Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Май. 42, 326 (1951) (Русск. пер. в сб. «Механика», ИЛ, в. 3, 1952). з) С т р у и и и с к и й В. В., ДАН СССР 114, № 2 (1957). ') я а и у а ! 1, Еепзс!зг. 1. Апяези. Мань ш Месц 37, № 576 (1957). ') Науез чч. О., !чач. Оп). йер. 1313, 1951. ') М а яе г А., НАСА, йер. 1067, 1952. фициенты в уравнениях (7.68), Так, например, Хоуарт').
В. В. Струминский '), Саниальз) использовали в качестве координатных линий линии кривизны поверхности тела. Наиболее, по-видимому, интересную с прикладной стороны систему координат выбрал Хейз'), приняв в качестве координатных линий на поверхности тела линии тока внешнего потока и ортогональные к ним траектории. При таком выборе трансверсальная компонента скорости внешнего потока Ф' равна нулю, а следовательно, продольная скорость внешнего потока на границе пограничного слоя (7 будет связана с производными от давления соотношениями э 51! озщиг свойствл пгостглчствгнного погелничного слоя 247 где гг — кратчайшее расстояние от точки потока ло оси вращения.
Кроме того, при этом уже нельзя пренебрегать изменением давления в нормальном к поверхности тела направлении. р Б!. Некоторые общие свойства пространственного пограничного слоя; теорема о вторичных течениях — =х'г — х а йа" ь ь йз Здесь коэффициенты х, х' носят соответственно наименования геодезической и нормальной кривизны, а х" — геодезического кручения кривой на поверхности.
Из предыдущих равенств непосредственно вытекает вырзженне этих величин как скалярных произведений единичных векторов триэлра на их производные по длине дуги: иа" ь .их г, йх иа' х=ч — = — п '— , х =и'.— = — г йз йз йг йз йа' , йп" х =и ° — = — и' —. йз из Замечая, что (п — елиничный вектор главной нормали к кривой.
направленный к центру ее кривизны, а К в кривиана кривой) йт — =Ка, йг получим по (7.7!) х= — Кп а", х'=Ки а'. (7.72) Пользуясь вторым уравнением системы (7.69), можно выяснить, какому условию должен удовлетворять внешний поток, для того чтобы во всех точках погрзничного слоя отсутствовал трансзерсальный перепад давления, т, е, др/дх равнялось нулю. С этой целью напомним предварительно некоторые простые соотношения из теории поверхностей. Пусть на поверхность у = 0 нанесена кривая М,М (рис.
ББ) и вдоль этой кривой, начиная от точки М, отсчитывается длина ее дуги з. Построим в точке М на кривой триэдр осей с единичными векторами ч, и', и", ориентированными по касательной к кривой. по нормали к поверхности (и кривой) и по лежащей в касательной плоскости к поверхности второй нормали к кривой. Кривая на поверхности, обладающая тем свойством, что нормаль к поверхности во всех точках кривой совпадает с главной нормалью к кривой, называется геодезической кривой рассматриваемой поверхности. В этом случае единичный вектор второй нормали и" может отличаться только знаком от единичного вектора бинормали к кривой Ь. Пользуясь обычными свойствами единичных векторов, образующих триэдр, можно получить соотношения — =ха — хи, — = — хч+х и, их ип' ь и йг йз 248 некотояыг задачи тзогнн тзахмзгного погялничного слоя (гл, чзз Если рассматривземая кривая является геодезической для данной поверхности, то и ° и' = + 1 и нормальная кривизна х' может только анаком отличаться от обычной кривизны К; геодезическая кривизна х будет прн этом равна нулю.
По определению производной по направлению и по известным формулам векторного анализа найдем (т т = 1) лз : ° з — =(ч. х) т =йтад — ' — чХго!я= го! т Х г.= дз 2 1 дН,, 1 дН~ — — гз ~ НзИ1 д» И,Из ду ) 1 дИ, 1 дН, = — — 'и'Хч— — 'пх Х т= НН, д» И|Нз ду 1 дН, „1 дН, = — — —  — В'. Н,Н, д» Н,Нз ду и из первого равенства системы (7.7 1) следует, что дз 1 дИ, х= — и' дз Н,Н, д» (7.73) Таким образом, второе равенство системы (7.69) переходит в следующее: , =Н,и.ри'. д!з (7.74) Отсюда можно заключить, что для того, чтобы в пограничном слое было повсюду д)з(д»=О, должно быть х=О, т.
