Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 38
Текст из файла (страница 38)
е. принимающими вдоль нормали МэМ к поверхности в данной точке Мз одни и те же значения. причем область изменения у ограничена интервалом М*М (О ( 8'(х, я) ( у: 5 (х, г)К Фиктивный поток, у которого скорости в этом интервале больше, чем у действительного, а секундный объемный расход, в силу совпадения трубок тока вдалеке от тела, должен быть тем же самым, что и у действительного, не может, естественно, заполнить все сечение слоя и не доходит до поверхности тела на расстояние 234 некотогые зазлчи теогии тгехмегиого поггаиичного слоя (гл. ьчг МеМ =В (х, з). Определим эту величину. для этого воспользуемся тем очевидным фактом. что секундные объемные расходы рассматриваемых потоков сквозь верхнее основание ММ,М'Ма, расположенное на границе пограничного слоя, где оба потокз совпадают, одинаковы н могут быть определены как разности расходов сквозь задние и передние площади боковых граней призмы, ограниченные поверхностями у=9 и у=В(х, г) для действительного потока и у=а*(х, г) и у=В(х, з) для фиктивного потока.
Таким образом, будем иметь = У( — В') Фг — ~ У( — В') г1з+ — (У( — - В') гул! ~7х ~+ +(р( — В')7л — )(®'( — В') ! + д, (В'( — В*) (х! а~, или, после очевидных сокращений, а т ~а — ь~и — 7 ~~~-~- —, е — г~т — 7 о)=0.
пю~ дх ~ ,у ~ ду о о Введем в рассмотрение следующие две вспоиогательные «толщины вытесненняз: а ь В„= / (! — — „) Ху, В = ~ (1 — — )г!у. (7,38) Тогда предыдущее равенство может быть переписано в окончатель- ной форме так: —, [и(В' — В.')1+ д, ((В'(В* В,')1 = О (7.39) Как видно, в отличие от плоского случая движения, искомая толщина вытеснения В'(х, а) не получается в конечной форме, а должна определяться путем интегрирования уравнения в частных производных (7,39), в котором (7 и )Р— заданные наперед функ- Ф ции х и г, а ь».
В, вычисляются по формулам (7.38) после того, как расчет пограничного слоя произведен и поле скоростей стало известным. $49) вглщающийся цилиндв в косо нлзяглющзм потока 235 Уравнение (7.39) было впервые выведено ф. Муром '). В частном случае плоского пограничного слоя (а= 0) уравнение (7.39) непосредственно интегрируется и дает 6 =5„, т. е, приводит к обычному определению «толщины вытеснения». Приведенное рассуждение могло бы быть распространено и на более общий случай, когда нельзя уже пренебрегать кривизной координатных линий на поверхности тела. Такого рода необходимость может возникнуть при рассмотрении пограничных счоев на очень длинных осесимметрнчных телах при наличии косого их обтекания или, более общо, на длинных не осесимметричных телах. В наиболее общем виде этот вопрос был рассмотрен в статье Садни з).
В 49. Вращающийся цилиндр в косо набегающем потоке Отмеченное в предыдущем параграфе обратное влияние пограничного слоя на внешний потенциальный поток проиллюстрируем расчетом силы Магнуса з), приложенной к вращающемуся вокруг своей оси артиллерийскому снаряду в косо набегающем на него Свчвввв лойола в бг,виа и'"юР еаза вача Рис. 56. однородном потоке. Приводимый далее расчет представляет хороший пример прзктического применения теории пространственного пограничного слоя. Примем следующие, упрощзющие расчет допущения.
Считая снаряд достаточно длинным, пренебрежем влиянием оживальности носа и представим себе поверхность снаряда как полый сквозной цилиндр, учтя тормозящее влияние носз соответствующей длиной начального участка цилиндра "). Обозначим (рис.
56) радиус цилиндра ') Мооге Р. К., НАСА йер. 1124, 1953, к) ЯедвеУ Й., Якагг. АРР1. Ма1Ь. 15, И 2 (1957). к) Маг11п Д С., )овгз. Аегоп, 3с1. 24, И 6, (1957), 421 — 429. к) Пространственный пограничный слой на вращающемся вокруг своей осн сквозном цилиндре при продольном его обтекании был рассмотрен Хоуартом (Н о ж а г1 Ь Е., РЬй.
