Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Е 60. Температурный пограничный слой при заданном распределении температуры на поверхности тела Предыдущая задача аначительно усложняется, если температура иа поверхности тела Тм ие постоянна, а задана как функция продольной координаты х. Впервые такого рода задача была приблнжекно рассмотрена Фзйджем и Фокнером в 1931 г.т). Уравнение баланса тепла при тех же обозначениях, что и ранее, приводится к виду (9.29) да З 1 дт да, да и — +и — ~+и — = — —,. дх Т, — Т, дх ду а дуг' Если распределение скоростей на внешней границе (7(х) и температуры на стенке Т (х) представляются степенными функциями (7=схи', Т„= Т +ахт, ') я»».
м., я . » . Б! и, и ! (3959П ') Ране А., Р а1К и е г Н., АКС, 8 Зг М, 1408, 1931; си. также «Современное состояние гидроазродииаиики вязкой жидкости», т. П, 1!Л, 1948, й 271. 288 темпвРАтУРный и див вУзионный погвлничные слОи [гл. гх то по аналогии с (9.19), вводя в качестве аргумента величину [=(и!. )'*У и выражая компоненты скорости в форме =(УГ(~), = — 2 ( (7/х)л[(лг+1)УЯ+(лг — 1) !У'(Х)1 можно преобразовать (9.29) в обыкновенное дифференциальное уравнение (штрих — производная по 1)) 6 + а ~ — (т + 1) ~8 — Т~ ° (9 — 1)[ = О.
(9.30) Вместо того чтобы воспользоваться известным к тому времени табличным выражением функции у(г[) по Фокнеру и Скэн [подробное решение в широком диапазоне т было дано Хартри только в 1937 г. (см. 9 11)[, авторы предпочли принять приближенное выражение г" (т[) ='- — ат[а, где а = у" (0), после чего уравнение (9.30) смогло быть 2 численно проинтегрировано. Следует заметить, что уже это приближенное решение дало удовлетворительное совпадение с опытными материалами. Точное решение рассматриваемой задачи было выполнено двадцать лет спустя Леви '). При тех же степенных заданиях скорости внешнего потопа н температуры на поверхности тела заменим в уравнении (9.30) неизвестную температурную функцию О на 1 — 9 и примем в качестве аргумента вместо л переменную Хартри (9 11) /т+1 и При этом уравнение (9.30) псреходит в следующее (штрих— производная по Е): б" + афб' — а(2 — ра) тф'6 = О, (9.3 1) где Фг(1) представляет собой функцию Хартри (9 11), а [1 = 2т/(т -1- 1).
Прн 7 = О уравнение (9.31) сводится к уравнению 19.20) предыдущего параграфа. Уравнение (9.3!) было проинтегрнровано на электронной счетной машине при различных значениях параметров Т, а и гл (или [1). С этой целью был применен метод конечных разностей. Замена производных конечными разностями переводит уравнение (9.31) в разностное уравнение вида (ЬŠ— интервал разбивки значений Е) а а-г и-г +аф гг а 1 (2 ~)ф 9 з — 2В -[- О (да)г а а 1 дг Та ') 1.ету Ь., )оаггг.
