Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 49
Текст из файла (страница 49)
рр.ррр о о о о аг(0)= — / ехр ~а / йА) Ж ~ о о (9.7 1) Числовые значения 1,(0) в функции от числа Прандтля а приведены в виде графика на рис. 64. При пользовании этим графиком иг Рл' 1 г Рнс. 63. вычисление теплоотдачи вращающегося диска по формуле (9.68) не составляет труда. Как видно нз графиков распределения температуры на рис. 63, при больших значениях чисел Прандтля а толщина температурного пограничного слоя мала по сравнению с толщиной гндродинамического слоя (о толщине последнего можно судить по кривой темпе- График функции (,(г) для ряда значений е з интервале 0,5 (а (10 приведен на рнс.
63. Из (9.70) находим , бз) твмпвватэяный погглничный слой нл вгащающемся диске 303 !7 7 Я,у 4 д Ф Т !7 У И Рис. 64. !ренебрегая в правой части уравнения баланса тепла (9.61) про!зводными по г по сравнению со второй производной по в, играюцей в пограничном слое главную роль, и опуская дисснпативные пены, будем иметь упрощенное уравнение баланса тепла в форме дТ дТ а д'Т и — + тв — = — —. дг+ дл а дла ' (9.72) Переходя от координат (г, в) к переменным Мизеса (г, ф) (й' 3), !ерепишем уравнение (9.72) в форме дТ а д / дТ! г 1 )' дг а дф ( дф)' (9.73) 1ри больших а.
согласно только что сказанному, в этом уравнении !ожив положить и = а!гг (Г) = Аа!гч', ! ! дф !+-' - —" — =ги=Аи а а э гзва дл аткуда (ф= 0 при в= 0) следует ! 1 ф= Ам а а а (1+ а) гтг!+а. 'равнение (9.73) после этого переходит в следующее: (9.74) ,атуры при а=1). В этом случае функиня 7(".), входящая в опре,еление радиальной скорости (вспомнить 9 38), может быть заменена -воим приближенным линейным или степенным выражением, справед:ивым при тех малых изменениях "., которые соответствуют области "емперзтурного слоя при больших а.
304 твмпиялтявный и диеетзионный погтаничныв слои (гл. ). где положено /7 )т)а-)а)д!+а) ег а/(1 1 с= -'-" мм+~итн+.))т-г "л"мА)л'+а)(1+ )))")я~+а) (2.+ а) 2 е Интегрирование уравнения (9.74) приводит к формуле секундног< количества тепла, аналогичной (9.68), со следующим замкнутым вы ражением ') для величины г)(0): /) (О) = — — Ке'«г ), г К= 2о гн(2+а) )'(!+а)тм )Ап МГ(2/а) з!п(2к/а), (9.76 где для краткости введено обозначение а= 2(2+а)/(1+а), Приводим таблицу 24 относительного отклонения Ь% приближен ного значения г) (О) по формуле (9.76) от точного, рассчитанного п< теории Миллсапса и Польгаузена, Таблица 2* 10 25 при а = 0,67 2! 3 1 при а=1,0 19 12 23 Т вЂ” Т =с г'.
(9.77 Введем вместо Т функцию В(С) согласно равенству Т= Т +(Т вЂ” Т ) 8(ь). ') О а т! е а О. Р„С)наг). )он<в. о! Месй. ап<Г Арр!. Магйепь !2 (1959), в том же журнале см. также статью О ат )ез О. К. апа В о и г пе О. Е. '. ! 1956), 457. ') Дорфман Л, А., Инженерно-физический журнал 1, )<й 6 (1958). Линейное (а= 1) приближение для /(С) дает удовлетворительны= результаты при а ) 100, степенное (а = 0.67) — при 6 < е < 500.
В статье Л. А. Дорфманаз) рассмотрен частный случаЯ задач) о теплоотдаче вращающегося диска с переменной температурой пг верхности, зависящей от расстояния г точки от оси вращения диска именно ° 641 влспгостялняние нлггетой ллминленой стези 305 Тогда уравнение баланса тепла сводится к обыкновенному диф*иеиииальному уравнению 6" — е (ДО'+ 2 16) = О (9.78) условиями ~= 1 при ,;б -3 тат) ' 6=0 при (,=со. С=О, РР 1 14!ЯУ Я «ХЗ'РР11 Рис. 65.
й 64. Распространение нагретой ламннарной струи н затопленном пространстве Примерами простых автомодельных задач температурного «своодного» пограничного слоя могут служить задачи о распространении ~агретых плоской и осесимметричной круглой струй. бьющих из бес:онечно тонких трубок в пространство, заполненное той же хндкостью '). При атом предполагается, что, начиная с некоторого 'лаленного от источника сечения струи, равность между максималь~ой температурой жидкости на оси струи и температурой окружаюгей струю жидкости настолько мала, что можно пренебречь влиянием емпературы на физические константы жидкости: плотность и тепло:роводность. Чтобы упростить постановку задачи, заметим, что наряду с излетным законом сохранения вдоль осн струи потока количества ° ° ю зя.
