Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если перейти в этом уравнении к случаю стационарного слоя, положив (штрих — производная по х) ~ *' лН» и' ЦФ Н*'+ 27" — ) г" = 2 — [С вЂ” (2Н + Н') Д 4- —,Н 7 . (4.73) Из определения величин Н' и Н" по (4.68) сразу видно, что для упрощения вида уравнения (4.73) следует положить И = 3, так как при этом будет гг ни ° ь1 д =О. Н'=—а ..
— — Н, у Н"=1, и уравнение (4.73) придет к известной форме (3.23). Таким образом, в случае стационарного слоя выбор в выражении формпараметра в качестве характерной условной толщины И величины 8" вполне оправдан. Иначе обстоит дело в случае нестационарного пограничного слоя. Полагая в уравнении (4.72) ам~ лн«, а. 7г=Ь*' У= — Н"=1, =О, Н'= — „=Н, ~Ч ' з" придем к урзвнению — ~(п д — 22) Н+ (7( — — (г д )~,7+22(. (4.74) но сохранить произвол в выборе условной толщины слоя л, то уравнение (4.72) преобразуется к виду 136 плоский нестацнонАРный нОГРАннчный слОЙ [гл. Ог В. В. Струминский '), введя для краткости обозначения (штрих— производная по », точка — по Г) Ф(7) =Н(7)+ 27 АН, Л4 (» г) — 4 ии+й и' А7(», г)= й — ий — и й и((ги + й) (4.75) и сохраняя то же обозначение гч(Г) для характеристической функции, что и в стационарном случае, свел предыдущее уравнение к такому окончательному виду: Ф ® 7+ и 7 + (Аг (», 1) и (7) + м (», г)) у = ~и + — ") р ®.
14. 76) В только что цитированной статье В. В. Струминского можно найти график функций Ф(7), рассчитанный путем использования класса решений Фокнера и Скан. Эта функция при приближении к точке отрыва возрастает более резко, чем известная уже нам функция Н(7), что не позволяет так просто линеаризировать задачу, как это было сделано в случае стационарного слоя. Если принять в качестве характерной величины 5 толшнну вытеснения 5', то будем иметь Ю* У= — =7' э ~ д (и/(7) ) (4.77) ЛН' Н'=1, — =О, Н = —,, = — =К, Р Н и основное уравнение (4.72) приобретет вид ~'+ Б(К+ 2,7 —,)У' = ~ — — 2()+(7( — — 4 — )К~ у" + 2Ж', (4.78) ') С тру мни с к н й В. В., Теория нестационарного пограничного слоя, Сборник теоретических работ НО аэродинамике, МАГИ, Оборонгнз, 1957, стр. 230. ') Рози и Л. А., ПММ, г.
ХХ1, в, 5, 1957. Уравнения (4.74) и (4.78) одинаково сложны, олнако, как показал Л. А. Розина), уравнение (4.78) имеет то преимущество, что входящие в него функции К(~') и ч (7') допускают замену па линейные, а функция К(/'). кроме того, настол ко слабо зависит от 7, что без большой погрешности просто может быть принята за постоянную величину. 28) пгимененнг пгивлиженного одноплвлметгического метода !37 Для определения зависимостей К(7 ) и Г Ц") достаточно вспомчить, что .7'=.7Н'. г.'=СН, К= ', Н' де 7", 1 и Н могут быть взяты из таблиц 7 или 8, помещенных конце $20.
Используя для этой цели таблицу 7 как дающую юлее близкие к действительности результаты и рассматривая г' как -Д5 Рис. 40. юключающийся параметр, составим новую таблицу зависимости Г и К от 7 . По полученным таким образом числовым значениям на рис. 40 построены графики (*(7') и К(7'). Из рассмотрения этих графиков следует, что уклон кривой К(7") сравнительно мал, так что в первом приближении можно считать К(7*)= сопя(, а кривая (*(7") незначительно, особенно в наиболее важной области отрицательных /'.
отличается от линейной функции, так что можно положить 188 плОский нястАцнонАРный пОГРАничный слой (Гл. Пг В этом приближении уравнение (4.78) становится линейным и приобретает вид УЬ+ а,У~» — ~ — — 22+ агУ ~ — — 4 — )+ 2азВ~ У~=2азЯ. (4.80) Га га УА (4.81) Проиллюстрируем применение уравнения (4.80) на следующем простейшем примере. Определим. как это уже делалось в предыдущих параграфах настоящей главы, время 1, от начала движения до момента возникновения отрыва в кормовой критической точке круглого цилиндра, где скорость внешнего потока равна нулю, если распределение скоростей на внешней границе слоя задано уравнением и(х. 1)=2У„з(п( — ). (4.82) т. е.
когда цилиндр внезапно приводится в равномерное движение со скоростью У . В этом случзе имеем У'=2 — соа( — ), У=О, Я=О, а Аау' Я=У'=2 — соя~ — ~, Я = — 2 —, з1п~ — ). Применяя уравнение (4.80) в задней критической точке, где м = ка и, следовательно, У = О, У = — 2 — , Я = — 2 — , Я = О, и У а ' а придем к обыкновенному дифференциальному уравнению — = 4 — (1 + 2а — а ) ~" — 4аа —, ф" У~з и а'Г а з (4.83) которое легко решается и при начальном условии 7'=0 при 1=0 дает у = ' 11 — акр~4(!+2а,— аз) — 1~.