Легоп. 5с!. 19, № 5 (!952). 60! заданное влспведелзнив темпееатгеы нл повегхности 289 аткуда слелует рекуррентное соотношение Е = о 8 — 5 8 л Пи-! и-1 и-1 л-й' де 2+ Фл, д! + т !2 — 5) Ф„, (д!) ! + Ифл-1Д 1 л-1 ! +иф Да Ковффнциенты ал, Ьл при заданных е, ", и р легко вычисляются 1о таблице 3 производной функции Ф!!). Подробности вычислений 1 обсуждение точности вычислительного метода можно найти в до1олнении к только что цитированной статье Леви. В таблице 2! приводим значения производной !176/17!)й з, характе~изующей теплопередачу на поверхности тела, при различных 7 и и, Таблица 21 10 0,7 0,0000 — 1,01! — 1,!4! — 125! — 1,432 й ! 19 зак ййт л. г лийкакский — 2,5 — 1,5 — 0,5 0 0,5 1,0 2,0 4,0 — 1.0 -0,75 — Ю,25 0 0,25 0,5 1,0 2,0 — 1/2, 80! — 0,25 0 0,25 0,50 1.0 2,0 4,0 0,0000 — 0,2687 — 0,4413 — 0,5062 — 0,5626 — 0,6120 — 0,6975 — 0,8315 0,0000 — 0,1755 — 41,4093 — 0,4879 — 0,5535 — 0,6094 — 0,7033 — 0,8461 0,0000 — О,!955 — 0,2930 — 0,3476 — 0,3861 — 0,4412 — 0,5134 — 0,6041 0,0000 — 0,3101 — 0,5085 — 0,5828 — 0,6468 — 0,7031 — 0,7995 — 0,9512 0,0000 -0,2001 -4а4708 — 0,6979 — 0,8116 -0,9647 0,0000 -0,2168 -0,3227 — 0,3820 -0,4237 — 0,4835 — 0,5622 — 0,6608 О,ОООΠ— 0,5587 -0,9303 — 1,064 — 1,176 — 1,275 — 1,442 — 1,701 0,0000 — 0,3290 — 0,4884 — 0,5760 -0,6375 -0,7257 — 0,8424 -0,9890 0,0000 — 0,7005 — 1,186 — 1,357 — 1,501 — 1,626 — 1,836 — 2,159 0,0000 — 0.4062 — 1,081 — 1,286 — 1,451 — 1,590 — 1,818 — 2,159 0,0000 -0,3894 — 0,5806 — 0,6848 — 0,758! — 0,8629 — 1,002 — 1,! 76 290 темпгеатггиый» днееузионный погваничныв слои для значений "= 1,6, 1,0; — 0,199.
В таблице 22 даны значения той же производной для пластинки (р = О). Таблица х. ОР 2 10 В первой строке таблиц помещены нулевые значения. соотве~ ствующие при любых а и р значению 7=1/(р — 2), при котороь уравнение (9.31) преобразуется к виду 6" + а (ФО'+ Ф'6) = О, интегрируемому в конечном виде и имеющему интеграл е В=.«р~ —.(есоя~. о легко видеть, что при этом действительно (г(8(г(,:)1 = — О. Возвращаясь к общему случаю любого 7, введем нес~нов числе Нуссельта Х на поверхности тела, равное ах Х (дТ(ду)„о х 1 ! дз 1 / 6'х 1 Т вЂ” Т Х )'2 — 8 1д111=о 1х АналитическаЯ зависимость числа Хх от паРаметРов а, 3, 7 можебыть представлена приближенной формулой 51„= В Р, т) ~/ К ° еа, К, = С х, (9.33 причем функция В(!8, 7) с достаточной степенью точности (отклоне ние не превышает:Ь 5',;, если 7 в области отрицательных значеииг не слишком велико по абсолютной величине) равна В(р 7) ° 0 51(р 1 0 205)олш(7(2 р) +1)о,зг+охва (9 34 — 0,50 — 0,25 0,00 0,25 0,50 1,00 2,00 3,00 4,00 — 0,4065 — 0,4989 — 0,5690 — 0,6746 — О.Н21 8 — 0,9296 — 1,017 0 — 0,3789 — 0,5822 — 0,7130 — 0,8112 — 0.9593 — 1,105 — 1,3!6 — 1,437 0 — 0,6257 — 0,9863 — 1,210 — 1,37? -1.625 — !.9Ь5 — 22!1 — 2,406 0 — 0,7668 — 1,230 — 1,513 — 1,721 — 2,024 — 2,445 — '2,741 — 2,974 д 60) заданноз влспввдвлвния твмпвглттвы нл поввгхности 291 1,0 1,6 0,327 0,254 0,367 0,355 Отметим, что при р' = 0 показатели степеней при К„и с практи- чески те же, что и в формуле Польгаузена (9.15), В цитированной работе Леви можно найти графики распреде- ления температуры по сечениям пограничного слоя при различных значениях параметров е, р н Т, а также зависимости(г(6(г(;")а е 7,4 иМЯ„'= 8(р Т)а от 7 при ааданных е и р.
