Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Особого типа трудности возникают при рассмотрении пограничных слоев в раареженных газах. Известно, что если при сравнительно небольших разрежениях газ может еще рассматриваться как непрерывная среда и отличие его от неразреженных гззов заключается лишь в том. что в этих условиях газ перестзет быть «ньютоновской» жидкостью, т. е. лвижение его не описывается уравнениями Навье— Стокса и обычными граничными условиями прилипання к твердой границе (явление «скольжения»), то при значительных разрежениях, в условиях, когда длина свободного пробега молекул становится сравнимой или даже превосходящей размеры обтекаемого тела, уже нельзя пользоваться методами механики сплошных сред и на смену им приходят статистические методы кинетической теории газов.
256 погглничный слой пви вольших скогостях [гл. шн Появление этих новых, трудных для теоретического анализа вопросов, естественно возникших в эпоху ракетных самолетов и космонавтики, не привело к «кризису» аэродинамики. Новые вопросы оказались тесно связанными с классическими вопросами газовой динамики и методы решения этих вопросов остались прежними, «макроскопическими» методами механики сплошных сред, уравнения движения вязкого (реального) газа частично сохраняются теми же, что и лля обычного, однородного газа, но содержат также и дополнительные члены, выражающие особенности новых процессов. Повысилась, естественно, роль физики и химии и, в частности, современной кинетической теории материи и электродинамики.
Закономерность процесса продолжающегося сближения механики жидкостей и газов с физикой н химией оправдывается сложностью тех физико-химических явлений, которые развиваются в газах при очень больших скоростях их движения. Не потеряли до сих пор своего значения и «классические» вопросы теории пограничного слоя. Многочисленные исследования показывают, что для большинства встречающихся на практике движений тел сохраняет свое значение классическая постановка задачи о пограничном слое в недиссоциироваипом и неионизированном газе.
Во всяком случае тепловые расчеты дают в этих условиях вполне удовлетворительные результаты '). ф 64. Основные уравнения движения вязкого совершенного газа При выводе уравнений движения вязкого совершенного газа примем следующие обычные допущения з): !) давление р, плотность р и абсолютная температура Т газа связаны уравнением Клапейрона р И†! — = Г«Т= И, р (8.!) где И = Ус Т з) — энтальпия (тепловая функция) газа, И = с,/с„ — отношение коэффициентов теплоемкостей газа при постоянном давлении с и постоянном объеме с,, з — механический эквивалент тепла, ') Подтверждение этого факта было дано в систематическом обзоре, составившем предмет доклада А. Ферри (США) на Х Международном конгрессе по прикладной механике з Стрезе (Италия) 31 августа — 7 сентября 1960 г.
а) См., например, Лойцянскнй Л. Г., Механика жидкости н газа, Гостехиздат, 1957, гл. Х. т ') В общем случае Ь =у ~ ср(Т)«Т, откуда при условии с =сои»1 о следует равенство И усрТ. 54) основныз твлвнзния движения вязкого совзгшзнного глзл 257 с — газовая постоянная, связанная с предыдушиии величинами протым соотношением 77 = У(с — с,). акого рода газы называют совершенныжи. Часто употребляемый ермин «идеальный газ» лучше сохранить дчя обозначения газа, .ишенного внутреннего трения — вязкости; 2) газ представляет «ньютоновскую» жидкость, т.
е. удовлетворяет обобщенному закону Ньютона о линейном характере связи .ежду тензорзми напряжений Р и скоростей деформаций 8. Принимая :ля второго коэффициента вязкости ц' условие р'= — а/зр, получим Р = 21ь3 — ~р+ — р б(ч 4 ~Е. 2 3 .'ли в матричной форме (8.2) Рку' Ру«' Ре» р, р,, р, =28 Рк»' Ру«' Ргу 1, О, 0 (~ 3! ) 0,0,1 (8.3) 3) динамический коэффициент вязкости и является функцией .олько абсолютной температуры Т. В дальнейшем используются раз:ичные законы этой зависимости. Прежде всего отметим выводимую , кинетической теории газов формулу Саттерлэнда (Т„) т+т, ' (8.4) «7», = (77Т,)", (8.5) де п = 1/т для сравнительно высоких температур и и = 1 для юлее низких.
По Карману в среднем п = 0,76. Иногда считают п=а7э при 90'( Т< 300'К, п=а/4 при 250' ( Т<. 600'К. 17 за« азг. л г лоаияуекуа -де Тз — постоянная Саттерлэнда, имеющая для воздуха значение. близкое к 102' С, а Те и рв — абсолютная температура и коэффициент вяакости, соответствующие некоторому начальному состоянию -аза. Широко применяется также степенная формула 268 пОГРлннчный слОЙ пРи БОльших скОРОстях [гл. чп (8.7 Закон сохранения импульса при отсутствии объемных (массовых сил дает основные динамические уравнения движения газа ди Р д! (8.10 д г дтз1 2 д + 2 — ~р — / — — — (рд!ч У), дг '1' дг) 3 дл ') Сааршзп 1). Й., ЙиЬез!и М. Ъ'., )Онгп.
Аегоп. Вс!. 16, )Чт ". (!949), 547 — 565; русск. Пер. см. сб, «Механика», ИЛ, 1950, в. 4, стр. 50. ') См. наш ранее цитированный курс *Механика жидкости и газа Гостехиздат, 1957, гл. Х. Чепмен и Рубезин') предложили для пользования в теории погр пичного слоя простой линейный закон связи р н Т". — =С вЂ” =С— (8.6 т„! с постоянной С. равной (Т вЂ” температура на стенке, Т вЂ” темпратура иа внешней границе слоя) С= Т Т+7 4) коэффициенты теплоемкости ср и с,, а следовательно, и и: отношение й не зависят от абсолютной температуры газа и являютс! физическими константами газа; 5) коэффициент теплопроводности газа Х пропорционален динь мическому коэффициенту вязкости, так что число Прандтл, Рг= рср/Х, в дальнейшем для простоты письма обозначаемое через с рассматривается кек физическая постоянная газа )ЬСР/К О = СОПЯ!.
