Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 53
Текст из файла (страница 53)
р (о)= (10.33) Вводя число Иуссельта Хп, получим, подобно 6 58. Х (тч,— т ) а (тж — т ) 7 и'(дУ рр О о т — т, 1 т Ги l' де — — у'(е) р, — р =. тщ — т хьь тщ чю 2 Р и о Прикимая во внимание, что коэффициенть теплопроводности находятся в том же соотношении, что и динамические коэффициенты Используя выражение (10.25) для С, в размерных обозначениях принимающее форму тс тм т а 68) линейная зависимость вязкости от темпееатгеы 327 вявкости, т. е. при п=1 Т Ю Ю Ь., =Т,' и выполняя интегрирование, окончательно получим Т вЂ” Т входящая сюда величина Т, определяется по (10.23) и характеризует влияние числа Маха М Если наряду с Хц ввести еще условное число Нуссельта Хг — О/( ( Т вЂ” ТД.
то получим не зависящее явно от М соотношение Х = — „(т т) =У(е) У К = О 664У 3/К, (10.35) аналогичное соотношению (9.16), установленному ранее для несжимаемой жидкости, М =О. При отсутствии теплоотдачи Т = Т, и Хн =О. При наличии теплоотдачи, но малых М, т. е. при малых скоростях, когда влияние сжимземости несущественно, Т,= Т и, следовательно, Хн= У(е)3~'К .
Это — уже рассмотренный ранее в 9 58 случай (9.16). Наконец. прн о=1 получаем Хи=0,664 Ти Т' 1г й (10.36) Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала напряжение трения т . Имеем, переходя к размернызз величинам, откуда следует 1 / н 2 е'' причем ул(0) имеет то же значение е" (0)=1,328, что н в несжимаемой жидкости. Итак, если прн и= 1 величины р и р в формуле Коэффициента местного трения отнесены к значению температуры в набегаюшем потоке, то коэффициент местного трения остается тем же, что и в случае несжимаемой жидкости (см.
(1.39) и (1.40)1; 0.664 Кюх сг — — — '.- —, й = — ° ) их 68) линейная зависимость вязкости от течпевзтгаы 329 ногдз говорят, более урезанными. Это означает вместе с тем, что ростом М возрастзет и толщина пограничного слоя. Если при 1тсутствии теплоотдзчи а выра- гение безразмерного расстояния ьт поверхности пластинки вместо и ,начений физических констант у 'г ' ~ч лг =~т . набегающем потоке р, р ввети их значения ри и р нз стенке гг =7 рис. 68), то можйо заметить, что ~рофили скоростей с ростом Л делаются более крутыми (ззюлненными) и приближаются при р ДР 4У 4Р том к прямолинейной форме.
„/Р р' Для тех же условий охлзжде- гр.г ~ия поверхности пластинки при- Рис, 68. едем грзфики распределения тем~еозтчоы (оис. 69) в фоРме зависимостей (Т вЂ” Т У)(Те — Т ) и 03 .— — г,, (Т Р Я,У 4~7 62г ЮР ЯО /У,лм .РХ га от оеаразмерной координаты у$Г У р ((р х). Обращает нз ебя внимание немонотонность температурных кривых. Так, например, 330 ламинлгный слой на пластинка в пгодольном потоке [гл. х 1 при интенсивном охлаждении поверхности пластинки 1 Т = 4 1 ) внутри температурного пограничного слоя имеет место максимум температуры, который растет с возрастанием числа М . Такое явление объясняется дисснпацией механической энергии газа в пограничном слое за счет вяакостн.
Подтвержление этого факта можно видеть в графике для случая Т = Т, где по оси ординат отложено выражение, содержащее в знаменателе температуру здиабатического и изэнтропического торможения Та. При такой интерпретации распределения температур величины максимумов не зависят от роста числа М , а положение максимумов с ростом М несколько оттесняется от поверхности пластинки. 9 69.
Продольное обтекание пластинки при числе Прандтля, равном единице Если принять е = 1 и сохранить произвольным значение показателя и в законе зависимости коэффициента вязкости от температуры, то из уравнений пограничного слоя можно сделать общий вывод о связи между температурой и скоростью.
Обратимся с этой целью к первой форме уравнений пограничного слоя, представленной системой (8.22). Полагая в третьем уравнении системы о = 1, получим линейное относительно Ьа уравнение даат ддо д I дда 1 ри — '+ро — '= — р. — ' дх ду ду) ду )' которое в случае с(рЬтх = О, в силу первого уравнения системы (8.22), имеет очевидный частный интеграл (а и Ь вЂ” постоянные) Ь =аи+Ь. (10.39) Вспоминая (8.13), можем этот интеграл, носящий имя итальянского аэродинамика Л. Крокко'), переписать в виде (а'. Ь' — новые постоянные) Т Д - — — — М 1-- — ) +а' — -+Ь', Т 2 "~и„) гГ„ Используя граничные условия Т= Тм при и= О, Т= Т нри и=У, определим а' и Ь', после чего найдем следующую квадратичную связь между распределениями температур н скоростей в погранич- ') Сгоссо 1., 1'Аего1еспгса 12 (1932), и 89)' овтвклние пластинки пни числя пяандтля, ванном единица 331 ном слое при а = 1; — М„'~ — ")'+(1 т +' — Мв) ° + т,.
(10.41) Обозначим, как и ранее, аначком нуль температуру, соответствующую адиабатически н изэнтропически заторможенному газу; тогда для любой точки пограничного слоя и, следовательно, согласно (10.41), будет существовать линейная связь между температурой торможения и скоростью: (10.42) На внешней границе слоя (и = 0 ) и на поверхности пластинки (и = О) будет т =т„(1+ и„), т =т . Из (10.42) и последних формул непосредственно следует равенство т,— т, (10. 43) т,— т„и служащее обобщением на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях известного уже нам по 9 58 соотношения подобия (9.10). Согласно (10.43), можно утверждать, что в любом сечении слоя при е= 1 и произвольном показателе степени л в законе зависимости вязкости от температуры поле перепадов температур торможения газа подобно полю скоростей.
