Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Вычисляя интегралы, входящие в левые части уравнений (6.18) и (6.19), н производные, стоящие справа, и принимая еще вместо г новую безразмерную независимую переменную (д — радиус кожуха) г х=! — --, Ь ' и, умножив обе части уравнения нз гада, проинтегрируем по з от нуля до 6 . Используя уравнение неразрывности и интегрируя по частям, получим второе интегральное соотношение 180 тРгхмеРные ОсесимметРнчные пОГРАничные слОи (гл, ч! перепишем ) равнения (6.18| и (6.19) в виде (штрих — производная по х) (1 — х) Фто,',— 2(1 — х) ФФ'Ь -(- ФЕЬ + + — штЬЕ (! — х)т оо — — »Ь (1 — х) Ф =- О, (6.21) 3 (1 — х) Ф'оо+ 11ФоЬЕ = 30»Ь (1 — х), где введено обозначение Ф =ивов.
Шульц-Грунов получает решение этих уравнений в виде степенных рядов Ф.=-Ь У»шх '(3,04 — 4,64х+ 2,839х'— — 2,855хз — 1,814х'+ ...], (6.22) оо — — ~У вЂ” х'(4,385 — 5,845х+ 4,015х'— — 4,46хз — 1,29х<+ Расчеты показывают, что момент сил трения жидкости о неполвнжное основание равен М = 3,39ршЬ4 р/ (6. 23) Переходя ко второй задаче — расчету пограничного слоя на вращающемся с угловой скоростью ш диске при наличии спутного квазитвердого вращения внешней жидкости с угловой скоростью ш с'ш, заметим, что интегральные соотношения (6,18) и (6.19) останутся по форме теми же (следует только заменить оо на о), а полиномиальные представления скоростей в сечениях слоя будут несколько иными.
а именно: и = и*~1 — (2 — — 1) ~, и =юг — (ш — ш) г(1 — (1 — — ) ~, где и' — новая неизнестная максимальная радиальная скорость. Опуская детали вычислений, которые почти дословно повторяют только что изложенные для случая неподвижного основания кожуха'), придем к системе уравнений, имеющей в качестве решений о=сонэ|= (т 150 ф//, (624) )/2+-3ш/ш ш/ш+ /» и" = 2,5»г/ое ° (6.25) ш/и +»/» ') См, цитированную статью Шульц-Грунова нли подробное ее изложение в нашей монографии </тэродинамнка пограничного слоя», Гостехиздат, !941, стр. 224.
9 39! глвномегное вяашение диска, огялниченного кожтхом !81 М = 1,79ра4(ы — ы) 3а7т р' 2 + Зычны $/ 'ч"''~ Ъ 6ю/ш — 1 Положив здесь ы = О, получим (6.26) М. =о =' 2ач $Гр 1ияз что соответствует задаче Кармана; сравнивая с формулой (6.13), видим, что в связи с использованным в расчете полиномиальным приближением, отличным от принятого Карманом, коэффициент получится несколько большим (примерно на 15',~), чем в теории Кармана. Остается определить оставшуюся до сих пор неизвестной величину угловой скорости в квазитвердого вращения жидкости между пограничными слоями. С этой целью приравняем между собою выражения моментов (6.23) и (6.26), которые должны быть равны, так как внешнее ядро вращается равномерно. Графическое решение соответствующего уравнения дает в/а =' — 0,54, т.
е. квазитвердое ядро между пограничными слоями вращается примерно с половинной угловой скоростью по сравнению с диском. Окончательная формула момента сопротивления диска в кожухе (6.26) принимает после этого вид М = 1,334ра'а )го~~ч. (6.28) Если ввести опять коэффициент момента с, равный с = М! ~ — парез), гг1 ~ 12 то получим 2,67 ьая )гйе ' (6.29) На основании проведенного расчета можно сделать следующие заключения: 1) момент сопротивления диска, вращающегося в кожухе, не зависит от зазора между плоскостью диска и основанием кожуха (если. конечно, зазор превышает сумму толщин пограничных слоев на диске н основании кожуха) н 2) этот момент значительно меньше, чем при отсутствии кожуха, т.
е. при вращении диска в безграничной жидкости. Оба эти заключения тесно связаны со сделанным допущением о существовании меисду пограничнгями слоями области квазитвердого лрюцения жидкости с постоянной угловой скоростью. При увеличении зазора, начиная с некоторой, достаточно большой Момент трения, приложенный к вращающемуся диску радиуса а, будет равен 182 тггхмзгныя осесимматгичныв погяхничныа слои !гл. ш его толщины, принятое допущение потеряет свою силу, так кзк квазитвердое зращение, обусловленное замкнутостью циркуляции жидкости, прекратится. Причина уменьшения значения момента по сравнению со случаем безграничной жидкости заключается в том, что при наличии кожуха азимутальнан скорость убывает на протяжении толшицы слон примерно до половины своего первоначального значения, а при отсутствии кожуха — до нулевого значения.