(8.8 Пользуясь принятыми допущениями и основными законами динь мики и термодинамики, можно вывести систему основных уравнени! движения жидкости. Не будем этого делать, а лишь напомним к главные этапы вывода. Закон сохранения массы приводит к уравнению неразрывност!. (! — время, У в вектор скорости) д, +61ч(рУ)=0 др (8.9 9 55! двв основныв эотмы ввавнений поги*пичного слоя з газе 259 из общего закона сохранения энергии совершенного уравнение баланса энергии в одной из следующих Наконец. газа следует двух форм: р — = — -1- 2р52 — — р (б!ч У)2+ ./рЧ лЛ Лр ° 2 я'г лг 3 (8.11) или р (Л+ 2 ) лг +с)!ч(2р У5 — 3 р Уйч У)+3РЧ (8.12) Величину уз "+ = "о 2 о (8.1 3) будем в дальнейшем называть «полной энтальпией» газа; входящая в правые части уравнений (8.11) и (8.12) величина д представляет отнесенное к единице массы секундное количество тепла, подводи- мого к данной точке потока. Если подвод тепла происходит при помощи теплопроводности, то при принятых допущениях будем иметь ярд = б!ч ! — огай Л! = — д!ч (в 8таг! Л).
гЛ т 1 (8.14) 1ср ) а Случай притока тепла путем излучения будет в дальнейшем рассмотрен особо. Индивидуальные производные, входящие в левые части уравнений (8.10). (8.11), (8.12), могут быть обычным путем разложены е д на локальную и конвективную части по формуле — = — + У 7. л'г дг Не будем выписывать в координатной форме таким образом преобразованные уравнения (8.!1) и (8.12), в которых еще надо заменить последний член, выражающий приток тепла, его представлением по (8.14). Приведенная в настоящем параграфе система уравнений является замкнутой н может служить для определения неизвестных величин: компонент скорости и, о. тв, давления р, плотности р и температуры Т газа. Для получения конкретного решения должны быть заданы известные из общего курса аэродинамики граничные. а в случае нестационарного движения и начальные условия. $ 65.
Две основные формы уравнений пограничного слоя в газе Вывод уравнений ламинарного движения газа з пограничном слое при больших скоростях содержит по сравнению с выводом, приведенным в главе 1, некоторые существенные особенности. Остановимся, чтобы подчеркнуть основную идею вывода, на нзиболее простом случзе стационарного плоского пограничного слоя при отсутствии 250 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ [Гл. Ун объемных снл. Обобщение выведенных уравнений на другие случаь не составит труда.
Как и в главе 1, будем считать, что толщина слоя мала по срав нению с кривизной поверхности теда, так что вблизи поверхность криволинейные координаты, отсчитываемые вдоль и поперек слоь можно рассматривать как обычные ортогональные декартовы коо1 динаты. В этих предположениях система уравнений Навье — Стоке: при пользовании уравнением баланса тепла (8.12) может быть пое ° ставлена в форме дх+ ду) дх+3 дх(! дх) 3 дх(! ду)+ — + — =О, д (ри) д (ро) дх ду дх( 2+ 2)+Р д ( + 2+ 2) д Г д (Л 4 иа оа! ди 2 до1 — — ! — ( — + — — -+ — )+ !Ао — — — ри — ~— дх( дх(а 3 2 2) ду 3 ду1 д Г д ул и' 4 оа'1, до 2 ди! — — ~р — ( — + — + — — )+ри — — — ро — ~=0, ду! ду(а 2 +3 2/ дх 3 дхз (8.15 Приведем систему (8.15) к безрзамерному виду, причем, имер в виду уже отмеченное в главе ! основное свойство пограничног~ слоя — малость поперечных размеров и скоростей по сравнении с продольными, выберем различные постоянные по величине ма'- штабы: Х и (à — для продольных размеров и скоростей, )' г 'о' — для поперечных.
Положим для определенности Х равным харак терному продольному размеру тела Л (например, хорде крыла, а (У вЂ” скорости (У набегающего на тело потока. Масштабы )' и ! пока оставим произвольными. В качестве масштабов плотности, вязкости н теплопроводностр нспольауем их значения в какой-нибудь фиксированной точке поток. для определенности в набегающем потоке (т. е. р , р , А ). Остаетс. еще выбрать масштабы для давления н температуры (или энтальпни'. В этом направлении имеет место некоторый произвол. В первы: двух (динамических) уравнениях системы (8.!5) сохраним для давле- ф 55) две Основные ФОРмы РРАвнений пОГРАничнОго слоя в газе 261 ния тот же масштаб — удвоенный скоростной напор р У' .
что н в случае несжимаемой жидкости. Масштаб абсолютных давлений р связзн с предыдущим масштабои очевидным соотношением р 1 а 1 (8. 16) Р„й„а Уз ЛМ' Примем за масштаб знтальпии или температуры их значения )) ыли Т в набегающем потоке. С точки зрения размерности с той же целью можно было использовать, соответственно, величины У~ У„' ыли —. Отношение зтнх различных по природе, но одинаковых Уср ао размерности масштабов, так же как и в случае давления, выражается через основные определяющие движение газа величины и ы М по формуле (8.17) ~У (» 1) м~ Обозначая штрихом безразмерные вначения входящих в уравнения величин, т. е. х' = х/1., у' = у/)', и' = и/У, о' = и/1', р' — — р/р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
