Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Сравнивая между собою состзвленные по (2.6), (2.14) и (2.16) выражения У з* вр))г8 заключаем, что 1= В (р)(у/ь**), и следовательно, по второму из равенств (2.18) будет (2. 24) Отсюда следует, что профили скоростей в сечениях слоя образуют при различных р однопараметрнческое семейство с параметром (рис. 27), В ззключение рассмотрим к (Р выражение для напряжения тре- Г 7 Г ния (2.19). Можно заметить, что лг='/а(р='/е) соответствует течению с постоянным вдоль поверхности напряжением трения. При лг с.. '/а на- Ю пряженне трения с увеличением х убывает, при лг > '/з, наоборот, возрастает. Вспомним, что на пластинке (ш = О, задача Блазиуса) напряжение убывало, как 1/)/ х.
При движении вблизи критической точки т = 1 напряжение трения растет пропорционально х, начиная от нулевого значения в самой критической точке. Особо следует выделить случай лг = — 0,0904(8 = — 0,1988), при котором напряжение трения обращается в нуль во всех точках поверхности тела. Вспомикая определение точки отрыва, данное в 9 8, можно утверждать, что рассматриваемые значения параметра т (нлн 8) определяют собой границу начала отрывного течения в том смысле, что при вг > — 0,0904 в данном классе течений отрыва не может быть ни при каком значении х.
При яг < — 0,0904 решение теряет смысл, так как заотрывная область уже не описывается урав- нениями Прандтля. 74 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ПРАНДТЛЯ (гл п Изученный класс точных решений будет использован нами в следующей главе для установления приближенного метода расчета пограничного слоя с произвольным распределением скоростей на внешней его границе. 9 !2. «Односкдтный» профиль скоростей где де и и,— две константы. Вынося первую из ннх за скобку, можем переписать предыдущее равенство в виде О йУф а, Рнс. 28.
где под (/ понимается значение сг'(Ч) прн с= О. Показанный на рис, 28 профиль скорости «внешнего» потока носит наименование «односкатного». Пологость ската характеризуется величиной бп В этом случае имеются две размерные константы, из которых можно составить как масштаб длин (..= —, так и масштаб а = Ь! ' скоростей (г = Ье; движение не автомодельно, и уравнение для функции тока ф не сводится к обыкновенному. Следуя Хоуарту '), представим функцию тока степенным разложением по с ф = ~/Ь,чх(у,(т)) — 81Л(«1)+(81)'Л(т))— где по аналогии с задачей Блазиуса, являющейся частным случаем (2.26) при 6=0, положено (сохраняем в правой части множитель г/г, как это принято Хоуартом) Гь, «1= У у' 2 У ул' (2.28) Разложение (2.27) составлено формально в предположении, что при некоторых ограниченных значениях( ряд в правой части сходится. ') Ногчаг1й Г, Ргосеея.
йоу. 8ос., 8ег. А, 164 (1988), 919. Предыдущий однопараметрический класс задач пограничного слоя заключал в себе как конфузорный, так и диффузорный участки слоя. Сейчас будет рассмотрен другой, также представляющий интерес, однопараметрический.
класс решений, описывающий только диффузорный участок слоя и соотзстствукщнй линейному уменьшению ско- рости внешнего потока на этом участке У согласно формуле (Г(х) = Ь вЂ” Ь,х, (2.25) 75 «одиосклтный» пговиль скогостей $12! Подставим значение ф из (2.27) в уравнение (1.19) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях Б Тогда (штрих означает производную по л) получим следующую систему обыкновенных уравнений для функций ~,(6): Уо +~о7о ~, +7 1, — 2Я,'+З~„"~, = — 1, уг +7о7э 4Ы+57о7э= 8+27; — 37Д', 7з + уеуз 67эуз+ 7~о7з = 67Д вЂ” 3/ьу," — 57 7„ (2.29) ') См. также Лойцянский Л.
