Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 57
Текст из файла (страница 57)
несколько оольшим, чем при постоянном давлении. При приближеши к передней кромке напряжение трения достигает максимума и Рис. 77. :атем падает до нуля, в то время как при постоянном давлении ~но. как известно, стремится к бесконечности; однако, по-видимому, -близи передней кромки решение Го Юн-хуая недостаточно точно. 856 ллмннлгнын слой нл пластинка в продольном потоке [гл. ф 74. Нестационарные явления на безграничной пластинке, импульсивно приведенноН в равномерное движение Расчет нестанионарного пограничного слоя, образующегося пр~ прнведешш пластинки в движение в своей плоскости из состояни: покоя, связан с очень сложными математическими выкладками. Всь существующие методы подхода к решению этой задачи являютсг весьма приближенными и основаны либо нз линеарнзапии, лнб~ на разложениях по степеням числа Маха, которое при этом, естес венно, прслполагается не слишком большим ').
Основные физические особенности явления можно отчетливе изучить, если рассмотреть следующую упрощенную постановк вадачн т). Бесконечная пластинка приводится импульсивно из состг. яния покоя в равномерное движение в своей плоскости с постоя». ной скоростью (7. Пластинка предполагается теплонзолированноь число Прандтля равным едишше, коэффициент вязкости пропоршн нальным энтальпии. Безграничность пластинки позволяет считать, чте все характерные для задачи переменные величины (и, о, р, р, Ь зависят только от у (координата.
нормальная к плоскости пль стинки) и е, Полная система уравнений движения вязкого газа, согласно (8.1), (8.9), (8.11) и (8.14), имеет вид лр . д(рп) ду з дп1 дрр 4 д Е де1 Р—.-+ и — 1= — — + — — (Р— 1, 1оЕ ду) ду 3 ду(' ду)' (10. 98 +ду(1 ду)' здесь и палее индекс 0 относится к покоящемуся газу. Граничны.
') Н о ъ а гг Ь 1, Япагг. Зппгп. о1 Ыесв. апд лрр!. Май. 4, № 2 (1951, 157 — 169. 111~пджоеЕЬ С. и'., Ргос. СапеЬг. РЫ1. 5ос. 46 (19йо), 603-61' 5~емаггзоп К., С)пать Зопгп. о1 Меев. апд Арр1, Май. 4, № 2 (1951, 182-198. а) ч. 0 у 1Е е М., 2ензсЛЕ. 1. Ап9еае. Май. и. РЬуз. 3, № 5 (1952), 343 — 35' а 741 нестлппонлгныт. явления нл везгглничной пластинке 357 и начальные условия представятся так: и(у, г)=0, о(у, г)=0 при !=0.
и(у, !)= У прп у=О и !)О, р(у г)= ро Р(у ')=ро при !=О, дд — — 0 прн у=О. ду (10.99) Переходя от у к переллениой Дородннцына л и вводя тождественное преобразование времени 1=~ — 'ду, Е=Р, о (10.100) получим д д дЧ д д р д д! д0 ' дт дЧ ду Роди' так что оператор, фигурирующий в левых частях второго, третьего и четвертого уравненвй системы (10.98), будет равен Но в силу первого уравнения той же системы у У дЧ 1 Гдр 1 Гд(Ре) о дт Ро ! дт Ра.) ду о о так что предыдушее равенство переходит в такое: д д д — +о — = —. д! ду де ' (10.10!) Кроме того, в соответствии с последними двумя равенствами системы (10.98) получим (10.102) РоРо ЛоРо Ро (10. 103) Таким образом, после проведения указанных преобразований придем к системе уравнений (оо=!лв(ро) 358 лАминАРный слОЙ нА плАстинкв в НРОдольном потока [Гл.
Имея в виду дальнейший путь расчета последовательными прь ближениями, преобразуем систему (10.103) тождественно к следи щему виду: 1 др 4 д (р де) ди ро до! 3 'о дя !ро дч 7 да (10.104 Остановимся на решении типа пограничного слоя, справедливоь Рог лишь при болыпих значениях числа Рейнольдса Ке= —, практя чески — пря больших 1. При этом правые части уравнений (10.104 становятся малыми и могут быть в первом приближении откинуты тогда в первом приближении получим решения Р=ро и=Рог(С, 7г=йо+(Ги — 2 иа (10.105 1 где введен новый аргумент (10.106 2г' оа В этом приближении имеем )М= У/а~; аз=(й — 1)ло] Ро = ~ = — = 1+(й — 1) Мзег1Ь ° (! — — ег1С).
(10.107 — 'Р -Ио-до= 2 Связь между координатой у и переменной Дородницына о! получим, замечая, что Р и, следовательно, по (!0.107) придем к результату у = о! ~ 1 -+ (Л вЂ” 1) М' ~ ег1 ь ~1 — — ег1 ()+ + = — Ег1 (У2 ч) — = — е-О Ег1 1Д . (10.108 1 1 — ! 1 'г' 2я ).— с Здесь приняты обычные обозначения Л Ег!» = =- / е-РШ, ег1х = — / е-вг(1.