График последней зависимости приводится на рис. 62. Основной вывод, который можно сделать, изучая ход кривых 4 на рис. 62, заключается в су- ~4 д4 щественности влияния характера изменения температуры (34 вдоль поверхности на развитие температурного слоя, Так, на- цЯ пример, видно, что при возрастании показателя степени т в заданном распределении температуры по поверхности тела от отрицательных значений к положительным местная тепло- отдача при данной величине р резко всзэастает. Резкость этого воз- растания ослабевает при переходе от положительных р к отрицатель- ным, т.
е. от конфузорных участков пограничного слоя к диффузор- ным. Каково бы ни было р, всегда сушествует такое отрицательное значение Т. при котором местная теплоотдача на всей поверхности булет равна нулю. При малых отрицательных р, вплоть до предель- ного случая полностью отрывного обтекания, это значение 1 близко к Т= — '(2. Анализ температурных кривых показывает, что прн данных з и р толщина температурного слоя возрастает с убыванием параметра 1, причем это возрастание тем заметнее, чем больше л при данном 3 н чем меньше р при данном а. 4Г -д -Я -7 11 7 л д 4 у Рис. 62.
з показатель степени й при числе Прандтля в формуле (9.33) близок в среднем к 0,355 и изменяется в зависимости от р в пределах, ука- эанных в табличке: 292 темпевлтугный и диееузионный погвлничныя слон (гл. ~х й 6!. Температурный пограничный слой на продольно обтекаемом теле вращения д(Г дав = У вЂ” +ч-5-;-, ч д»Т а ду1 ди ди и — +ив дх ду дТ дТ и — +ив дх ду д (гои) д (го") дх ду (9.35) причем под Т будем понимать избыток температуры в данной точке пограничного слоя над температурой набегающего потока.
Тогда гра- ничные условия приведутся к виду и=О, о=О, Т= Т (х) при у=О, и= У, Т=О при у=со. (9. 35') Преобразование Степанова выполним в безразмерной форме, обозначая черточкой сверху величины в воображаемом плоском потоке, соответствующие величинам действительного неплоского пограничного слоя; положим (Š— характерная длина тела, С, — произвольная постоянная) / ~1ге ~1ге га х — — дх, у — — у. / Е2 ' Е е (9.36) Вводя функнню тока ф мерндионального течения, связанную со скоростями и.
о формулами и= — — и= — —— ! дФ ! дф (9. 36') га ду' гч дх н полагая Ф =(ЯЕ) Ф (9.36") получим уравнение соответствующего «плоского» пограничного слоя д д~ф дф д»( — Ю д'~г = — ===(7=+'=. ду дх ду дх дуз дх ду' (9.37) Преобразование Степанова [(5.24), 6 32) позволяет свести задачу о температурном слое на теле вращения к плоской задаче.
рассмотренной в предыдущем параграфе. Выбирая оси координзт обычным образом, т. е. направив оси х н у вдоль контура меридионального сечения и по нормали к нему, учитывая роль поперечной кривизны (радиус поперечной кривизны обозначим через г ) в уравнении неразрывности, получим систему уравнений а 611 твмпвялттгный слой нл пгодольно овтак, тала ввлщения 293 Ограничиваясь случаем степенного задания скорости внешнего потока й=С х (9.37') введем переменные Хартрн 1р = 2т)(т + 1)) (9.38) ф=1 2 — (г 'у'.их Ф(1). Тогда функция Ф будет удовлетворять уравнению (штрих — производная по 1) Ф"'(;) (- Ф (с) Ф" (1) + ~ [ 1 — Ф' (1)~ = О.
(9.39) Рассматривая настояшую задачу как аналог задачи Фокнера— Скан об обтекании клина, эовьмем конус с углом раствора 2я и распределением скоростей У = Сах , причем для такого конуса будет г = х в(п а; тогда по (9.36) найдем С1 яп а г г х —. =1 3 хз яп з1 Сг г 1м й=сх"=С ( — "' — '~ х' =и=сх . ,( Сравнивая, получим ( С, яп а 1 г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