Г., Аэродинамика пограничного слоя, Гостехиздат, 1941, стр. 159. В оригинале работы Хоуарта выписана система уравнений до индекса «8» у функций 7, включительно'). Граничные условия приняты такими: ~,= 7;=0 при т)=0, 1 (2.30) уо « 2' 7! ь 4 ' 7э уз '.. -« 0 пРи т) †оо. Первое уравнение системы (2.29) отличается от соответствующего задаче Блазиуса уравнения (1.37) только коэффициентом при третьей производной; объясняется это наличием коэффициента '/а в выражении л по формуле (2.28). Остальные уравнения линейны и содержат каждое последовательно только одну неизвестную функцию, выражаемую через другие ранее вычисленные функции.
Функции ~,(т1) и их производные до 1 = 7 включительно были вычислены Хоуартом и приводятся в ранее цитированной его работе. Те же таблицы, но до 1= 6 можно найти в конце только что цитированной нашей монографии 1941 г. Удовольствуемся приведением таблицы 5 зависимости безразмерной скорости и/(Ьа/2) от Е и т1. и = — '(уа(6) — 817;(т))+(81)э7,'(6) — ...].
(2.31) Толшнны вытеснения и потери импульса будут соответственно равны 77 «Оаноскатный» пРОФиль скОРОстеЙ 121 Замечая, что, согласно (2.28), Га, 1 Га, 1 а(1) 2 тх 2 А 1';" 2 1' "' а'" .ожем переписать (2.31) в форме У 2(1 — 1) 6*' ' )то — оанопараметрическое семейство профилей скорости с пара1етоом 1. Обший характер профилей тот же, что и у привеленных -Ю) Рис. 29.
ьольвуясь равенством (2.31). вайлем напряжение трения на стенке Р(д ) 4 Роо У 6 1Уо(0) — 8!.у,'(0)+ ...~. (2.32) дУуо 4 о «4 о точные вяшвния ввлвняний пвлндтля [гл. и 78 уравнении, согласно вычислениям Хоуарта, Коэффициенты в этом соответственно равны ~о (0) = 1,32824, 7'з (0) = 0 0560 уа (0) = — 0,0212, .7! (0) = 1,02054, У4 (0) = — 0,0372, У! (0) = 0.0174, Уз (0) = — 0,06926, Уз (0) = 0,0272, уз (0) = — 0,0147. Чтобы определить значение Б соответствуюшее точке отрыва, приравняем выражение, стояшее в (2.32) в квадратной скобке, нулю. Получим следующее уравнение для определения безразмерной абсциссы 1, точки отрыва ~о(0) 8(зу' (0)+(8()г~,"(О)+ ... =О.
(2.33) Как показал Хоуарт, искомое значение безразмерной абсциссы точки отрыва 1, будет приблизительно равно Е, =' 0,12, или в размерной форме х ' 012З. 1 (2.34) (2.35) ф 13. Многопараметрический класс задач Блазиуса — Хоуарта Основной задачей является расчет пограничного слоя, образующегося на поверхности обтекаемого жидкостью тела прн произвольном распределении скорости во внешнем потоке.
Задачи. рассмотренные в предыдуших двух параграфах, были весьма частными, хотя и содержали параметры, позволяющие варьировать форму кривой (3 11) или уклон прямой (6 12). В первые годы после появления теории пограничного слоя Блазиус ') дал численное решение уравнений Прандтля для случая распределения скорости на внешней границе пограничного слоя в виде степенного ряда у (х) = и,х+ изх + «эха+ ..., (2.36) где ин иа, ию ...
— заданные константы, зависяшие от формы тела. Такой ряд определяет У(х) как нечетную функцию абсциссы х, что соответствует обтеканию произвольного симметричного крылоного профиля под нулевым углом атаки (начало координат — в передней ') В ! а а! я в Н., Ее!!вся!, й Ма!йею, в. Рйуз., 36 (1908), Можно заметить, что чем положе скат профиля скоростей (рис. 28), тем позже возникнет отрыв и, наоборот. чем круче спад этого профиля, тем ранее произойдет отрыв. Это обшее свойство всех диф« фуэорных участков пограничного слоя.
