Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1) = я (х), (4.20) ') Н аж а г г и 1.„ргос. о1 Рае Сашвг. 1 Вй. 3ос, 31 (1935). Бевразмерный путь а, проходимый эллиптическим цилиндром на безотрывном этапе движения. представлен графиком на рис. 37. Легко видеть, что при й =! вновь получаем (4.17). При возрастании )г до бесконечности время 1, стремится к нулю, а ордината точки отрыва — к + Ь. На пластинке, поставленной Р5 перпендикулярно к направле-,гуа нию потока. отрыв возникает на кромках пластинки сразу же при начале движения; напомним, что скорости, рассчитанные по теории безвихревого обтекания идеальной жидкостью, в этих точках равна- 23 лись бы бесконечности. Предельный переход и-ь О, соответствующий случаю про- д1 дольного обтекания пластинки, приводит к появлению особенности и требует специального Рl ау 1ЬудХбу 1 к ,7 а Кдт к рассмотрения.
Случай несимметричного обтекания, возникающего при импульсивном приведении в равномерное движение эллиптического цилиндра с большой осью, наклоненной к направлению потока под углом в 7'. был рассмотрен Хоуартом '). 122 плоский нестлционлгный погвлничный слой (гл. ш приведем первое из уравнений (1.13) главы 1 к виду ди ди ди д(г дги — + и — + о — = !'(х) + гзьг — + т — ° дг дк ду дуя ' Граничные и начальные условия будут сводиться к таким: и=О, о=О при у=О, 1> О, и-ьУ(л, 1)=г!г(л) при у-ьсо.
(4.21) (4.22) где С,, Сз, ... сУть неизвестные фУнкции той же пеРеменной 4, что и в предыдущем параграфе. Вычисляя (штрих — производная по 4) и = — = И~!+ !г — Ьз(~+ дт ду йх дх = 2)~л)! ух ~11+~~ ~х~ ++х) 1!(зг + ' ' '~' (4.24) подставляя эти выражения в уравнение (4.21) и приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степенвх времени 1, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка: Г, + 2тД1 — 4(1+ 4 = О, (.',"+2 ~+ !2(;= 4(~',* — ~,~1 — !); (4.25) граничные условия будут аналогичны указанным в предыдущем параграфе, а именно: С, = С1 = О, (з — — Сз = О при 4 = О„ (я=1, Сз=О при т)=со.
(4.26) Решения уравнений (4,25) могут быть представлены в замкнутом виде при помощи той же функции ошибок и экспоненциальной функции, как и в случае внеззпно возникающего движения. Выражение для первой производной от функции ч, будет (и = (1 + 2э~~) Ег!т)+ — т)е-ч~ — 2йз. Выражения для следующих функций более сложны и поэтому не приводятся. На рис. 38 даются графики двух первых функций: ~1 и"., Пользуясь соображениями размерности, составим функцию тока ф(х, у, г) в форме ф(л, у, Г)=2!'~фг(х)С,(4)1+!I(х) — С (4)1~+ ...~, (4.23) 123 тлвнотскотянноя движения цнлнндгл : 25) Момент начала отрыва г, с поверхности цилиндра определим.
,ак и ранее, из условия обращения в нуль производной от проодьной скорости по координате у нли, что то же, по безразмерной ~временной "4. Блазиус составил уравнение для определения г, с точюстью до членов с 1,; приводим зто уравненне 1+0,427Ь вЂ” — ~0,026 ( — ) +0,010У вЂ”,~1~ =0. (4.28) )случае круглого цилиндра отрыв начинается вблизи задней критической неки. тле второй член в квадратных скобках в уравнении (4.28) Рис. 38. ~ропадает. Решая остающееся биквадратное уравнение. получим Г,( — „) = — 2,08.
(4.29) Если сохранить только первые два члена в левой части (4.28), -о решение будет С~( — ) = — 2,34. Замечая. что для круглого цилиндра У= 2У з!и —" л «айдем. соответственно тому илн другому приближению, (4.30) С, = (1,04 —: 1,17)— Ур 124 плоский настлционагный погганичный слой [гл. гт Пройденный за это время в ускоренном движении путь будет. по тем же приближениям, равен а= 2 Уог,=(0,52 —:0,59) а. (4. 31) %'р — — 2аЬ ~ )гсоз(ггггу, Ф' =2аЬ ~ Рг — г з)п улг~, / ди! о о ! ггу г'г о где Ь вЂ” длина цилиндра. 9 — полярный угол элемента площади на поверхности цилиндра, по Блазиусу равны Ф р = 2кРп'Ь ' 1'о Ж'у = 4 $'кРРгпЬ ' 1' о.