(4.84) Интегрирование его может быть выполнено обычными методамн интегрирования линейных уравнений в частных производных первого порядка. Соответствующая атому уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений (характеристик) может быть легко составлена. В ряде простейших случаев решение приводится к квадратурам. в других случаях требует применения приближенных методов. Значение формпараметра 7' в точке отрыва, где ь =О, согласно (4.79), будет равно 9 29) пгимвнвнив методов, ни связанных с тгавнвиивм импульсов 139 В момент отрыва 1=!,, У Г,=а и, согласно (4.81), будет ехр ~4 (1+ 2з, — а ) — '1 = (4.85) 3 а~ зу Определяя уклон прямой (4.79), найдем а =' 0,4.
Если принять для а, в точке отрыва значение К, то получим (см. график К на рис. 40) и, = 0,26; тогда путь, пройденный цилиндром до момента начала отрыва у задней кромки, будет характеризоваться значением а=0,30а, мало отличавшимся от значения а=0,32а, рассчитанного Голдстейном и Розенхедом по третьему приближению к,строгому решению. 9 29. Применение методов, не связанных с уравнением импульсов Как уже ранее указывалось, применение уравнения импульсов не является единственным путем приближенного решения задач однопараметрическими приемами.
С. М. Тарг') применил к расчету нестзциоиарного слоя метод, предложенный им первоначально для стационарного слоя; понятие об основах этого метода дано нами в 9 22. Переписав основное уравнение нестацнонарного погрзничного слоя дУ, дУ! в форме (У= —, У'= д у дзи, ди ди ди Р ди ч — + У+ УУ' = — + и — — — ) — <1х, (4.86) дуя дт дх ду .) дх о подставляя в правую его часть приближенный профиль скоростей = 2 У13) — р).
=у!3. 1 (4.87) где У и 3 рассматриваются как функции двух переменных х и С и совершая повторное двойное интегрирование обеих частей уравнения (4.86) по у, получим следуюшее выражение для продольной скорости в сечениях пограничного слоя 1л=йз(у): Г! У 73 1 1 и=У~ — л(-.-~Р+ уР- — ")-»- У ~4 20 3 1 1 +- У ( —,1 — 8Р+ —; — — 0з+ — Р)+ 2 10 56 371 1 1 тдл +-1,— '4 — — Р+-в- Р) — + 414 6 0 )дг + — У ( — и — — тР+ — у)а — ~Г уР) — ~ . (4.88) 3 26 1 7 1 дл Используя условие и = У при у1 = 1, С.
М. Тарг приходит к линейному дифференциальному уравнению в частных производных первого ') Т а р г С. М., Основные задачи теории лзминарных течений, Гостехвадат, 1951, стр. 210. 140 плоский нястлционлвный погвлничный слой (гл. ш порядка т — + и — +~'пи'+т — )~г=ь, дг дг 7, и'1 дГ дк '1 и) 14.оз) где постоянные т, п и Ь имеют значения а=2,33, л=564, Ь=23,27. (4.90) Интегрирование при начальном условии г=О при 1=0 дает Чтобы найти значение 1, для момента отрыва, необходимо пода дг т ставить значение г, из (4.93) и ~ — ~ из (4.92) в обе части уравне- 1 дг,), ния (4.9!) и определить после этого Г, или величину е= и Г,.
Расчеты показывают, что при этом получается значение а = 0.25а, заниженное по сравнению с полученным ранее значением а = 0,30л, более близким к третьему приближению Голдстейна и Розенхеда. Применение к нестационарному слою метода М. Е. Швеца (см. $22 настоящей книги) произвел Е. М. Добрышман'). ') Добрышиаи Е, М., ПММ, т. ХХ, в. 3, 1956. (4.93) Условие отрыва получим. полагая ~дС.)и)~ О дв то Произведя дифференцирование (4.88) и полагая затем т, = О, найдем условие отрыва в форме )э = и'г, = — 6,21 — 0,0976 ( — ) — 0,8162 — г,, (4.91) дь где — уже исключено при помощи основного уравнения (4.89), дк играющего ту же роль, что и уравнение(4.80) в однопараметрическом метоле, изложенном в предыдущем параграфе. Уравнение (4.89) несколько проще уравнения (4.80), так же как уравнение (3.31) для г" в случае стационарного пограничного слоя проще уравнения (3.23) для г".
Не останавливаясь на полном исследовании уравнения (4.89), сравним результат применения его для решения простейшей задачи об определении момента возникновения отрыва на задней кромке круглого цилиндра, приведенного внезапно в равномерное движение со скоростью и . В этом случае уравнение (4.89) приведется к виду ш — — 2л — г=Ь. д и дГ (4.92) ГЛАВА Ч НЕПЛОСКИЕ ДВУМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ В ЗО. Пограничный слой на продольно обтекаемых удлиненных телах вращения В настоящей главе рассматриваются пограничные,лзи, образующиеся при неплоских двумерных движениях вязкой жидкости. Под двумерными подразумевзются движения, определяемые двумя компонентами скорости, каждая из которых зависит от двух координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