— у — / е $74) нестлчионляные явления нл визгвлничной пластинке 359 Чтобы определить поперечную скорость о, применим оператор (10,101) к аргументу у; тогда по (10.108) найдем У Мт аг' о 1 — Ег((ф/2"„) — е оЩ г~. (10.109) Во внешнем потоке (ь=со) получим (и)с= = у2. М Р' иоо' (10.110) а соответствующее значение толщины вытесн ния е'(1) определим, как ! 3'И)=У( ). И=у/2 (й — 1)М'У А (10.111) о Скорость о по (10.111) можно рассматривать как скорость поршня, расположенного в точке у= а"(1) и вытесняющего газ при движении пластинки. Чтобы исследовать создаваемое этим поршнем поле давлений, перепишем систему (10.98) в виде др до до др — +Р— =(Р— Р) — — ' —, ° дГ оду о ду ду' ди ди ди д / ди'1 Ро (Р Р) — Ро + Р— дт = о де ду ду(, ду) ди др до до 4 д г де ~ Ро + =(Ро Р) Ро +, ~Р дг ду дг ду 3 ду ! дуу' дд др да дл др Ро — — — = (Р— Р) — — Ро — + — + да де = о дт ду ду (10.112) которое при начзльном и граничном условиях е(у, 0)= — '=О, до(у, 0) дГ ю (О, г) = — — .Ъ(2 й/ то » (10.1! 4) (С > 0) Откидывая в первом приближении правые части, получим для о обычное уравнение распространения малых возмущений в идеальном гаае — — — — =О, (10.!13) дуз аз дГз 360 ллминлвный слой на пластинке в пгодольном потоки !гл.
х а = —.— М !г — при Л вЂ” 1 а чо )~ 2я Г У/ао о=О при у/а„> / ' О. г > у/а, > О, (10.115) Аналогично выразится н разность давлений р — р„; получим 2 ~0 р=р„+ . Т оооо у (10,116) При малых значениях величины у/(ао/) можем представить это решение в форме ряда Р=ро+ — МРоао~' г ~!+2 г+ или, переходя к переменным г. и 0, а — 1 о ~о Л вЂ” 1 Р = Ро+ = М Роао ф' — + — М Роэо — + . (10 117) У2я ' Р'2к Получив в первом приближении поле давлений во внешнем потоке, перейдем к вычислению второго приближения для распределения давления в пограничном слое. Для этого, исходя из первого приближения (10.105) для р, т.
е. используя равенство р = р, и значения о по (10.! Оо~, полет внм эти значения в правую часть первого равенства системы (10.104) и п ~оинтегрируем обе части по ей найдем р = Мо О' — о 1 — ".е и Ег1гэ+ — ЕЕг1!и' 2 ",)]+С(0), (10.118) где С(0) — произвольная функция времени, которая должна быть определена из условия срашивания этого решения с решением (10.117) для внешнего потока.
При больших (. будем иметь вместо (10.118) асимптотическое равенство Р- МЯРО о — "„+С(0). Л вЂ” 1 (10.119) Сравнивая с (10.117), убедимся, что с точностью до к " следует положить внутри пограничного слоя л — ! а - ы р=р+ — — '! роао1г— 'г' 2зс (10.120) (второе условие, как всегда в задачах такого рода, выполня~тся при у = 0 вместо у = — 0') будет иметь решение ф у41 нвстлчионзоные явтеггггя нх ввзггюгггчнпгг пзхстинкв 361 с нулевыми начальными н граничными условиями и' (у, 0) = — — ' = и' (О, С) = О, (10. 122) ди' (у, 0) д/ имеющему решение ! 2 а' — ! /г(/г 1)Мз чо ге ' (10.
123) убывающее до нуля на бесконечном удалении от пластинки. Далее, можно найти и распределение энтальпии во втором приближении. Соответствующая поправка /г' к первому приближению (10.107) будет равна й'= — М(/ ог' — о!1+ — Моче "Ег1Г)~. (10.124) Подсчитав по исправленному значению и новые значения р и т), найдем поправку о' к поперечной скорости в виде а 1 Мг чо г г г 1 9'= ° — — '" 1+-/г(/г — 1)МЗ[ЕГ1ч11 — — ЕГ(ст— — =че-о Ег! (~ ~.
2 Мв (! О. 125) Применяя вновь ту же схему «поршня», что и при выводе уравнений (!0.115) и (10.116), найдем выражения для о и р во внешнем потоке во втором приближении: С вЂ” у/ао (/г — 1)г М4 а — 1 )' 2ч + а+! у/а, С вЂ” у/, /' /! 2в а, С вЂ” у/ао ! М(/р, 1/ (Л !) М4, чо (1 2в Ро С вЂ” У/ао 1 (10. 126) 1о = /го+ /г+1 С вЂ” 2у/ао) 4 С у/ао Вводя малую поправку и' к продольной скорости и. рассчитанной по первому приближению (10.105), сможем найти эту поправку, подставляя в правую часть второго равенства системы (10.104) вместо и его значение в первом приближении и вместо р его выражение по (1О.!20), Тогда придем к неоднородному уравнению — — ч — = Мз)г ч В 'Ое ' (10.121) ди' д'и' А (Ф вЂ” 1) дв о дт' )Г2 о Зб2 ллминьвнып слой нл пластинке в пгодольном потока [гл х Аналогичным путем вычисляется и третье приближение.
Приведем в заключение выражение для местного коэффициента трения су, рассчитанного в третьем приближении с = — ~! — ( ° — [1+ А (Ф вЂ” 1) Мэ[~ ° (10.127) Полученное решение пригодно только при условии, когда, как это имеет место в пограничном слое, поперечная скорость и мала по сравнению с (7 и, кроме того, применение линеаризнрованных уравнений распространения волн возмущений лопустимо лишь при условии, что скорость движения «поршня» тг мала по сравнению с ае. Эти условия накладывзют следующие ограничения на основные параметры явления М и Ке: Мз Мз =((1 — - ((1 ггйе г' йе Рассмотренная задача является интересным примером взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