Эта разница сказывается на величине производной скорости по нормали к поверхности диска, т, е. на интенсивности трения о поверхность диска, а тем самым и на величине момента. Как при вращении диска в безграничной жидкости, так и при вращении его в цилиндрическом кожухе внутри пограничных слоев образуются радиальные течения, отсутствующие во внешнем потоке.
Такие течения, вызываемые в подторможенной в пограничном слое жидкости перепадами давлений, носят наименование «вторичных течений». Вопрос о хзрактере вторичных течений при рззличных соотношениях между угловыми скоростями двух соосно вращающихся дисков изучался многими авторами. Так, Батчелор') рассмотрел спутное квазитвердое вращенке жидкости с угловой скоростью как меньшей, чем у вращающегося диска (аналог задачи Шульц-Грунова), так и большей.
Во втором случае вторичные течения в пограничном слое диска будут иметь направление, противоположное указанному на рис. 43; жидкость будет подтекать от периферии диска к его оси и уходить сквозь внешнюю границу пограничного слоя наружу. Стюартсон '), основываясь на работах Кармана и Батчелора, получил в замкнутом виде приближенное решение (по методу Озеена — Релея) задачи о движении вязкой жидкости между двумя соосными дисками, вращающимися с разными угловыми скоростями, и дал подробный анализ образующихся при атом вблизи поверхностей дисков вторичных течений.
В дальнейшем») Стюартсон получил более точную оценку толщин областей вторичных течений, образующихся за счет перетекания жидкости из погранично~о слоя более быстро вращающегося диска в пограничный слой диска с меньшей угловой скоростью4) и изучил поведение жидкости между дисками вне погрзничных слоев. ') В а !с Ь е ! ог О. К., Яраг!. Лонга. о1 МесЬ. апд Арр!. Май. 4 (1951), 29 — 41. а) 31е та а г !а о и К., Ргос. СаглЬг. РШ1, 5ос. 49, № 2 (1953), 333 — 34!. ') 51е м а гга оп К., Лонга. о1 Р1ью Месп. 3, № ! (1957), 17 — 26.
') Критическую оценку существующих работ во вопросу о вторичных течениях в пограничных слоях на соосно вращающихся дисках можно найти в обзоре: Ф. М у Р, Теэрня трехмерного пограничного слоя Проблемы механики, в. 2, ИЛ, 1959, стр. 245 — 249. В недавно появившейся статье С.
Розенблгта освещен вопрос о потоке вязкой несжимаемой жидкости между двумя крутильно-колеблющимися дисками (см. ко а е и Ь ! а! 5., ). Г!цю Месй. 8, № 3 (1960), 388 — 399). 9 40) диск, вялщающийся в одноводном осввом потока !83 Влизкой к рассмотренному кругу вопросов является группа осесимметричных задач о вращательном движении вязкой жидкости вблизи неподвижной поверхности.
К этой группе относятся, например, движения в вихревых форсунках и циклонах, вторичные движения внутри смерча и др. Часть этих вопросов будет освещена в конце настоящей главы (9 45). ф 40. Пограничный слой на диске, вращающемся в однородном осевом потоке и=О, о=атг, от=О при г =О, и=К о=юг, пг=Ж' при з=эо, 6. 30) где (т'=хг, Ю' = — 2хз (6. 3! ) являются компонентами скорости внешнего потенциального потока, а постоянная х зависит от формы носовой части тела вращения. Для определения постоянной х следует сравнить скорости, заданные равенством (6.31), со скоростями вблизи критической точки при ') В а ! с Ь е ! о г С. К., ()ваг!.
)овгп. о1 Меев. апд Арр!. Ма!Ь. 4 (1951), 29 — 41. ') Всв!!спг!пя Н„ТгпсиепЬгод! Е., Венвспг. 1. Апяетк.Майи в. Месп. 82, Лй 4/5 (!952). Т!1!огд А, !Ч., 5вепя То-с вп, )онгп. Аегоп. Бс!. 19, Лй 4 (1952), 284, 285. т) Впервые вопрос о пограничном слое на телах, вращающихся в набегающих на них вдоль их оси однородных потоках, был поставлен И. М. Вюргерсом: В вгйега ф М., Коп.