е. линии тома внешнего потока должны быть геодезическими линиями поверхности обтекаемого тела. При х = О, в случае стационарного обтекания, второе уравнение системы (7.68) приобретает вид 1 дв дв 1 дв 1 дИз д'в И "д + ду+И, д +НН, д "~="ду ' и при граничных условиях в = О при у = О, в -х О при у -ь со, соответствующих пограничному слою на неподвижном твердом теле, будет иметь очевидное решение в=О. ') Бед ив у й., Язаг!.
Арр!. Маг!з, 15, га 2 (1987). Таким образом, если линии тока внешнего потока представляют собой геодезические кривые поверхности обтекаемого неподвижного тела, то вторичные течения в пограничном слое отсутствуют. Эта теорема принадлежит Садни '). 9 52) слой ввлизи линии пегесечения двгх плоскостей 249 Для иллюстрации теоремы укажем, что нз всех косых обтеканий цилиндрических тел бесконечного размаха только в случае пластины в потоке, параллельном ее плоскости, не будет вторичных течений. Не будет вторичных течений и при продольном обтекании полу- бесконечной пластины с передним краем, имеющим внд произвольной кривой.
Все это, конечно, верно лишь в предположении отсутствия обратного влияния погрзничного слоя на внешний поток, т. е. в пренебрежении деформацией прямолинейных линий тока внешнего потока аа счет подтормаживающего влияния вязкости жидкости. 9 52. Пространственный пограничный слой вблизи линии пересечения двух плоскостей Своеобразным примером пространственного пограничного слоя на поверхности с изломом может служить случай обтекания внутренности двугранного прямого угла однородным потоком, пзраллельным линии пересечения граней (рис.
59). л Вдалеке от линии пересечения плоскостей будет иметь место обыч- Л' ный плоский пограничный слой на пластинке. Целью исследования является определение взаимодействия этих плоских пограничных слоев в области, близкой к линии пересечения плоскостей. Задача эта в упро- г7 У щенной постановке была рассмотрена автором '), з), ) в 1936 — рнс 59 1937 гг. В дальнейшем та же задача исследовалась Карьером ') в 1946 г., а в более общей постановке Соуэрбнз) и Соуэрби н Кукоме). Система уравнений пограничного слоя в этом случае при обозначениях, указанных на рис. 59, будет состоять из двух уравнений (7.75) ди де дв — + — + — =О, дх ду дз ') Л о й ц инск и й Л.
Г„Труды ЦАГИ, в. 249, 1936. ') Л о й ц я н с к и й Л. Г., Б о л ь ш а к о в В. П., Труды ЦАГИ, в. 279. ') Лойпа иск нй Л. Г., Труды Ленингр. индустриального института, равд. фнз.-матем. наук, Ьй 1, 1937. ') Сагг1ег О. Г., Яиаг1. Зоягп, о1 Меев. зпд Арр). Ма1Ь. 4 (1946), 367 — 370.
') Бои егьу 1., Рьп. мая. 7 (1951), 42. ') Бо» е г Ьу 1., Совке)., (енагг. )оигп. о1 Месь. апд Арр). Магьеиь 6, И 1 (1953), 50 — 70. 250 некотоРые задАчи теОРии тРехчеРнОГО НОГРАничнОГО слОЯ (Гл чн тзк как остальные уравнения сведутся к условию постоянства давления в пограничном слое. Попытка Кэрьера замкнуть систему (7.75) дополнительным уравнением диффузии продольной составляющей вихря вызывает возражения'), так же как н предложенная им картина образования пары вихрей с осями, тянущимися вниз по потоку внутри угла. Для приближенного описания явления применим следующий прием, позволяющий оценить поле продольных скоростей и(х, у, г) в области взаимодействия пограничных слоев; поперечные компоненты скорости при этом остаются неопределенными.
Перепишем урзвнение (7.76) в форме ди I дГИ дан Т ди ди ди У вЂ” — «1 — + — )=(У вЂ” и) — — Π— — ш —. (7.76) дх (дут для) дх ду д» ' Эаменим в правой нелинейной части коэффициенты при производных вначале нулями, т. е. положим и = У, О = О, ш = О, и соответствующее решение обозначим индексом «1», После этого заменим те же коэффициенты значениями У, О, О, положив и, О. Яв вне знаков производной равными нулю, а в остающееся справа выражеди ние у — подставим вместо и полученное перед этим значение инь) дх соответствующее решение обозначим через им'.
Таким образом, будем иметь сначала уравнение дин1 ! д'иш д'ин' 1 дх ~ дуя + дх' ) (7.77) с граничными условиями и1О =0 прн у.=О «ли х =О, (7.78) ин>=(у при у=в=со. (7. 79) При этом уравнение (7.77) переходит в следующее: дзу~ д'у1 ! ду, 1 „ду, (7.80) ') См. подстрочное примечание редактора и переводчика к статье Ф. Мура в сб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
