Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 43
Текст из файла (страница 43)
р =р//р У„), и =и/И„. р'=р/р, после простых приведений получим следующую безразмерную форму уравнений Навье — Стокса: , ди' Ю , ди' др' 4 ч д / ди' 1 д /, де'1 + У б У 1' ду' 1~ дх'!' 2 ч У 1. д / ди'1 3 У' б ~/Г ду' 1 дх'/' д (р'и') )Г1. д 1Р'е') дх' У )' ду' 262 пОГРАничный слой пРН вольших скОРОстях [Гл. щп р'и' — Ь'+ — — + — — + (Г!.~ Рд' Л З 2 (ГЯ У д ди' 2 ч (Г д дв' ~ГС' д' д' Л 2 3 УЯ 2 ч „У д дв' 2 ч У д ди' распорядимся пока еще произвольными поперечными масштабами У и У, так же как и в случае несжимаемой жидкости (глава !), положив (8.18) У б вводя рейнольдсово число Ке = — , булем иметь равенства ч ?'=г./У Ке~, У= У /Р'Ке (8.19) Эти равенства выражают важный факт, что в пограничном слое в сжимаемой жилкости.
так же как в несжимаемой, поперечный размер слоя и поперечная скорость убывают с ростом рейнольдсова числа по закону (8,19). Пользуясь соотношениями (8.18) или (8.19), а также (8.16) и (8.17). получим безразмерные уравнения движения газа в следующем, ,содержащем явно рейнольдсово число Ке, число Маха М,, число 85) лВе ОснОВные ФОРмы уРАВнений НОГРАничноГО слОя В ГАзе 263 Прандгля а и показатель адиабаты л, виде: ди' , , ди' дР' д (' , ди' д (р'и') д (р'е') дх' ду' дх' [ ~( 2 + Ке 2 Г') + д ду' ( 2 Кеддд 2 +(й 1)М2 (и 1 4 о' )~ ~ ддд*'[дд'(3 2дд2 (8.
20) лм2 Предполагая, что при больших значениях Ке решения этой системы уравнений можно искать в виде разложений по степеням малого параметра 1/~УКЕ, удовольствуемся нулевым приближением, которое легко составить, полагая просто в (8,20) Ке =со при конечности остальных величин. Это нулевое приближение и представляет то, что мы называем уравнениями пограничного слон.
Заметим прежде всего, что при таком предельном переходе второе уравнение системы (8.20) приводится к условию др'/ду' = О, выражзюшему известный уже из теории пограничного слоя в несжимземой жидкости факт постоянства давления в данном сечении слоя. Это позволяет. опустив второе уравнение системы (8.20), заменить в первом уравнении др'(дх' иа йрд1йх'.
Совершая в системе (8.20) укззанный предельный переход, получим первую основную форму уравнений плоского стационарного 284 ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЯ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСтяХ (ГЛ. ин погрзничного слоя в гаве в безразмерном ниде: р" — к+р о — = — — ~+ — ~!А ) дх' ду' дх' ду' ( ду' ) ' д (р'и') д (р'о') (! дх' ду' р' =.( (й'). Г 1 ам2 (8.2 ! Возвращаясь к размерным величинам и используя обозначение гь для полной энтальпии (8.13), получим первую основную форм1 уравнений пограничного слоя в обычном, размерном виде: ди ди др д ( ди! ри — + ро — = — — + — ! !А — ), дх ду дх ду А ду)' — + — =о, д(ри) д(ри) дх ду р= ~ „' рй, р)р„= г (д)((„1 (8 22 р'и', +р'о' —, +((з — 1) М и'1р'и' —,+ р'о',) = , д(г',, дл' дх' ду' дх' ду') —, (и' —,)+(Л вЂ” 1)М„и —,(!А' —,)+((Г 1) Мз р ( 1 д!,дл! е ду' (,' ду' ) используем первое уравнение той же системы; это упростит полу ченное только что равенство и позволит установить слелуюшуз вторую основную форму уравнений плоского стзнионзрногс Для дальнейшего представит интерес еще вторая форма ура~ пений пограничного слоя, отлнчаюшзяся от первой видом уравнени: баланса тепла.
Эту вторую форму можно получить, обращаясь к ураз нению баланса (8.11). Проще, однако, чтобы не повторять кропот ливые вычисления, обратиться к первой форме уравнений погр~ пичного слоя в безразмерном виде (8.21). Переписав третье уравнени= этой системы в виде иви оснояныя еогмы граяняний погелничиого слоя в газа 2бб пограничного слоя в безразмерном виде: д (р и ) д (р и ) дх' ду' ,, да',, дЛ' р'и' —,+ р'о' —, = дх' ду' (8.23) )) Л(~ ~„, дд' +~,(д и а1+ ) д (, дй Р = —, р'Л'. р'= У(Л'). ЛМе ди ди др д ! ди т ра — + р — = — — + — ~у — ), дх ду дх ду ( ду)' д(ри) д(ри) дх ду дЛ дЛ др ! ди 1г 1 д ! дл 1 ри — +Ро =" +р~ ) + (р ) ° дх ду дх ~ду) и ду ( ду)' р= „' рЛ, р)р„=у(Л)И„) (8.24) Третье уравнение в системе (8.24) имеет простой физический смысл: оно выражает в явной форме очевидный факт баланса конзективного изменения энтальпии (левая часть уравнения) с суммой мощности сил давления (первый член справа), тепла, возникшего за счет днссипапии механической энергии (второй член справа).