Асад. х. 1!те!!епаспарреп, Агва!егдапк 45, ЛЭ ! — 5 (!94!). Как обобщение двух раисе рассмотренных задач о пограничных слоях, образующихся вблизи лобовой критической точки тела вращения и на вращающемся диске, можно поставить задачу о пограничном слое на равномерно вращающемся диске, помещенном в однородный поток, направленный перпендикулярно к его плоскости, 3адача эта допускает решение в строгой постановке теории асимптотического слоя, но требует при этом применения численных методов интегрированив').
Изложим простое наглядное решение той же задачи методом слоя конечной толщины, принадлежащее Шлихтингу и Трукенбродту а), а). Сохраним прежние обозначения. Уравнениядвижения при любой форме носовой части вращающегося с угловой скоростью ы тела будут прелставлены системой (6.1), а граничные условия (6.2) перейдут в следующие: 184 тгвхмегныя освсимматгичные погвлничнык слои (гл. чг поперечном обтекании диска радиуса и ') однородным потоком со скоростью Ф', Тогда получим 21$' ха (6.32) В дальнейшем в качестве основного параметра булет фигурировать отношение х 2 )Р 2 И7, "я (6.33) которое с точностью до множителя 2/х равно отношению скорости набегающего потока к периферийной окружности скорости диска ~0 Пользуясь соотношениями, аналогичными (6.3). но не выделяющими явно и (в данном случае наряду с и имеется еще другая характерная величина х той же размерности), можно положить и=г/(г), п=га(г), те=А(л), р = р,(г) — -~а хагя.
(6. 34) Тогда система уравнений (6.1) преобразуется в систему 2У -)- — „= О, Нг уз — ~я+ л — = ха+ ч —, ар ал аая ' 2Уд+)г — =ч —, Дяа аа акя ' а'Л 1 ир, ФЛ )1 — = — — — '+» —, ал р и» азя ' (6.35) аналогичную (6.5), но с несколько иными граничными условиями: У=о, и=ах А=О при а=О. (6.361 У -ь х, д — ь О, Ь -ь — 2хг при л -ь схз.
При х=О, т. е. Ф' =О, вернемся к задаче Кармана. Интегрируя обе части второго уравнения системы (6.1) поперек слоя от в=О ло а=со, либо 3 (толщина слоя) при граничных условиях (6.30) и, как обычно, используя последнее уравнение (неразрывности) той же системы, получим интегральное соотношение ') Си., например, Кочин Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гялроиеханика, Гостекизлат, 1948, стр.,%9. ли /' йг ~,/ — г / и(У вЂ” и)~й +г — / (У вЂ” и)г7г+ и'г,/ о + / оаИг = гч/ — 1 = г — '.
(6.37) (Да/о о а Тем же путем получим из третьего уравнения системы интегральное соотношение моментов количеств движения га/" ио(Ц,1 гач( 1 =, . (6.33) о Заменяя здесь скорости их выражениями (6.34), перепишем уравне- ния (6.37) и (6.38) в форме / (за+ 2ч / — 3~а+ йа) г(а = ч ( — У) О о у "=-(у) о (6.39) т. е, примем пограничный слой конечным по толщине. Обозначим вту толщину через 3 и введем вместо г новую переменную Г, равную отношению г/3. Тогда уравнения (6.39) ааменятся следующими: 1 / ('+2 / — 3Р+д)г)г= — ',/ — )/ о ! 4 / Г'л. Ф = - —, ( — „~) а (6.40) Перейдем к ааданию формы профилей скорости в сечениях пограничного слоя или, что то же.
к подбору функпий /(Г) и к О) в виде некоторых полиномов, Коэффициенты этих полиномов определяются путем выполнения граничных условий при г = 0 и г = 1 В качестве «первого приближения» выбираются полиномы У = ЯГЗ(4 — ЗГ) + С,((1 — Заа+ 21а)+ Са(а(1 — 2Г -+- Га), Л = — м(2 — 31-(-га), 1 (6.411 2 9 40) писк, вгюпаюшийся в одногодном осавом потоке 185 импульсов в радиальном направлении 186 т»ехмеяныв осесиммвтгичные погялничные слои [гл. ш удовлетворяющие граничным условиям (,„2+,р) Э2 У=О, /-=-, у=в, д =0 при 1=0,1 ) (6.42) У=., У'=О, д=-О. я'=О при г=1, ~ причем второе условие для 7" при г = 0 следует непосредственно из первых двух уравнений системы (6.35) при г = О, т. е. г = О, и условия Ь = 0 при Г = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
