Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 11
Текст из файла (страница 11)
22, линии гока рассматриваемого сейчас воображаемого потока. показанные на рпс. 24 пунктиром, расположатся выше, чем действительные линии тока, изображенные на том же рисунке сплошной кривой, так кзк сечение М,М', череа которое жидкость проходит со скоростью Ь', должно быть меньше сечения М,М, где скорость и ~~ У.
Отсюда следует, что трубка тока воображаемого погока, ограниченная линией тока, проходящей через точку Л4, внешней границы слоя и точку М' сечения слоя, тоньше трубки тока действительного [гл. г унлвнкния пзлндтля движения, ограниченной .тиниямн тока, проходящими через точки М, н М. Воображаемый поток, таким образом, не может заполнить всю область пограничного слоя. Составляя условие равенства расходов сквозь отрезки МдЛ н М,М', отложенные уже, в отличие от предыдущего, от внешней границы слоя Мн найдем (ЛМ'= — Ь,) ) и ~у = У (5 - — у - — Ьг), у откуда следует б,— ~ (1 — — ") (у, (1.127) у При совпадении точки Л с точкой Ло поверхности тела кижняя линия токз воображаемого потока не дойдеги до поверхности тела на расстояние (' 1)у=о = — 7' '11 (7) с(У = о (1.128) т.
е. как раз на величину, равную толщине вытеснения 5', вычисленной, подчеркнем зто еще раз, лля действительного потока с поправленной уже на обратное влияние скоростью внешнего потока У(л). Итак, можно прийти к выводу, что для определения действительного распределения давлений по поверхности тела в плоском безотрывпом потоке вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова Рис. 25. числа необходимо найти распределение давления при обтекании идеальной жидкостью полутела (рис. 25), образованного путем наращивания на поверхность заданного тела и по обе стороны от нулевой линии тока, сходящей с задней кромки тела вслед за ним. толщины вытеснения, вычисленной по действительному распределению скорости на внешней грзнице').
В предложенном только что приеме имеется некоторое противоречие, заключающееся в том, что для расчета толщины вытеснения ') Идея такого приема была высказана Л. Прандтлем в статье сМеха- ники вязких жидкостей», помещенной в третьем томе книги: Дюрзнл В., Лзродннзагнка, пер. с англ., 0боронгиз, Москва, 1939, стр.
108, толщинА вытвсняния необходимо заранее знать действительное распределение давлений или скоростей на внешней границе слоя, которое, однако, на самом деле не может быть рааьюкано, пока не определена толгцина вытеснения, Чтобы обойти это противоречие, можно, как это обычно делается, применить метод последовательных поправок, т. е.
сначала следует определить толщину вытеснения для теоретического распределения давлений без учета влияния пограничного слоя, затем построить полутело, найти распределение давления по его ппверхности, по этому уточненному распределенюо давлений вновь определить толщину вытеснения, и т. д. Численные расчеты, проведенные на кафедре гидроаэродинамики Ленинградского политехнического института и в работах других авторов, показывают, что практически нет необходимости повторять последовательные поправки.
Достаточно провести одну операцию, чтобы уже получить главную количественную часть поправки, учитывающей обратное влияние пограничного слоя гга теоретическое распределение давления. Прн расчете Ь' зблнзн задней кромки следует только ааблаговременно заменить теоретическое нулевое значение скорости (/ непосредственно в задней кромке отличным от нуля значением, полученным, например, хотя бы простым сохранением тех значений 0, которые имели место до резкого спада ее к пулю; это позволяет избежать не имеющего физического смысла бесконечно большого знзчения подынтегрального выражения при У =-О.
ГЛАВА й Перейдем к рассмотрению более сложных, чем в предыдущей главе, случаев интегрирования уравнений Т)рандтля при разнообразных условиях задания изменения скорости потенциального потока вдоль внешней границы пограничного слоя. Особый интерес представляют классы задания внешнего потока, зависящие от одного или нескольких параметров. Решения такого рода задач могут быть положены в основу широко используемых з настоящее время приближенных методов расчета пограничных слоев; о них пойдет речь в следующей главе. Наибольшее применение получали однопараметрические решения и среди них, в первую очередь, решение Фокнера и Скэн') задачи о стационарном ламинарном пограничном слое с олночленным степенным распределением скорости 1/(х) на внешней границе слоя сГ (х) = сх", г2 1) где с и и — некоторые произвольные положительные постоянные., причем вторая из них безразмерна ').
Наличие в задании потока только одной размерной постоянной с заранее наводит на мысль, что искомое решение будет авто- модельным. Чтобы в атом уйедиться, введем условно в рассмотрение масштаб длин Ь; тогда, сьгласно (2.1), роль масштаба скоростей ТУе должна играть величин. ') г а! к и е г У. '. 3 и а и Я. Цг., АкС, К й М, 1314 (1930). ') Некоторые ангары трактуют зту задачу как плоское обтекание клина; по атому поводу ся.