и тепла, подведенного путем теплопроводности (третий член справа). В некоторых случаях представляется необходимым иметь дело не с энтальпией Л, а непосредственно с абсолютной температурой Т. Первые два уравнения системы (8.24) остаются прежними. а остальные, очевидно, должны быть переписаны так: р= ртрт, р)р =у(у'рт ') Аналогично могли бы быть преобразованы и уравнения (8.22). )(ля простоты рассуждсния нами был рассмотрен выше лишь случай плоского стапнонарного пограничного слоя. Заметим, что в случае пограничного слоя при осесимметричном обтекании телз вращения можно приближенно пользоваться теми же уравнениями, Возвращаясь к обычным, размерным величинам, найдем вторую основную форму уравнений плоского стапионарного пограничного слоя в размерном зиле: 266 пОГРАничныЙ слОЙ пРи Больп!их скОРОстях (Гл.
шп что и в плоском движении, ззиенив лишь второе уравнение (уравнение неразрывности) следующим: д д д„(ргвп)+ дг (Ргоо) = 0 где гз = ге(х) представляет собой радиус поперечного сечения тела вращения. Такая замена достаточна, конечно, лишь в предположении о допустимости пренебрежения толщиной слоя по сравнению с радиусом сечения тела. Как было показано в 6 36, в случае длинных тел такое допущение может привести к неудовлетворительным результатам.
Если плоский пограничный слой нестационарен, то в уравнениях должны быть учтены дополнительные локальные изменения входяди щих в ннх величин: р — в левой части первого (динамического) ураваг пения, — — в левой части второго (уравнения неразрывности), р —— лр дл ' дг сч лр в а~вой части третьего уравнения (8.24) и — — в правой части дг того же уравнения. Кроме того, конечно, как и в случае несжимаемой жидкости, производная г(р/Нх должна быть заменена на др/дх, так кзк в нестационарном движении давление зависит еще от времени г'.
Граничные и начальные условия для уравнений пограничного слоя в случае газа, движущегося с большими скоростями, в своей линамической части остаются теми же, что и в случае несжимаемой жидкости. Это — условия прилипания газа к поверхности твердого тела, задание скорости газа вдалеке от тела. а также начального распределения скоростей в случае нестационарного движения. Новыми являются граничные и начальные условия для температуры (энтальпии) газа, Может быть задано распределение температуры илн тепло- отдачи (производной от температуры по нормали к поверхности) по поверхности тела, в частном случае температура тела, одинаковая по всей поверхности, и температура набегающего потока.
В нестационарном случае задается начальное распределение температуры в потоке. А 66. Области примеиимости уравпеииА пограничного слоя Приведенный в предыдущем параграфе вывод нуждается в некоторых оговорках. Предельный переход Ке -+оо, совершенный в системе (8.20), относился к безразмерным уравнениям, в которых поперечные координата и скорости выражены в частях величин. зависящих в свою очередь от рейнольдсова числа г(е и стремяшихся в пределе к нулю. Понимать зто можно только так, что уравнения пограничного слоя приближенно справедливы при достаточно больших зна- 268 погРаничный слой ПРи БОльших скОРОстях (гл.
чп! уа л Ке„= —, со- Ч„ При больших значениях числа Рейнольдса гласно (8.19). В/1.= Цу'Ке . так что — = 1,256 Р' Ф ° = ь ' )г'йе Отсюда следует, что интересующая нас величина М ДгКе имеет порядок отношения длины свободного пробега молекул газа к толщине пограничного слоя. Таким обрззом, можно прийти к заключению, что уравнения пограничного слоя, выведенные в предыдущем параграфе, справедливы, во-первых, при достаточно больших рейнольдсовых числах и, во-вторых, при условии сравнительной малости длины свободного пробега молекулы по отношению к толщине пограничного слоя.
Последнее условие означает, что газ не должен быть рззреженным. Если движение газа происходит при малых значениях рейнольдсова числа '), то. как уже указывалось, теряется само представление о пограничном слое. Можно сказать, что пограничный слой становится сравнимым по толщине с потоком в целом (В 1,), и тогда, в отличие от только что составленной формулы для отношения 1/8 при больших рейнольдсовых числах, прн малых значениях Ке будет ! ! г Г Ма — ж — = 1,266 у lг —. 3 б ' У йе„ ') 8 статье, помещенной в «АЬЬавП.
авэ деш деготь. 1пз!. Аасйеп», )Ч! 4, !925, Карман заметил, что рейнольдсово число, как это сразу следует нэ тех же кинетических соображений, что н при выводе предыдущих формул, может быть представлено в виде Йе = (У /в) (Ц!). Малость этой величины может иметь место в следующих случаях: 1) б б У, ~( в(броуиовскоедвижение мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе), 2) ь' )) А У, (( в (обычиые условия «медленного» движения тела в вязкой жидкости); 3) ь' ~~~ 0 Уа о (движевие тел в сильно разреженных газах). Пользуясь отношением 1/3 как основным критерием применимости уравнений погранично~о слоя (или, более общо. уравнений Навье— Стокса), можно весьма приближенно наметить области соотношения чисел Рейнольдса Ке и Маха М , при которых при данном Ф, сравнительно мало меняющемся от газа к газу, должны применяться те или другие методы расчета течений вязкого газа.
На заимствованной нами из цитированной статьи Ченя диаграмме, показанной на рис. 60, нанесены в полулогарифмическом масштабе линии связи между М и Ке при трех заданных значениях параметра 1/В: 0,01; 1; !О. Этн линии, конечно, весьма условно и грубо разграничивают области применимости различных методов исследования газовых потоков. д бб) о ласти пгимвнимости гглвнвннй погглничного слоя 269 Правая крайняя область характеризует совокупность значений Ке, и М , для которой справедливы уравнения обычной газовой динамики, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
