Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Из второго уравнения следует, что др/ду имеет тот же порядок малости, что ю; это позволяет пренебречь изменением давления поперек слоя, а следовательно. поскольку вне слоя давление всюду одинаково, и радиальной производной дзвления в первом уравнении системы. Выполняя все указанные пренебрежения, приведем общую систему (6.89) к следующим уравнениям пограничного слоя струи: 208 тгвхмввные освсиммвтгичныв погваннчные слои (глг ш Это равенство выражает собой теорему об изменении количества движения в проекции на радиальное направление, примененную к эле- ментарному объему струи в цилиндрических координатах.
Аналогичным образом, умножая обе части второго уравнения системы (6.90) на х', получим, в силу последнего уравнения, д д д' (х'ге), — (хаим) + — (хзош) =« дх ау ду« отсюда после интегрирования поперек слоя и учетз граничных условий будет следовать, что и — / хзашау=0, ах г Из полученного равенства вытекзет независимость интеграла от х, что приводит к формуле сохранения момента количества движения Е в радиально-щелевой струе 2прхз ~ иш цу = сопя( = /е. (6.93) Введем опять функцию тока мериднонального течения (в плоскости, проходящей через ось Оу симметрии струи) ф(х.
у), которая по последнему уравнению системы (6.90) связана со скоростями и, и соотношениями х ду' г аФ Ю= —— х ах' (6.94) Будем искать ф в виде ряда ф= 1«' «(ах-+из+ — '+ ...), (6.96) где а. ае, а1 ... — неизвестные функции переменной у р (6.96) а ае а1 л= — + — + — +.... х х«х' — l ча — а чае а, + «а1 (6.97) Проекции скорости и и о представятся асимптотическими рядами (шчрик — производная по 4) э 441 РАДИАЛЬНО.ШЕЛЕВАЯ ЗАКРУЧЕННАЯ СТРУЯ 209 Азнмутальную скорость (скорость закрутки) заладим асимптотическим разложением х +х'+ ''' Ь! Ьн (6.98) Подстановка в (6.90) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х приводит к следуюШей системе уравнений; аьн+аа" +а' -+Ь~1 — — О, а.о +ало+За'ао+2Ь ЬЯ=О Ь1+ аЬ1 = О, Ь" + аЬ,'+ а'Ь, = О, (6.99) при граничных условиях к которым еше присоединяются интегральные условия (6.92) и (6.93).
Из этих условий путем приравнивания коэффициентов при одина- новых степенях х получим ~ Ь1 с19 = О, ~ ( аа'+ Ь,ЬЕ')т1 ~ = О. СО а'Ь,аь9=0, / (а'Ь +аоЬ,)йт1= 2нр Р и (6. 101) СО ~ а'Ь Ь) = О. Введем еше обозначение для постоянной й у ос аьо о 2нр~' н (6.102) величина Уо имеет смысл Радиального импУльса на бесконечном удалении от источника струи СО !Яи 2ерх ~ из сру. Н-НСО А Н Сот Л Г Лнннннснна которую надо проинтегрировать а'=а'=О, Ь,' = Ь' = 0 при тс = О, (6.100) Ь,=Ь =О при 210 тРехмеРные ОсесимметРкчные пОГРАничные слОи (Гл.
ш Из первого интегрального условия системы (6.101) следует, что Ь,~О. а'а+аоа+а' =О, 1 Ь +аЬЕ+а'Ь,=О (6.103) при нулевых граничных условиях (6.100), ио при следуюших двух интегральных условияд, делаюших задачу не тривиальной, ОЗ СО и' Ич= ', /и'Ь с(т!= ' . (6.104) 2лр 1' Р ' 2лр У т Решение системы (6.103) не составляет труда. Интегрируя один раз первое уравнение, найдем оа+аа'= С, или, в силу граничных условий (6.100), аа+аа'=О. Повторное интегрироваиие дает 1— а'+ л от=С. Замечая.