9 13) многоплелметгический класс злллч вллзитсл — хохлята 79 4Ф',Фз Зф,"Фа — Ф,фз = 4и1из+ "Фз бф,'ф,' — бф,"ф, — ф,ф, = =6 1из+Зи,' — 3 (Ф вЂ” Фзфз) +.Фз"', 8ффг — 7ф,фг — Фф,"= 8(и,и + иаи)— — (8фзфз' — Зфзфз — бфзфз) + чу 10Ф',фз — 9Ф",фз — ф,фз' — — 10 (и, из+ иаи )+ +бит б(фз Фф ) ('офзфг — Зфзфг — 7ФА)+ 'Ф которые должны быть проинтегрнрованы при граничных условиях Ф,=ф',=о, Ф,=ф,' о.. р у=о, ) (2.39) Ф1-'ип фз-+из " прн у-+~.
1 Принимая во внимание необходимость применения численных методов интегрирования, постараемся привести систему уравнений (2.38) и граничных условий (2.39) к чисто численному, т. е. не содер- жа|цему характерных параметров ин из, иа, ... отдельной задачи, (2 39) ') Н о за а с!а 1...
АКС, й й М, 1632 (1935). критической точке; абсциссы на нижней поверхности отрицательны). При этом предполагается, что рассчитанная по теории обтекания крылоного профиля идеальной жидкостью или пересчитанная с экспериментально замеренного распределения давления функция У (х) может быть с достаточной точностью представлена таким степенным рядом с не слишком большим числом членов. Опыт расчетов показывает, что это не всегда так.
Для первых двух функций Ф1 и ф вычисления были проведены Блззиусом; дальнейшие расчеты с большей точностью и в расширенном объеме сделзны Хоуартом '); полученные им результаты и будут сейчас изложены. Представим функцию тока ф(х. у) в виде ряда по степеням х, аналогичного (2.36), Ф = ф|х+ фзх + Фах + (2.37) где ф~ — функции у. Подставив формально это разложение в уравнение для функции .тока (1.19) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе обыкновенных уравнений (штрих означает дифференцирование по у) 80 ТОЧНЫЕ РЕ!ПЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРАНДТЛЯ [ГЛ. 4 внду. Это позволит раз навсегда произвести численное интегрнровз нне системы уравнений для всего весьма широкого класса задач определенного распределением скорости (2.36).
С этой целью перейдем от у к новому, линейно с ним связан ному зргументу 4, равному (2. 40 / ч фг= У чигЛ фа=4 Зà — из/з иг г /ч 1 цз фз — — 6 )г — из ~8'з + — йз) з /, и, и,и иги, г цзцг и 47' =10 1à — ид1лд+ «д+ Гз + У и, ( и,ид и,и, г 4 изцз из + гз/д.+ „4?д и т д. иди и',"и„ (2. 41 'Тогда будем иметь следующую, не содержащую параметров систем обыкновенных дифференциальных уравнений: / — /,/ =1+/;". 4/',/' — 3/ /, — /,/" = 1+ /',", 6/, 'Е' — 5/ А'з — /, Е" = 1 -+ Я'„", 6/гчгз — 5/4 44 — /газ = 2 + ггзц — 8(/з /з/з ) 8/4К, '— 7/ аг — /,Д-г" -- 1-+7,",". (2.
42 8/,гг 7/,й, /,й,— = 1 + й'.," — 3 (8/.,', А ' — 5/" А — 3/,Р ".), 8/,'й', — 7/ 7гг — /, й," = йгц — 3 (8/,Л вЂ” 5/",д — 3/,й"), 10/',нд — 9/,'и„— /,гг„" = 1-1- У„"', 10/,' Ь' — 9/ 74„— /, гг" = = «+ йдц — ' — ' (10/у — ЗЫ вЂ” 7/Л-) кРоме того. заменим фУнкции фг новыми, линейно с ними свазаннымг ФУНКЦИЯМИ /4', /З', йд 44З; Дг, ггг, иг И Т. Д., ПОЛОЖИВ $13] многопАРАметРический клАсс зАдАч БлАзиУсА — хоУАРтл 81 107!ИЗ вЂ” 97! ИЗ вЂ” 77Изя =- 2 + И„н — 18(К'', — КЗд,"), 10777'; — 97772 — 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