(4.32) 9 26. Случай скорости, зависящей от времени по степенному закону Замеченный в конце предыдущего параграфа факт увеличения времени и пути безотрывного этапа движения при переходе от случая внезапного приведения в равномерное движение к случаю равноускоренного движения не лишен интереса. Возникает вопрос, как будут изменяться эти характерные для нестационарного движения величины с увеличением быстроты изменения ускорения во времени.
Для решения этого вопроса зададимся степенным законом возрастания скорости на внешней границе пограничного слоя во времени (у (х, г) = г(г У (х) = го (г) У (х). эг Полагая здесь а= О, придем к случаю внезапного перехода к равномерному движению (9 24), при к = ! получим равноускоренное движение (9 25). Гвртлер ') рассмотрел случаи целых а от нули до четырех. Ватсона) провел общее исследование при любых а. Изложим некоторые нз наиболее интересных его результатов. (4.33) ') С ог!1ег Н., 1пй.-АгсЫт 14 (!944).
') йг а г з о в Е., Ргосеег!. йоу. Яос., аег. А, 281, М 1184 (1955). Сравнивая с формулой (4.17), убедимся, что при равноускоренном движении путь, пройденный цилиндром до возникновения отрыва, больше соответственного пути при скачкообразном переходе к равномерному движению. Блазиус подсчитал полное сопротивление %' равноускоренно движущегося цилиндра, складывающееся из сопротивления давлений Ф' и сопротивления трения %' . Составляющие эти д 26) скоеость, зависящая от вгемяни по отененному злконг 125 Обращаясь вновь к первому из уравнений (1.13) ~лавы 1 и применяя его к рассматриваемому сейчас распределению (4.33), булем иметь — + и — + и — = 7' (1) т(х)+,р(г) )г +, ', (4 34) ди ди ди дУ д|и де дх ду дх ду2 Откидывая, как и ранее, нелинейные конвективные члены, придем в первом приближении к интегрированию уравнения ди д'и дг = 'у (1)( ~( ') + ' д ду' (4.35) которое может быть представлено в форме д (У вЂ” и) д' (У вЂ” и) (4.36) де дуя граничные условия для разности У вЂ” и будут У вЂ” и = ~р(г) У (х) при у = О, У вЂ” и=0 при у = со.
(4.37) Тогда для определения функции 4 получим уравнение (штрих далее — производная по )) у" + 2~у' — 4аг'= О, (4.39) интеграл которого, удовлетворяющий граничным условиям )'(0)= 1, У(со)= О, может быть представлен в форме г (11) = 2 'Х'(а+ 1) у„(4), (4.40) где. кроме обычного символа гамма-функции, введено еше обозначение для (2и)-кратного интеграла от гауссовой функции ошибок К.04)= —, — ~ (т — 1)'"е- *с(7 ггииГ(2Ф+ 1) „ (4.411 Таким образом, определим скорость в первом приближении: и, = Аг'Ъ'(х)11 — 2ыр(а+ 1) 8'„(н)!. (4.42) Сохраняя тот же аргумент т) =у/,2фч~~), будем искать решение (4.36) в виде и — и= у(1) Ч(х) ~(Р. (4.38) плоский настлционлгный погглннчный слой (гл. ш Лля получения второго приближения введем в рассмотрение функ- цию тока ф(х, у. С).
Полагая ф= Ц~оГ ° АГ'(г(х)Ч.'(х, ть Г), дФ ду ' дх (4.43) и подставляя этн выражения в (4.34), придем к уравнению в частных производных Представим функцию Ф в ваде ряда по возрастающим степеням г: Ч'=Чо())+.41"' — '„„' Ч1(П)+ (4.45) Используя этот ряд для решения уравнения (4.44), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для последовательного определения функций Чго, Чгн ... (штрих — производная по 4) Чо + 2т)%го+ 4а(1 — Ч'о) = О Чг~ + 2т)Чг, — 4(2а+ 1) гР1 = — 4(1 — Чо + ЧоЧго) с граничными условиями Ч'о (О) = %'о (О) = О, 'Ро (сс) = 1, Чг,(0) =Чг (0) =Я",(со) =О. (4.47) Первое из уравнений системы (4.46).