Мзп. 42 (1951), 1308 — 1345). 236 некотОРые ЕАдАчи теОРии тРехмернОГо ПОГРАничноГО слоя [Гл. чц 1 др дчи — — — +ч —, р дх дуч ' ди и— дх +и — +и ди ду дге +и — +та ду ди ди — + — + дх ду дх 1 др дчя р дх дуч ' О. дю и— дх (7.40) С целью определения производных др/дх и др/дг составим прежде всего выражения для скоростей (/ и !к' на внешней границе пограничного слоя. В принятом приближении будем иметь (рис. 56) (/ = (/.
соз а =' (/ (! — — а~), 2 2 ' (741) )к' = 2(/ яп а з!п (г/а) =' 2(/ а яп (г/а), где !/ сова и !/ з!и а соответствуют продольной н поперечной составляющим скорости на бесконечности (/ . Применяя теорему Бернулли, найдем р = сопз! — — р(1/2+ (к'2) = 1 2 ! 2У 1 1 = сопя! — — р(/ ! ! 1 — — ат) + 4ат а!Нт(а/а)~, откуда следует д — — О, — = — 4р(а /а) 1/ яп (а/а) соя(а/а). др др через а, окружную скорость его вращения через с = еча, где еч— угловая скорость вращения снаряда вокруг его оси.
Скорость набегающего потока равна (/ и образует с осью снаряда угол атаки (или скольжения) а, который примем за малую величину первого порядка. Столь же малой величиной будем считать отношение с иа — = — окружной скорости снаряда к скорости набегающего пои =(/ тока, так что величины ат, (с/(/ )2, ас/(/ будут в дальнейшем рассматриваться как имеющие одинзковый, второй порядок малости. Оси координат выберем, как обычно, направив ось х вдоль образующей цилиндра, ось у — по нормали к его поверхности, а ось г — по окружности в сечении поверхности цилиндра перпендикулярной к его оси плоскостью. При составлении уравнений пограничного слоя пренебрежем кривизной координатной линии т.
е, будем считать 6 (( а. Уравнения движения в пограничном слое будем составлять в неподвижной системе координат х, у, г, учитывая вращение цилиндрз в граничном условии для трансверсальной скорости пч на его поверхности. Эти уравнения будут иметь вид $49! вглшлюшийся пилиндв в косо назеглюшем потоке 237 прн граничных условиях, составленных с той же точностью, и/(/ = О, о/(/ = — 0 тв/(/ = с/У = ооа/(I при у = О, и/!/ =- 1 — — а, тл/У = 2и з!п(г/а) при у= со.
1 . (7.43) Будем искать решение в виде суммы решений и/У =и, +и, +и,, /(/„=о, +, +о,, /(/„=ш, +.,+,, (7.44) где совокупность компонент (ие, ое) соответствует приближению нулевого порядка, которое основано на пренебрежении вращением цилиндра и влиянием угла атаки (оо = О, и = О). Компоненты (ип он по,) и (и,, о,, он,) определяют собой члены первого и второго порядка относительно а илн с/У Подставляя разложения (7.44) в систему (7.42), получим: !) уравнения и граничные условия для нулевого приближения: дио дио д'ио и, +по =(о/и )— дх ду ' дуо дио дио — + — =0; дх ду и =не — — 0 при у=О, и =1 при у=оо; (7.45) 2) то же для первого приближения; ди, дио ди, дио о дои, и — +и,— +па — +о — '= — — ', едх дх оду оду !У ду' доз, дио, о дооо, и — + дх е ду У ду' ди, ди, дои, — + — + — =0; дх ду дг и,=о,=О, ы,=с/У прн у=О, и,=О, по! — — 2исйп(г/а) при у=оо; (7.46) таким образом, задача сводится к интегрированию системы уравнений ди ди доз д'и и — +о — +тв — =о— дх ду дг дуо ' и — +о д +тв — =(4/а)а У з!п(г/а)сов(г/а)+» —,, (7А2) доо доз доз з а дом ди де дм — + — + — =0 дх ду дг 238 некотогые задачи теооии ттехмешюго погвлничного слоя 1гл.
ш "о /о(2))' 21 У г (7.48 пРичем фУнкциЯ /о(21) тождественна с 2~(4) в $4; величины этот функции и первых ее двух производных приведены в таблице 1. Обращаясь к уравнениям и граничным условиям (7.46) первогь приближения и сравнивая второе уравнение этой системы с первыь уравнением системы (7.45), заключим, что решение для твь имеет внл , = А( )+В( ) /о(4) (7.49 где функции А(л) н В(г) должны быть определены из граничны: условий, входящих в (7.46). Найдем ги, = — с/(/ + ~2и а(п (л/а) — с/(/ ]~о(т)). Компоненты и, н о, будем искать в форме л, = 2и(х/а) /2(и) соя(х/а), (7.
