Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Получим слелуюшую систему 9 35! погтлничный слой нл длинном, тонком тала вглщяния !57 с граничнымя условиями 158 НЕПЛОСКИЕ ЙВУМЕРНЫЕ ПОГРЛНИЧНЫЕ СЛОН обыкновенных дифференциальных уравнений: '4Уо + Уа + 2 алого = 0' .!у;л+ у,"+ —,' у,У,"+ —,' у,"У, = О. то з + Уа + 2 УоУЕ + 2 Уо Уз (5.51 1У'„л+.У„+-, У',.У„У„" „— е=з л-1 2 Х (АаУл-е-! ~еУл-е- ) Обратимся к рассмотрению граничных условий.
При использова нии введенной по (5.45) переменной т) будем иметь следующие грничные условия на поверхности цилиндра (г = а) для функции / (т), хп у =у'=0 при т)=а-а. /'-ь2 при и-+со. (5.52 при граничных условиях (5.52) получить асимптотическое решени. (А — В) л!+ В л! и т)+ С, А+В !и л). выражающее поведение функции У'(Ч. х) вблизи л)=0.
Использу~ граничные условия (5.52) н замечая, что при больших р можно счн твтЬ л)=0 С ОщибКОй. МЕНЬШЕЙ, ЧЕМ Лвбая ОтрвцатЕЛЬНая СТЕПЕНЬ Р получим у=О при т)=0, и. следовательно, лллелО пРН т)=0 Я пРи всех и. (5.53 Кроме того. замечая что у„', так же как и у', вблизи ведет себя, как У'„— ал+ бл !п т), (5.54 При малых 4 в уравнениях (5.49) можно откинуть нелинейныл члены и иа полученного таким образом уравнения ЧУе+~" = 0 $ 35) погваничный слой нл длинном, тонком твлв ввашения 159 получим, подставляя это значение 7„' в условие у' = 0 при т) = е-а. а„— ра„ Х =О, л 0 откуда будут следовать условия для коэффициентов а„ и Ь„: бе=О.
5г=ло Ьт=а~ °" д =а -~ (555) /' -» 2, 7'„' -» 0 (л ) 0) при т1-» сю. (5.56) При этих условиях первое из уравнений системы (5.5 1) при 7е ае УдовлетвоРЯетсЯ линейной фУнкцией Уо "оч (5.57) причем, в силу последнего условия (5.52), должно быть аз=2; это нулевое приближение соответствует однородному потоку со скоростью У . Второе уравнение системы (5.51) при этом приобретает форму ~У;"+(1+~) У, =О (5.58) и должно удовлетворять условиям ,У,-~0. 7"', а, + 25лч при т)-» О, у,' — » 0 при и — » со. Решением его будет (5.59) (5. 60) Замечая, что при т1 -» 0 можно принять Е! ( — т!) !п л+ 7 (7 = 0 5772 — известная постоянная Эйлера), получим С=2. а,=27, так что окончательно 7; = 2Е! ( — т!), У, = 2чЕ1( — т))+ 2е " — 2.
(5,61) Таким образом, по (5.52) получим уравнение следуюшего при. ближения." Чуа +(1+т))/" = — 2е чЕ!( — т)) — — е ~"+-е ч — 2Е!(-- т!) а (5.62) Наконец, граничное условие на бесконечности /' -» 2 при и-» оо даст 160 НЕПЛОСКИЕ ЛВУМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ 1Гл, т с граничными условиями У2 — ь О, у2' — а2 + 27!п т) прп т) — Р О, Г"' — Р О при П -ь оо. (5.63) Решением его будет служить выражение $2 = 2е 'Е1( — ъ)) — 4Е1( — 25) — Е12( — л)+ + 4Е1( — л) 1п и — 6Е1( — т)+СЕ!( — л), (5.64) где введено обозначение Е!( — 21) = ~:Ш. Г 51( — Г) (5 65) согласно граничным условиям (5.63), получим С= 2+ 67, а2 — — 272 — — па — 4!и 2.
2 2" (5.67) Напряжение трения т на поверхности цилиндра, равное .=р( — ',",) =( — '."' ул) представляется асимптотическим равенством которое в силу соотношения (5.54) примет вид Ри Ч Ь„ ю л ~~а рл' лла (5.68) Принимая во внимание полученные значения для коэффициентов Ьл де = О б2 = ае = 2 52 = а, = 27, 1 Ьа —— а2 — — 272 — — пя — 41П 2, 2 2 При малых л имеет место асимптотическое выражение 1 1 Е! ( — 21) — (1п л+ 7)2+ — ка, 2 12 так что (С вЂ” 2 — 47)1п 21+(С7 — 2 п2 — 41п 2 — 27 — 472); (5.66) 35! поггйннчный слой нй длинном танком тале. втйщвння !61 ~вилем окончательно следующее асимптотическое выражение лля на- ~ряжения трения: ! 21' — — и' Ф" '" Х 5й 5г — -.
— — + — + „+О~ —,). (5.59) а 2 2т 3' /11 (р )' Результаты расчета по этой формуле величины силы /т сопроти:ления на единицу длины цилиндра 21й йй 1 г".= 2кат = р,(/, 2к ~ —.+ —., +, +- форме зависимости 1д (гч/(РУ )) от !и (тх/((/ аз)) показаны на ~ис. 42 штрих-пунктиром в правой части рисунка. Аналогичная г л' ь ч / ь ч -Ъ .;/У -/ -/ Р / г у (р/кх/// аг) Рис. 42. ') 8 ! ей/а г ! й оп К„Яцагп Арр!.