аналогичное уравнению (4.39), имеет решение Чго (11) = 1 — 2 'Р (а+ 1) д (т)), (4.48) откуда, по определению фуннций я,(в), следует Чго(Ч) =в — 2 р(а+ 1) я „, (о) —— ъ Г(~+ П Г(а+ ' ) (4. 49) эти решения соответствуют граничным условиям (4.47). 1 до%' 1 до%' ( д%' 1 да%' — — + — 4 — +а~1 — — ) — 1 — + 4 дчо 2 два ( дв ) дтдв (4.44) й 26) сковость, злвйсяшля от агамани по стаианномг законт 127 Второе уравнение системы (4.46) приводится к виду У' ( 24чч, — 4(2а+1)чг1 = — 2'е 1 (а+ 1)(! — а)л«(4)+ Г «+в 2 + 2~~~Ге(а+ 1) ~й~(а)) — и, (т)) и, (т))~ (4.50) «-— г « .~-— г н может быть решено в замкнутом виде; решение его, удовлетво- ряющее граничным условиям (4.47), представляется в форме 'в,(«1)=2' '1'(и+1)1+ К«(т1) — 2' ',' 3 К,(ч)+ Г(а +— 2 -)-2'" ' (+,) й;,(1)+2'"Г'(+1)~й',(1) — К.Юй;, ()~— — 24«.гар(2а -)-2) Г 3 — 4 ( 2« Г («+1) 2+2« а+2 ( 1) ( 5) + 2 3 аа«+1(ч).
(4.51) 1 Га(«+1) Г(,+~) 2 Используя выражение (~ ) =%го(0)+Аг'+' — бган(0)+0(г" ) и приравнивая его нулю, найдем с указанной точностью уравнение для определения промежутка времени Г, от начала движения до момента возникновения отрыва (4. 521 Путь е, пройденный цилиндром за зто время, равен « П= / )г(Г)ПГ= — Г,"+ = — „. (4.53) А «+1 1 1 о(б) а+1 ', ( ~~') Ч", (О) ' 128 плоский нестАционАРный погРАничный слой [гл ш Вычисляя входящие сюда производные при 9=0.
окончательно получим 3» — 4 ( 2) 6 — а Х 2»+4 3' 2»+4 + + 2 11 2 / ( 1) Гта+2) Г 12»+1) 4 54 Г )а + — Г12»+2) Г (» + 1) 1' (2а + — ) Г (а + — ) Г (2а + — ) Для круглого цилиндра радиуса а в задней его критической точке л ь"т будет ( — — 1 = 2/а, н последняя формула позволяет рассчитать ах) значения а для любых а. Так, при а=0 вновь получаем с= 0,35а. При стремлении а к бесконечности вырзжение для пути а стремится к своему предельному значению о = 0,85а. 14.55) Отсюда можно заключить, что, как бы быстро ни возрастала со временем скорость, продолжительность этапа безотрывного движения будет все же меньше того времени, которое затрачивается на прохождение пути, равного радиусу цилиндра.
Рассмотренный Ватсоном случай экспоненциального роста со временем скорости цилиндра приводит к значениям времени и пути безотрывного этапа, соответствующим предыдущему случаю при а — ь со. Таким образом, и при этом, казалось бы, более резком росте скорости со временем получить сколько-нибудь затянутый режим безотрывного обтекания не удается. Заметим, что рассчитанное в этом случае второе приближение приводит к несколько меньшему значению коэффициента в правой части 14.55), а именно 0,74 вместо 0,85. Нестационарный пограничный слой на круглом цилиндре, совершающем гармонические колебания малой амплитуды„ был исследован Г. Шлихтингом '), который теоретически подтвердил наличие подтекания окружающей жидкости к цилиндру в направлении, перпендикулярном к прямолинейной траектории центра цилиндра.
ф 27. Продольное нестационарное обтекание пластинки Изложенный з прелыдущих параграфах метод расчета нестационарного обтекания цилиндрических тел неприменим к случаю обтекания пластинки. Легко убедиться, что все поправки к первому при- ~) ась!)с ь 11пя Н, Рьув. Еепвсвг. 33 (1932); см, также монографию того жс автора «Теория пограничного слоя», ИЛ, 1936, стр, 202 †2. й 2г'( пгодольноз нестлционлвное оатеклние пластинки (29 ближенню как в случае внезапного приведения тела в движение (4.9), так и в случае ускоренного движения (4.24) и (4,4б), при (l = сопя( илн соответственно У = сопзй обращаются в нуль. Что же касается остающегося первого приближения, то оно в этом случае прн принятых начальных и граничных условиях становится полностью независимым от х, т.
е, совпадает с решением задачи о нестационарном обтекании вязкой жидкостью безграничной пластинки. приходящей а движение в своей плоскости. Решение этой простой задачи при любом степенном законе роста ускорения дается изложенным в предыдущем параграфе первым приближением (4.42), в котором надо положить Ъ'(х) = 1' . Как мы только что пояснили, построение следующих приближений по методу, изложенному а предыдущих параграфах, невозможно.
Точное решение задачи о нестационарном пограничном слое на пластинке, даже в постановке Блазиуса, заменяющей пластинку данной конечной длины полубесконечной вниз по потоку пластинкой, представляет большие математические трудности. Причина этих трудностей заключена в наличии особенности в точке х = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