51 о, = (и/а) У х/О д'о(4) соя(е/а). Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных ураь пений Я вЂ” 2/,") /, — 1,У, '+И,1, "= 2,/;, Ко = 4./2 — 2,/, — 2,/о' (7.52 с граничными условиями ,/, = Ко = 0 при ь) = О, /,=0 при 2)=со. (7.50 (7.53 3) то же для второго приближения: ди, ди, ди, ди, ди, и — +и,— + — + — +,— + о дх дх дх ду ду дио ди, ч дьиь +о и + 2 иу 2 дх 6' дуь доиь дгс, д2вь дв, диь и — ' +и — '+о ' +о — +тв2 — —— "дх 'дх ооу ду,дх = 4 (аа/а) а1п (г/а) сов(г/а)+ — — ', дььоь (7.47 (7, ду' ди, до, дги, — + — + — =О, дх ду дс и2 = ~2 = 2в2 = 0 при у=О, 2 иа — — — аа.
тва = 0 при у = оо. 2 Уравнения нулевого приближения (7.45) ничем не отличаются о-. уравнений задачи Блазиуса для пластинки (9 4). Решения этих ураь пений представим в форме (штрих — производная по 21) й 49[ вялшаюшийся цилинде в косо нлвегаюшем потока 252 Аналогично уравнения (7.47) для определения второго приближения дают твг = а (с/У ) (х/а) Ио(Ч) сов(г/а)+ + аз(х/а) И, (т[) а1п (г/а) соз(г/а), (7.54') пРичем фУнкции Ио(л) и И,(т[) УдовлетвоРЯют следУюшнм УРавненнЯм и граничным условиям: /О"о 2 Го"о+ Ч./170 И'0~0+ ( /о) /о Ио' УоИ1 2 /оИ +(2Ко 2'[/1) Уо+(2/о) — 4 = И,, И =И,=О при о=О, Из=И,=О при л=сю.
(7.54") из = а(с/(/ )(х/а) / (т[) з[п (г/а)+ + (ах/а)' [,/з (т))+ /, (т[) соз (2г/а)! — (а'/2) г' (т)), оз — — К Ч(И х) [(зх/а) (с/(/ ) л',(т[) з[п (г/а)+ + (озх/а') [гз (т))+ дз(т[) сов (2г/а)[)— — (аз/4)'ЪЯЯ х) [47",. (~)) — / (и)[, (7.55) причем вновь введенные неизвестные функции удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений 2/з — 2 ./з+ 5'[ ,— Ио = О, 2/о/з 2 /о/а+5'ь/о — 27', + 2/ь/о — 2 '~Яо = Уз 2./з 2 тг/з+ из — О 2Ыо 2 Уогз+ 2/[ — Ч/Д'+ Ко/~— ! 2 т[Уз~о+ /оьз 2Ы1 /з' 2 /, — 2 тг/о+ Кз+ И, = О. 2/о/, — 2 Уело+. 2/[ — т[уь/1 2 т(/,Уо + -[-КА+ 1оКз-4-2[;[,= 1,. Уоу;+ УзУо" = — 2Узо Наконец, компоненты скорости во втором приближении, из и тгз, определятся как 540 некотогые злахчи теогии тгахмзгного погелничного слоя (гл.
чп с граничными условиями Ю~ ~з Кз /4 Кз ~з '/з О при ~ О (7.57) / =-/ =,/ =О, /з — — 1 при т,=со. 1) Прсдись иьге сесрссти Гх~а =20д — сг=-д, — — - гг-1,'с/0 =0, ----ге=ге 0 =41 6 6 6 Па=а/2 '1, е/а а,г:/а46а/2л 2 рс 2 г 1 1 0 02 06 70 02 06 10 02 06 10 и/0 и/'0 иг)У 2/ 1рснсесрсальние срсрссти /а/а =20) — а-4 с/0 -45 — — -а=1 с/0 -дг ----а=1 и/0 -41 4' ~ 6 6 6 Х р е/а-а 2 4 ч е/а=а 4 Рд Рд ' Рд 2 1 002 006410 402 404 02/ -,04 0 404 400 41 а/0 и10 /0 6 6 е/а=0 РЗ г ,1 02 06 10 и/0 6 6 ~, г/а=д lд ~~ 2 '-. -002 402 006 461 0 ы/0' Рис. 57, отчете Мартина ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
