Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Приводим общий вид профилей продольных и трансверсальных скоростей внутри пограничного слоя для нескольких значений г/а и параметров а и с/У (рис. 57). Пользуясь полученными значениями компонент скорости — = /' (тД-+ 2(пх/а) 1, (т)) соя (г/а)+ .+ а (С/(/ ) (х/а)з 1з (~)) з! п (г/а) -(- + (ах/п)з (/з(л) + уь ( д) соз (2г/а)) — — аз/' (т)), (7.58) ') Магг!и Л. С.. Вердене йезеагсй ЬаЬогагогу йер. )й 870, АЬегйееп Ргот!пй Огоепб, 1955. Все эти неизвестные функции и их производные были определены численным путем и включены в таблицы, помещенные в подробном 6 49! вгашаюшийся пилиндг в косо навагаюшвм потоке 241 — = 1/я/(У х)~ 2 1(т(/е(7)) — ~е(т()1)+( —;,")йе(7))соа(г/а)+ 1 + з (с/У ) (х/а) 8') (т)) з! и (г/а) -+ -(-( ) )'(а,(я)-)-а,(а).
*(2*( )) — — '()7)(я) — 7,(а))), 4 ' (7 58) — = с/У + )2и з)п (г/а) — с/У 1 /й(7))+. +(с/У )(ах/а) и (4) соа(г/а)+ -1- за (х/и) й, (71) я1п (г/а) соя (х/а) и выражениями У и Ф' из (7.41), можно подсчитать значения вспомогательных толшин вытеснения: а Ь'" = / 11 — и/(У (1 — аа/2)Ц(7)у= ~ 11 — и/У вЂ” изи/(2У ))(1у, о о 3; = ~ 11 — и)/12аУ а(п (я/а)Ц к(у. о После проведения численного интегрирования по упомянутым выше таблицам функций (верхний предел интегрирования повсюду принимался бесконечным) получим В„" = (1,721 — 1,721 (ях/а) сов (г/а)— — 1,526(ас/У ) (х/а)з з)п (г/а)— — яя (х/а)а 1 — 0,1434+- 1,667 соя(2г/а))+0,4240и') 1/ х/У, 3; = 11,72111 — с/(2аУ з)п (г/а)).+ + 1,380(с/У ) (х/а) с(9(я/а)— — 4,943(ах/а) соя(г/а)) )(' ях/У .
(7.59) Уравнение (7.39), служашее для определения толщины вытеснения 3', в настоящем случае будет выглядеть так: д (3 — 3 )-+2а д 1з1я(г/а)(3 — В,)~=0. 3 = йа+ 3) + йа 6 Зак ааг Л Г Лаанянскна Разлагая искомое решение на три слагаемых: нулевого, первого и второго порядка малости: 242 некотогые злдлчи теогии тгехмвгного погглничного слоя [гл, чп и используя (7.59).
получим уравнения о (Ьо — 1.721 Ьг чх/У / = О, — )Ь',+ 1,72! (их/а)1)ггчх/У сов (г(а)] + + 2а — !(Ьо — 1 721 г' чх/У~) гйп (г/а)] = О, — !Ьв+1,526(ас/У )(х(а)' Г'чх/У гйп(г/а)+ +(ах(а)в 'р чх/У ( — 0,1434+1,667сов(2г/а)! — 0,4240ав 'г' чх/У ]+ + 2а — ( 18*, — 1,380 (с/У ) (х/а) \lчх/И с(н (г(а)+ + 4,943 (их/а) у'чх/У сов(г/а)] в(п (г/а) ] = 0 интегралы которых будут иметь внд Ьо — — 1,721 'ЬГчх/У, Ьг = — 1,721 (ах/а) ~lчх/У сов (г/а), Ьв = ( — 2,630а(с/У )(х/а)в в1п (г/а)— — (ах/а)'( — 0,1434+ 4,245 сов(2г/а)!+0,4240ав) ту х/У . Окончательно найдем Ь* = (1,721 — 1,721 (их/а) сов (г/а) — 2,630 (ас/У ) (х/а)в в)п (г/а)— — (ах/а)т ! — О,! 434+ 4,245 сов (2г(а)! + 0,4240оЛ) 1гчх/У, (7.60) Выделим асимметричную часть этого выражения.