Определение профиля скоростей по сечению пограничного слоя для случая а= 1, а вместе с тем по (10.41) и профиля температур, представляет значительные трудности, так как приводит к необходимости интегрирования сложного нелинейного уравнения второго порядка. Для составления этого уравнения исключим в из совокупности первого уравнения системы (10.14) н результата дифференцирования того же уравнения по г, (д"-'у )'+ру =0, (й — ) +4Р'+Р Р"=0. 332 лАмннАРный слой нА плАстинке В пРОлольном потоке !гл.
Х умножнм с втой целью первое уравнение иа р", второе — на ил и вычтем почленно одно нз другого. Получим (й -1~л)л~л+Е рл* — (й — рл)'р"'=О. Примем во внимание. что безразмерная знтальпия й является, согласно интегралу (10.41), известной функцией безразмерной скорости и; кроме того, вспомним, что функция ~р(ь) была выбрана из условия и = — р'(ь). Полагая 1 р'=2и, йл 'и'=з, Перепишем предыдущее уравнение в форме ила 2и в лил у,л-~ (и) (10.44) (4 — „", +~) РР=О, следует граничное условие (срл+О, у = 0 при и = 0) — =0 при и=О. йз йи (10.45) Имеем, кроме того, по определению з (10.45') Л=О при и= 1.
Эта точка является особой для нелинейного уравнения второго порядка (!0.44). Полагая в правой части уравнения и = 1 и замечая, что прн этом по (10,41) будет й = 1, составим приближенное урав- нение с!ла а — у= — 2, йи интегральные крнвые которого совпадают с искомыми интегральными кривымн точного уравнения (10.44) вблизи особой точки и =1, в=0.
Определение интегральных кривых приближенного уравнения не составляет труда. Имеем (а — постоянная интегрирования) ил ила 2 из /Фз ~т — — — — — ( — ) = — 4 !п(аз), ли лил а ии ' ~ ии) причем предполагается, что л(и) заменено его выражением согласно (10.41). Исследование случая а = 1, связанное с интегрированием уравнения (10.44), по существу уже не использует преобразование Дородницына, так как координата у не входит в число аргументов. Из первого уравнения системы (10.14), переписанного в преобравованной форме 00) овтякания пластинки пан числе пялндтля, яавном единица ЗЗЗ ~ткуда прн помощи подстановки — 1п(лз) =за ~ использования граничного усаовия (10.45') легко получить и = 1 — — ег1 ~У вЂ” 1п (аз)~ .
У 2а ; аг 'ы 4» г Ю г» г» гг ;» уг а Ю ж» г» .тг Рис. 70. каааны распределения безразмерных скоростей 'етствуюшие условию отсутствия теплоотдачи /дТ~ тикки [пластинчатый термометр, ' ~»у),= = и температур, соотс поверхности пла- 0] при показателе Задаваясь различными значениями произвольной постоянной инте- -пирования а, выберем такую интегральную кривую, чтобы, выйдя ~рн ее помощи из особой точки и продолжая затем численным ме-одом интегрирование точного уравнения (10.44), прийти в точку яя , = 0 с нулевым значением производной — = 0 в соответствии граничным условием (10.45). Таким образом определяется функция г(и), зависящая также от ~араметров М, Т '1Т, А и л, а аатем н функция и(С). На рис, 70 334 лАмннАРный слОЙ нл плАстннкв в пводбльном пОтОке 1гл.
х 4 д 70 70 ~/й Рнс. 71. ф 70. Уравнения Нрокко Наличие при а = 1 простой квадратичной связи (10.41) между энтальпией 7г и продольной компонентой скорости и наводит на мысль попытаться и в общем случае использовать в качестве одного из аргументов скорость. Переход в уравнениях пограничного слоя степени п в законе зависимости коэффициента вязкости от температуры, равном 0,76. Как видно из графиков, в этом случае отчетливо виден факт резкого выполаживзния и спрямления профилей скорости, а также рост толщины пограничного слоя с возрастанием числа М Вместе с тем обрагцает на себя внимание сильный рост температуры пластинки, естественный при отсутствии теплоотдачи (охлаждения). Как будет показано в 4 75, в действительности столь резкое возрастание температуры поверхности пластинки не наблюдается, так кзк при высоких температурах уже нельзя пренебрегать лучеиспусканием, заметно снижающим температуру поверхности.
На рнс. 71 для сравнения со случаем отсутствия теплоотдачи приведены данные по распределению скоростей и температур в погра- 1 ничном слое пластинки при охлаждении ее поверхности~ Т = — Т ). Наблюдается резкое ослабление 00 только что перечисленных для 0,0 г 0 случая отсутствия охлаждения и М„-70 фактов. Кривые скорости стано- 0 00 Ф вятся менее пологимн и более 04 искривленными; толщины погра- !70 пичного слоя при соответствующих М существенно уменьшаются. Наконец, максимзльные 0 температуры, значительно мень~о 4 шие по величине по сравнению со случаем отсутствия охлажде- Г ния, достигаются уже не на пог верхности пластинки, з в толще г пограничного слоя. 0 Как уже отмечалось, рас- 0 смотренный только что метод интегрирования уравнений (10.14) ври а = 1 уже не связан, собственно говоря, с преобразованием Дородницына, а приближается к методу, основанному на использовании в качестве аргумента вместо у продольной скорости и (метод Крокко), о котором пойдет речь в следующем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