например: 111 л яхт ни г Г., Теория пограничного слоя, пер, с нем., ИЛ, 10 3, стр. 130. 5 11) стяпеннок Расптедаление скопости а слеловательно, условное рейнольдсоао число представится комплексом ре юй (2.8) Выражение функции тока будет таким ф =- ~,л="у ~;-,, ~Г" ). Для того чтобы масштаб длин с., отсутствующий в условиях залачи, не вхолил в выра>кение (2.5), функция тока должна иметь структуру и. следовательно, представляться в вине Гсхт- ' 'к' ' ( 1) ) у (2.6) Уравнение (1.19) после полстановки в правую часть вместо (з'(х) не зависящего от времени выражения (2.1) и значений производных (штрих — производная по т)) д'ф с г'с ду )ст ли =сх ср'(а)), ду ='= — — х--' '(В ду' (2.7) дф .с — 'а (т-(-1 т — 1 д' ='1 сх ' 1 й())+ ~о'())1 — - (-)+ .
ф ())'1 д'ф 1Г т — 1 дхду ~ ' ' 2 легко вычисляемых по (2,6), приведется к следующему, подтверждающему автомодельность решения (2,6), обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порялка: + 2 (2.8) Граничные условия имеют вид т = — О, . - т' = О при т,.= О, при т — ь со. (2. 9) 5 зяк. аах л.
г. лсачсяссяа й(асштабы поперечных размеров соображениям, что и а прелылущей у =- ц у яе = 7 Н(с(,т '); )с а функции тока %" по тем же главе, определятся как 'чт = (з" К = — )с Е ' . (2.4) точныв гвшяния тгавнвний пглндтля (гл. и Согласно (2.9! на твердой поверхности обтекаемого тела, служа- щей нулевой линией тока, скорость равна нулю, а на внешней гра- нице слоя скорость определена равенством (2.!), Нетрудно убедиться, что при т = О, (/ = с уравнение ('2.8) и граничные условия (2.9) совпадут с теми, что фигурировали в задаче Блааиуса о продольном обтекании полубесконечной пластинки (9 4), Интересно отметить специальный случай т = — 1, У = с(х, до- пускающий прн с ~ О физическую интерпретацию как движения жидкости в пограничном слое нз стенке плоского суживающегося ка,к нала — конфузора бесконечной длины (рис.
26). Действительно, обозначив через Я ) О секундный объемный расход жидкости сквозь любое сечение ка- е — гяьгюъл н .* ""' " "у"""(" — 5" "Р ' Ре "'") — У (х) ° их = — ся = Я; Ряс. 26. с= — — = — д (д> О). а В этом случае следует, согласно (2.6), положить (знак минус соот- ветствует сохранению условия (2.9) при ч) — ьсо для а ч. 0) (2.1 О) Вместо уравнения (2.8) будем иметь ~"' — р" +1 =О, (2.1 1) з граничные условия сохранят вид (2.9).
Используя нзличие очевидного интегрирующего множителя получим, умножая обе части (2.11) на этот множитель и один раз интегрируя, 3~ +~ 1 2 Замечзя, что в силу асимптотичности решения можно положить р' — ь 1„ у" -ь О при 4 — ь оо, найдем для постоянной значение после чего последнее уравнение приведется к виду е" — —, ( р' — Зе'+ 2) = О. Выражение в круглых скобках раскладываетси нз множители, так что уравнение преобразуется к виду гй' — „',, =ф' ~ (е' — 1)а(т'+2) степеннОР РаспРеделеиие скОРОсти Зто уравнение при выполнении граничного условия ~' — ь 1 при ~.со легко интегрируется и дает решение в вамкнутой форме (2.1 2) ,которым и определяется искомое распределение скоростей — а('У.
(Рраннца пограничного слоя в том приближенном смысле, который бв)л принят в предыдущей главе, будет в настоящем случае прямолинейной и совпадает с линией тока. Действительно, обозначим черве у такое значение т!, при котором правая часть (2.12) будет мало Отличаться от единицы; тогда при т, = — Т получим по (2.10) 3='.Т 1 — х; ф='- — ф ау у(Т)=сопя(.
г 4 Интересно отметить, что, в отличие от всех рассмотренных в предыдущей главе примеров, пограничный слой в настоящем случае ме утолщается, а, наоборот, утончается вниз по течению (направление движения в сторону убывающих х1). Другим сравнительно простым решением, входящим в класс вадач (2.1),, будет случай лг = 1, () =- сх, с > О. Таково распределение скоростей в потенциальном потоке вблизи лобовой критической точки на тупоносом цилиндрическом теле прн плоском его обтекании. Уравне- мнв (2.8) в атом случае принимает вид ~ф = 'у'чсхс(т)),т! = у ~/ (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