что а=О при а1=0 и что (а') =(хи) . 0; поло. ! жим Са = (а') = — а~; тогла предыдущее уравнение примет вид а' = — (аа — аа) 2 (6. 106) и будет иметь интеграл а = а гп ( — ат)) . (6.106) Для определения постоянной интегрирования а применим первое из интегральных условий (6.104). Получим 1 — аа СО а' = ', аз / — = ', (6.107) спааач СЛ"' лр я 12 — СО откуда найдем (6.108) Довольствуясь первыми членами разложений а и тв, придем к необходимости решить однородную систему уравнений 211 $441 вадилльнп-щвлзвля злквтченнля стеки Обращаясь ко второму уравнению системы (6.103), непосредственным интегрировзнием получим Ьз+аЬз=Сз.
Но в силу граничных условий а=О и Ьз=О при т)=0; следовательно, Со=О. Повторное интегрирование дает ь,-с,.*р( — Г ьр). о Вычисляя интеграл. согласно (6.106) получим С ь с1ь'( — аЧ) Постоянную интегрирования С„определим из второго интегрального условия (6.104). Вычисления. аналогичные предыдущим, дают бо 2 г 16к~ р нгуо так что окончательно получим 1 1 9 Ао 1 2У 161'1 ' г1 )ь РРУо с 111 ~ — айь) (6.109) В рассматриваемом приближении поле скоростей радиально.щелевой ламинарной струи будет определяться системой равенств ао 1 св (~ ч) а 1' ь аЧ вЂ” ЗЬ (аЧ) 1 оГ9 2 16яо р~ хо р рьеоо (6.110) с$11 ( — ач) Г ло Радиальная и и азимутальная тв скорости достигают своих максимальных значений в плоскости симметрии струи.
причем первая убывает с удалением от источника обратно пропорционально расстоянию, а вторая — обратно пропорционально квадрату расстояния. 212 ТРЕХМЕРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ [ГЛ. Ч! Секундный расход жидкости сквозь полное сечение струн определяется по формуле Я= 2ях ( ис(у =2ях у' т ~ а'аьл= = 2г [/ Рх [а(со) — а( — со)[ =х7 48к~~Яо. Рассмотренное решение соответствует нулевому расходу жидкости из источника.
Пользуясь следующими приближениями, можно было бы получить радизльно-щелевую струю с заданным конечным расходом из шелн. При 1Р=О, юемО получим решение частной задачи о незакрученной радиальио-щелевой струе. В этом случае интегральное условие (6.92) сводится к условию сохранения радиального импульса lе. ф 46, Гидродииамическая модель вихревой форсуики Как показал Тэйлор '), принципиальная схема движения жидкости в вихревой форсунке заключается в образовании вторичных течений в пограничном слое внутри конуса, по оси которого расположена Рис.
48. вихревая нить, создающая вне пограничного слоя враШательное дви- жение с заданной циркуляцией. Представим себе внутренность конуса с углом раствора 2Х (рис. 48), по оси которого расположен вихрь с циркуляцией Г, так что ази- мутальная скорость вне пограничного слоя будет равна Г Ю' = —, 2иг ' (6.111) ') Та у!от О. )„С)иагг. Зонги. О1 МесЬ.аид Арр[. Майи 8 (1950), 129 — 139. 9 45! гидводинамичвскля модиль вихгввой вогсхнки 213 а продольная и нормальная к поверхности составляющие скорости отсутствуют: (У= О, $'=О.
Давление вне, а следовательно, и внутри слоя будет определяться равенством РЧ7~ Рра ВГа р = сонэ! — — = сопз( — ,, = сопя! — . . . , (6.112) ша 1 др ч даи + — —,1 Р р д)г+Яа даа' ди и ди сс — + —— д!9 )г дз ды и дж и — + —— дР Р дВ ди 2и — + — + дд' ~ои ч даги + Л 1~Р дВа ! д — — О. й дз Первое из этих уравнений благодаря наличию (6.112) может быть переписзно еще так: ди и ди Га и жэ и даи ,9 Р' д0' ' (6.! 14) дХ~ + )г д0 + 4и%а Мяа 0 С целью дальнейшего применения метода Кармана — Польгаузена установим граничные условия, характеризующие выбор приближенных семейств профилей скоростей и и тв в сечениях слоя.