° ')СЛБЬГ~,~.«Ьрр6.М~.\Т,Л5~!95Ч,ЗВ~,3~2. Ъ зая. 397 л. г. лояцянсяия -иьлеиии«интегрирование приводит к следующему выражению ,ля местного числа Нуссельта: Функция у(а) представлена графиком на рис. 65. Для сравнения ~унктиром показан график функции е(а) = вч для плзстннки. 306 температурный и диееузионный погрлничныв слои (гл. ~х закон сохранения потока тепла.
Поэтому для задания струи можно использовать две ее константы: поток количества движения уе и поток тепла Нь. Искомыми величинами в задаче являются распределения скоростей и температур в сечениях струи. Начнем с рассмотрения плоской струи. Пусть Т вЂ” температура жидкости, в которой распространяется струя, Т вЂ” температура в любой точке струи.
Введем безразмерную разность температур т — Т удовлетворяющую уравнению баланса тепла де де ч д'В и — +о — = —— дх ду а дуя (9.81) с нулевыми граничными условиями — =0 при у=О, 8=0 при у=со (982) дЕ у и интегральным условием и(Т вЂ” Т ) Фу = сопь1= Не, (9.83) (9.861 которое является условием нетривиальности решения. Гидродинамическая часть задачи уже была рассмотрена в $5; приведенное там решение (1.63) может быть представлено так: 32е Г' / чрь ~'д и = ) ьесйь.л, о = ( — ) (2п ьесйь т) — 13 т1), 1 32рьмх / (брх') 148рть) ха Искомая безразмерная разность температур 9 должна представлять собой комбинацию безразмерных величин рро рь ' 1Т. ' Обычные соображения размерности дают 6 — (~')(Р" )в (), (9.85) Как легко убедиться.
совершая подстановку значения 6 из (9.85) в (9.81) н вводя наряду с х переменную т), неизвестная функция т(т,) удовлетворяет обыкновенному дифференциальномууравненкю (штрих— производная по т~) ;" (т) + 2ь (т (9) ьесйя 11+ т' (т1) 18 «1 = О, РлспРостРАнение нАГРетой лАминАРной стРуи 807 Иепосредственное интегрирование при граничном условии (О)= 0 дает о' (Т1) = — 2ет (Т1) (й 11, а повторное приводит к окончательному результату т (ч1) = С зесйго ч), (9.87) причем постоянная интегрирования С определяется из условия нетри- виальности (9.83) и оказывается равной ю -1 С = Зо-" ~ зесйг+го адч) о (9.88) С= 0,455 при о = 1, С = 0,421 прн о = 0,7ЗЗ.
Таким обрззом, окончательно имеем У '=- '"'( )'- "" (9.89) которое надо рассматривать. считая, что гидродннамическая часть задачи уже разрешена. Имеем (здесь ч) соответствует ач1 в формулах 9 87) о 1 ( Зуо)чо 1 1( 4 1 ) '" "(+')' Уо — — 2иР / Гиге(Г. о 3 уо и = — ° — ° (9.91) Решение уравнения (9.90) по соображениям размерности должно иметь вид 8 =,7„'х ™(')) Н (9.92) Сравнивая с (9.84), заключаем, что при о = 1 р4спределения избытка температуры 9 и скорости и в соответствуюп$ох сечениях струи подобны между собою. Аналогично решается задача о распространении круглой струи.
В этом случае уравнение баланса тепла приходится составлять в нилиндрических координатах (х, г), причем угловая координата (ааимут) в уравнение не входит. При том же выборе безразмерной разности температур 8 получим уравнение дз да ч 1 д/ даат и — +о — = — — — (г — ), дх дг о г дг1 дг)' (9.90) 308 темпеРАТУРиый и ЧиФФУзиониый пОГРАничный слОи (Гл. 1х гле заданная характерная постоянная На в случае круглой струи равна На= 2И ~ ги(Т вЂ” T )Нг. (9.93) Согласно уравнению (9.90) и выбору аргумента т) (отличающегося от аргумента в плоском случае!), новая неизвестная функция т(т)) должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению Однократное интегрирование при выполнении условия ограниченности т и -.' дает гт и-.'+а ! = О, ! + — т~ 1 4 повторное приводит к искомому результату который после использовзния условия нетривиальности решения (9.93) окончательно дает Ьг чТх( +4 ') При а=1 вновь обнаруживается полобяе в распределении 8 и и.
Как это непосрелственно следует из формул (9.89) и (9.95), температура жидкости в источнике струи (х = О) равна бесконечности. Межлу тем предположение о постоянстве р и р справедливо лишь при малой разности температуры струи и окружающей жидкости. Таким образом, полученные решения пригодны лишь в достаточном удалении от источника струи, где разности температур сравнительно невелики. 9 65. Приближенные методы расчета температурного пограничного слоя В предыдунгих параграфзх температурный пограничный слой рассмзтривался как бесконечный по толщине и суждение о сравнительной толщине ($ 58) слоев в зависимости от величины а делалось на основании характера асимптотического поведения температуры на бесконечности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