содержащую в качестве множителя в!п(г/а), Ь'= — 2,630(ас/У )(х/а)в )(чх/У в!п(г/а). (7.61) Тол; ко благодаря асимметрии в распределении давления, вызванной асимметрией толщины вытеснения, может возникнуть поперечная сила Магнуса. Для вычисления этой силы составим потенциал возмущений скорости у в плоскости нулевого углз атаки (или скольжения) 8 =н/2; по теории тонких тел этот потенциал в полярных координатах (г, Ь=.г/а) будет равен — У ( ) (ав/г) в1п (г/а) = = — 6,575ас (х/а) фчх/у /д) (дв/г) в!и (г/а). ф 49) веащлющийся цилинде в косо ВАБеГАющем потоки 243 Козффициент давления р, равный Уо+ !" + Что р=!— У'„ Уо + 2У,(дт/дх) +(ду/дх) +(ду/ду) + (дт/дх) У2 с точностью до членов, имеющих множителем ас/У, представится так: р = 19,725 (ас/У )('!/«х/У„/а)(а/г) з(п(х/а), а на поверхности тела г= а будет равен р= 19,725(а/а)(с/У ) 1/чх/У з!п(х/а).
Интегрирование по углу О=х/а дает сначала силу Магнуса, от- несенную к единице длины цилиндра, /'=2 -рУ / раз!БОо(3=19,725п — рУ (ас/У ) 1гчх/У, (7.62) о а затем и полную силу на длине 7. цилиндра, Е Р= / /с~х= 13,15п 2 рУ (ас/У )Л чу./(/ о = 7,641п ° — рУ (ас/У ) Л ° Ооы (7.63) где Оос = 1.721 ~Г «ЦУ (7.64) найдем К„= 6.001 (/./д) (О,',/д) нли, исключая Оос по (7.64), Кл — — 10,33 (//с~)/Ке ь, (7.65) (7,66) представляет собой толщину вытеснения на корме цилиндра при отсутствии вращения и угла атаки илн скольжения. Сила Р лежит в плоскости нулевого угла атаки или скольжения (О=я/2) и перпендикулярна к оси цилиндра, Вводя еще коэффициент силы Магнуса (Ы вЂ” диаметр цилиндра) К„=Р/(2рУ Ы (с/У ), 244 накотогыа задачи теогин тгвхмзгного погглничного слоя !гл. чп где положено Ке=— 1АО5 ч В заключение можно определить координату центра приложения параллельных сил Мзгнуса с Е х= / х/г!х / /сгх= — /..
а о (7.67) Предложенный метод справедлив, конечно, только для не очень длинных циллндров, когда можно быть уверенным в допустимости пренебрежения влиянием поперечной кривизны цилиндра, т. е. считать малой величину 6/а. Применяя более точную теорию и пользуясь обсбщенным понятием «площади вытеснения» !9 36), можно решить и более сложную задачу.
Следует отметить, что рассмотренное только что решение имеет скорее чисто методическое значение, так как относится к ламинарному пограничному слою и к случаю малых скоростей' ). Можно принять, что закономерности (7.65) и (7.67) справедливы и для турбулентного пограничного слоя. если ввести поправки в численные коэффициенты. Сравнение с опытами показало допустимость такого подхода. В частности, для точки приложении силы Магнуса в формуле, аналогичной (7.67), был получен коэффициент я/ьн мало отличающийся от з/з. ф 60. Уравнения трехмерного пограничного слоя в любой ортогональной системе координат ') Эффект Магнуса на конусе в сверхзвуковом потоке см.
Бели е у и., )оагп. Аегоп. Ясь 24. № 6 (1957), 430 — 436. ') 1 е ч ! - С ! ч ! ! а Т„А!!аегпе!пе Ро!яегипяеп абаз лег Ргаялг!зсвеп Огеэгэсшсш№еог!е. тГог!гаке аиз дею ОеЫе!е дег Аегодупашж. Аасвев, 1929. ') 3 Ч в ! г е 1.. С, АЙС, й Ь М, 3006, 1957. Н!иболее общие уравнения теории пространствешюго пограничного слоя, образующегося при обтекании тела с произвольной гладкой поверхностью, были впервые выведены в классической работе ЛевиЧивита, относящейся к ! 929 г. а), который использовал для этой цели систему общих косоугольных криволинейных координат.