На поверхности конуса (0 = а) эти условия будут иметь вид даи 1'а даю и=О, то=О, —,=,, —,=О при В=а, (6115) 4я~ч)г а!и'а ' причем поясним, что последние два условия вытекают из уравне* ний (6.114) и второго уравнения системы (6.113). Пусть граница пограничного слоя для распределения скоростей и будет отлична от соответствующей границы для распределения ш. ') С о о К е !. С., !оцгя. Аегоп. Яс!. !9, ай 9 (1952), 486 — 499. т. е.
будет возрастать от вершины конуса в сторону его раскрытия. Наличие такого перепада давления, тем более значительного, чем больше циркуляция Г, вызовет внутри пограничного слоя, где азимутальные скорости резко уменьшаются при приближении к поверхности конуса, спиралевидное вторичное течение, направленное к вершине конуса, Если в вершине конуса сделать отверстие, то этот поток и будет тем потоком, который осуществляет выбрасывание и распыление топлива в вихревой форсунке. Используя сферические координаты, составим приближенные уравнения пограничного слоя внутри конуса в форме ') 214 теехмееные осесимметеичные погелничные слои (гл. чт Толщину пограничного слоя для продольной компоненты обозначим через 6, а для азимутальной компоненты — через Ь.
Тогда будем иметь следующие условия на внешних границах пограничных слоев: и=О, — =О ди да при 6 = а — 6/)с. (6. 116) дм Ь при 6 =а — —. й ' Профили скоростей в сечениях погрзничного слоя, удовлетворяющие условиям (6.116) и (6.116), зададим в приближенной полиномиальной форме ггаа гга 16лааР з!па а 1( 1) 4лааКз Мпю а 2л/~апа ~12 2 б / 2л11 зева а где приняты обозначения для безрззмерных аргументов Л т1 = — (а — 6). т) = — (а — 6).
ь ' а (6.118) Введем вместо 6 и Ь две новые неизвестные функции а (6.119) а вместо аргумента )с — безразмерную величину (,= аУ1„ где под Е подразумевается длина образующей конуса. Будем предполагать, что Ь < 6. т. е. К < 1, и что величина К в интервале 1 ~ я ) К равна единице. Тогда, интегрируя уравнения (6.114) и второе уравнение системы (6.113) поперек слоя по и от а1=0 до а)=1, получим следующие аналоги уравнений импульсов (штрих — производная по ч): "Л' Ла I с~~'1 ! ьа (2а — д)+ —,,(26 — 4а)+с= — ~ — „ —,, (',— +-, +й — —, —, )+ —,. ( — — + +й) — (6.12О) К' ЛюЕ 1 'К ~ив~; ю 9 45) гидтолинамнчзскля модель вихтевой еотстнки 215 Б этих уравнениях приняты сокращенные обозначения а = 1/1680, 5 = 1/3360, с = 18К/35, ! г 1 1 з 1 з 9 с! = — а = 1/48 А = — — ~ — Кз+ Кз К4) 4 ! 12 1О 6 140 !г! 1 1 , 3 Кз ( Кз Кд 4 !12 1О 12 140 )' 1/1Кз 1Кз( 3 Кч) 4!5 4 35 причем, согласно (6.117), ) / 8 ( 0 ) Уравнения (6.!20) могут быть упрощены, если ввести еще дополнительное преобразование, положив Лз/ья = ./.
Тогда система (6.120) сведется окончательно к такой: Р = (а — рК)/С; а = 336, р = 691,2; — 10080 — А (47-1- 37'С) . 120" /В А (9Ка 35К+ 42) Кз В (12Кз 35К+28) Ке (6. 121) причем начальные значения У и К при С= 1 равны Уо = 0 Ко = О 87933 Ко = — О 06824 как это показывает обычное для теории Кармана — Польгаузена исследование поведения интегральных кривых вблизи особой точки. Уравнения (6.121) были решены численным методом Куком в цитированной ранее его работе. Результаты приведены в таблице 17. Кроме выше введенных функций l и К, в таблицу включены: характеризующая толщину пограничного слоя 8 величина 3п равная 3, = [Г/(2п1Р з1п я)] Ь 8, и угол )( между силой трения на поверхности конуса и его образующей. Анализ полученного решения раскрывает ряд интересных как с физической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
