в сечениях погрзничного слоя. Величины Ф"(О; р) при различных значениях параметрз Р приведены в таблице 4. Полученный Фокпером и Скан класс решений уравнений пограничного слоя относится к числу «однопараметрическнх», так как многообрззне решений характеризуется изменением лишь одного параметра т или р. Тзк, профили скоростей в сече- ') Наг гг ее О, й., Ргос.
ог гЬе Сашбг, Рггг1. 3ос., 1937, стр. 33. Численное интегрирование уравнения (2.13) нри граничных усло-. виях (2.17) было проведено Фокнером и Скан, а затем на специальной интегрирующей машине — Хартри '). Результаты этого интегрирования (значения г(Ф)игс) приведены в таблице 3 для значений с интервалом 0,1 и для девятнадцати значений р. Кагг заметил Хзртри, при р ( О последнее условие в системе (2.!7) не определяет одновначно величину Ф"(О), входяшую в выражение напряженна трения нз стенке 5 11! степенное РаспРеделение скОРОсти ниах слоя образуют однопараметрическое семейство; основные характеристики слоя (условные толщины, напряжение трения) являются функциями того же параметра.
Таблица 4 л (8) А (3) и (8) 4, (о) 0(3) ~ ф" (О) 3 0,585 ~ 0,0000 ~~ 0,30 0,577 ~ 0,086 1 0,40 0,568 ! 0,1285 1 0,50 01905 1 060 0,911 0,853 0,804 0,764 О,'699 О 648 0,607 0,544 0,498 0,7748 0,8542 0,9277 0,996 1,120 1,2326 1,336 1,521 0,386 0,367 0,350 0,336 0,312 0,292 0,276 0,250 — 0,1988 — 0,19 ' — 0,16 —.0,14 — 0,10 0,10 0,20 1,871 1,708 ~ 1,597 1,444 1,'О8О ~ 0,984 0,5,1 0,539 0,515 0,470 0,435 0,408 0,2395; 0,80 0,3191 ~ 1,00 0,4696 ~ 1,20 0,5870,1 1,60 О,'6869 ) 2,'ОО 0,231 1,687 Рассматривая таблицу 3, можно заметить целый ряд особенностей исследуемого класса решений.
11режде всего напомним, что еще в предылущсй главе мы условились отличать «конфузорные» участки пограничного слоя с возрзстающей вниз по потоку скоростью на внешней грзнице слоя от «диффузорных» с убывающей скоростью внешнего потока. Значения и ) О соответствуют «конфузоряому» участку, значения т « Π— «диффузорному». При т - — 1, а только такие значения в дальнейшем и рассматриваются, знак р' совпадает со знаком и. Введем, подобно тому кзк это уже делалось в предыдущей главе, понятие об условной толщине пограничного слоя, задзнной, например, отличием и/У от единицы на внешней границе слоя на величину порилка 1 98.
Обозначим через 1, значение 1, удовлетворяющее этому уелови1о. Тогда, рассматривая таблицу 3, можно заметить сравнительно большу1о толщину пограничного слоя в области замедленного движения (р «. О) — лиффузорной области — по сравнению с областью ускоренного движения — конфузорной областью. Так, наибольшее значение Ц, =' 4,8 имеет место при р = †. 0,1988; далее, !, =' — 3,5 прн р =- О; 1, =' 1,8 при р =.- 2,4. Вспоминая выражение для с по (2.14) и (2.6), заключаем, что размерные толщины слоя 3 (в том приближенном смысле, о котором только что была речь) булут определяться в функции от х по формуле (1, — постоянная, ззвисящая только от т или р) г т--1 (2.20) Из етой формуль1 сразу видно, что значение т = 1 (р — — 1) отлеляет движение с возрастающей вниз по течению толщ1иой пограничного 22 точные яяшюнщ хвлвнений пзлндтля [гл, и слоя от движения с убывзюшей толщиной.
При гн с. 1, т. е. во всей диффузорной области и в части умеренно конфузорных областей, толщина пограничного слоя растет вниз по потоку; при т,>! (резко конфузорная область) толщина пограничного слоя убывает. Прп гл = 1, а это, как мы уже упоминали, соответствует пограничному слою вблизи лобовой критической точки на цилиндрическом теле, толщина пограничного слоя постоянна во всех сечениях слоя и в принятом приближении равна 6' = / (1 — — ") [у =- ~У '„',, / [! — Ф' (Е; [1)[ тЕ, о о Е =/ и(! и)"у= о (2.21) =-У,."., / Ф (Е; 0) [1 — Ф (Е; И [Е, о Интегралы в правых частях этих формул представляют собой функ- ции параметра р, обозначаемые как А(Д)= ~ [1 — Ф'(Е; ~)[г[Е, В(~)= / Ф'(Е; [1)[1 — Ф'(Е; ~)[с[Е, (2.22) о О после чего предыдущие равенства можно переписать в одном из сле- дующих видов (точка обозначает дифференцирование по х): Е' =А(з) ф~р $/ =А(р) к' я1/ глсхм-1 и й**=В(2) Е [Е~/ ' =В(,)) У'Р [ЕУ вЂ” '.—. тсхм-' с (2.23) Из приведенных формул нетрудно усмотреть, что, в полном согласии с обшей теорией, толщины пограничного слоя при всех гл обратно пропорциональны корню квадрзтному из рейнольдсова числа; так, из (2.20) следует ,.
)à —,л+1 г' „+ 'У „+! Р и~' Для дальнейшего полезно еще привести зависимость от параметра других условных толщии слоя, таких, как Е* и ь'*, физический смысл и прикладное значение которых были выяснены в й 1О. По определению этих величин имеем 73 5 111 степенное Распгеделение скОРОсти Так же, как и ранее определенная величина 8, условные толшины 8 и о*' при 8 = ! (т = 1) сохраняют постоянное (не зависящее от х значение. При т > 1 эти толщины убывают с х, при лг < 1 — возрастают. Функции А(р) и В(р) приводятся в таблице 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