Хотя в настоящее время некоторые авторы предпочитают при рассмотрении трехмерных пограничных слоев на данной поверхности пользоваться косоугольными криволинейными координатными системамнз), все же наибольший интерес представляет применение ортогональных криволинейных координатных систем, как более простых. $50! УРАВнений В лювОй ОРтогонАльной системе коогдинлт 245 Условимся в следуюшем выборе системы ортогональных криво- линейных координат. Поверхность обтекаемого жидкостью тела вы- берем за координатную поверхность з7з = О (рис. 58), так что коор- динатные линии з7, будут представлять собой кривые, ортогональные к поверхности тела.
На самой поверхности обтекаемого тела выберем ортогональную сетку координатных линий (з7,) и (з7з). Примем для первой криволинейной оси обозначение х, второй — у, третьей †, а соответствующие этим коорди- й й' нзтам коэффициенты Ляме и комчз= поненты скорости обозначим через НР Н,, Нз и и, О, ти. Сохраним в уравнениях Стокса, ,~/ ' (5ГВ составленных в ортогональной системе криволинейных координат '), лишь те члены, которые при тонкости пограничного слоя имеют гтр! старший порядок. Кроме того, не нарушая обшности. можем положить На= 1, тем самым рассма- Рис. 58. тривая координату у как расстояние точки до поверхности тела.
Тогда получим следующую си- стему уравнений пространственного пограничного слоя: ди 1 ди ди 1 — + — и — + Π— + — то дГ Н, дх ду Н, 1 / дНз дНз з з НН, (дх дх дзи 1 дзи дм 1 — + — и — +Π— +-— дт Н, дх ду Нз ! г дНз дН1 + ! — 'ити — — ' Н~Нз ! дх дх — ~ — (Нзи).+ — (Нзти)~.+ ! Г д д Н,Нз 1дх з дх + ди дг 1 1 др дзи таз) = — — — — +ч —, р Н, дх+ дуз' дги тв — + дх 1 1 др дзги из~= — — — — +»вЂ” р Нз дх ду' дэ — = О. ду (7.68) ') Выписывать их нз-за громоздкости не будем; см., например, Кочин Н, Е, Кнбель И. А., Розе Н.
В., Теоретическая гидромеханика, ч. !1, Гостехиздат, 1948, стр. 288 — 289. Давление р в этой системе рассматривается как функция времени и координат х и г на поверхности; поперек слои давление принимается неизченяюшимся. Можно различным образом выбирать направление координатных линий на поверхности тела и тем самым по-разному определять коэф- 246 некотогыз задачи таогин ттахматного погваничного слоя [гл.
чп д(Г ! д(Г 1 ! др — + — и — = — — — —, дт Н, дх з Н, дх ' 1 дН, 1 1 др '(7= — — —. НзНз дх р Нз д» (7.69) Аналогичную, но более простую систему криволинейных координат, не учитывающую кривизну поверхности тела. а только кривизну линий х, предложил Мэйджер а). Если обозначить кривизну координатных линий х, лежащих в плоскости ха (касательной к поверхности тела у = О), через А. то коэффициенты Лиме приобретают зна- чения != +~А, ~2-1, Нз — -1. Уравнения пограничного слоя при этом будут иметь форму более простую, чем (7.68): 1 др д'и = — — — +ч —, р дх ду'' 1 др дзв = — — — +ч —, р дг ду'' ди ди ди ди — + и — + тз — + в — + див дт дх ду дх дв дв дв дв — +и — +тз — +в — — Аиа дт дх ду дх — + — + — +А ди де дв д» ду да (7.70) В случае системы координат, равномерно вращающейся с угловой скоростью в(в, в„, в,), в правые части первых двух уравнения добавляются члены, соответствующие центробежной и кориолисовой силам взд — — 2в в, — оР)з — +2ш и, да да дх г дх г ') Ноччаггя Ь„РЫ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