Ма!Иепь 13, /и ! (1955), 113 — 122. 11 зик. 297. л. г лойцййййий ,иния слева соответствует результату расчета цо формуле Себана— >аида — Кэлли. Длинным пунктиром показана интерполяция, соелияюшая обе эти кривые при значениях десятичного логарифма от ~араметра, не превышающих по абсолютной величине единицы. Более общий случай пограничного слоя на длинном тонком круовом цилиндре г = а, когда скорость внешнего потока задается тепенной функцией (/ = схм, был изучен Стюартсоном ']. 152 (гл ч неплоскив двямявные погглничные слои Вводя переменные 2чх гЧ7 га (:Я' ) 2 (5.70) бая ' 2чх ' ае и выбирая функцию тока в форме чху'(1, ч)), автор приходит к диф- ференциальному уравнению в частных производных третьего порядка ~4д— ь+(ф+~)д з+ ~ — (дя) ~ — (1 — ш)е(д,, д:дя да ~,*) (5.7 1) с граничными ус.човиями — -=О, ф+(1 — ш):,— г=О при $т)=1, дф . дф дч д:- дф — — ь1 дч при и-» з для всех при $ -ь + О прп сч) > 1.
Простейшим случаем является случай лг = 1, когда ф представляет собой функцию одного переменного 4, а пограничный слой имеет постоянную толщину. Случай лг ) ! неинтересен, так как прп этом пограничный слой утончается и теряется необходимость введения уточненной поправки на поперечную кривизну.
Подробно исследуется случай т = О, соответствующий только что разобранной задаче Глауэрта и Лайтхилла. Для этого случая устанавливается асимптотическое разложение для больших 1, т. е. больших расстояний от переднего края цилиндра ~+.ьм 1(п(21(.~)1' + Й(п(/' я=1 ( 2 ' 2 4(п2+ —, ньГ '" (п(4чх/((а'(ч' Ц ((и!4чх((.(аЧГ )])' аЧУ~ 1 7 ''' + ( чПп(4 ((т,эи„)) 4 Это выражение отличается от формулы (5.69) Глауэрта н Лайт- хилла.
Как показывают расчеты, наличие поперечной кривизны вызывает некоторое уменьшение падения напряжения трения по сравнению с решением Блазиуса для пластины. Этот эффект сказывается и на явлении отрыва пограничного слоя, как об этом можно судить, рас- где 7 — постоянная Эйлера, а функшш Р,(я) определяются нз системы обыкновенных уравнений третьего порядка. Не осганавливаясь на деталях, приведем данное Стюартсоном асимптотическое выражение для трения 163 РАСЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНОЙ КРИВИЗНЫ 6 36! сматривая случай ис < О. Можно констатировать, что в области, где толщина слоя сравнима с ралиусом поперечной кривизны цилиндра, наличие этой кривизны приводит к затягиванию безотрывного обтекания.
$ 36. Расчет влияния поперечной кривизны по однопараметрическому методу Положив в основу уточненные уравнения (5.37) и граничные условия (5.38), выведем основное уравнение импульсов в общем случае произвольной формы тела вращения и распределения скорости на внешней границе слоя. Умножая обе части первого из уравнений (5.37) на г н используя второе уравнение той же системы, получим д(гио), д(гир) Пl д 7 ди( + =гУ +.— (г — ). дх ду «х ду ( ду /' Умножим обе части второго уравнения системы (5.37) на У(х) и преобразуем его к виду д (гиУ) д (гоУ) «У =ги —, дх ду «х ' Вычитая почленно из обеих частей полученного уравнения соответственно обе части предыдущего.
найдем д г д «У д г дис — 1ьги (У вЂ” и)1+ — (го (У вЂ” и)) + г — (У вЂ” и) = — с — 1 г — ) . дх ь ду «х ду'( ду) Проинтегрируем обе части этого уравнения поперек слоя от у = О до у= оо, 3, подобно тому как это неоднократно делалось ранее при выводе уравнения импульсов. В результате интегрирования получим со, С ,с сн — Уа ( г — 1 — — 71«у + У вЂ” ) г~1 — — г1«у=а о р или, выполняя дифференцирование в первом члене левой части и умножая обе части на 2П, «д» 1 «У ° — + — — (2Ь -1- й') = 2ссг «х и«х "р р где уже принято во внимание, что г=гр(х) при у=О н введены для краткости следующие обозначения: дс'= 2ссг с 1 — — с «у, Ь» = 2ссг — 11 — — 1«у.
(5.73> о о !64 [гл. ч НЕПЛОСКИЕ ДВУМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ Величяны Ь' и Ь** имеют размерности площадей н могут быть по аналогии с о* и о** названы соответственно «площадью вытеснения» и «площадью потери импульса». Заслуживает внимания тот факт, что прн пользовании такого рода обобщенными понятиями левая часть уравнения импульсов (5.72) ничем формально не будет отличаться от левой части уравнения импульсов в плоском пограничном слое (3.3). Вместе с тем уравнение (5.72) содержит в себе как частный случай упрощенное уравнение импульсов (5.28), соответствующее сделанному в $30 приближенному допущению г=г (х). Действительно, при этом допущении 2пг может быть вынесено за знак интегралов (5.73), после чего величины О' и Ь** с точностью до множителя 2«гз перейдут в ь' и о"', а уравнение (5.72) легко преобразуется в (5.28).
Удовольствуемся простейшей иллюстрацией применения уравнения (5.72) на примере круглого цилиндра радиуса а в продольном однородном потоке со скоростью (7 '). Исходя из уравнений (5.40) н граничных условий (5.41), найдем следующие условия, которым должны быть подчинены профили скоростей в сечениях пограничного слоя. Прежде всего непосредственно из первого уравнения системы (5.40) следует (5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
