Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 59
Текст из файла (страница 59)
оо.ня о Аналогично решается вопрос об обтекании пластинки с заданной постоянной температурой поверхности 6 . В этом случае надо различать величины 6 и 6(0)=Он, так как, согласно (10.134), .( )... 2а (дТ) а при наличии теплоотдачи правая часть уже не равна нулю. Реше- ние имеет вид (ре(ч) то же, что и в предыдущем случае! Ва(ь)=ба — 2 ()1 — 1) ги (ге(()+Г1+ 2 51 ел!+о(ч) "г(") = Ъг бя'7е(")' 6,(С)= — (й — 1) 31 ~7Г~ р~" (г)+ — а+1)'".('-(- 2 '"- — ')'- '"' (10.149) 24 заж аят. л. г. лсацянския В системс (10.!431 нетрудно узнать обычную постановку задачи Влазиуса для газа при з = 1, и = 1 и при условии отсу~стеня тепло- отдачи с поверхности пластинки.
Отличие от уравнений (10.18) и граничных условий (10.15) и (10.17) заключается толко в числовых коэффициентах и объясняется разницей в определении аргумента Г; в равенстве (10.13), в отличие от второго из равенств (10.137), введен множитель '/т, Значения функции ре(ч) и ее производных приводятся в таблице 1. Эта функция тождественна функции о(~)), определенной в 9 4.
Функция бе(0) легко определяется из второго уравнения (10.143) и, так же как и в 6 68 (см. (10.29)], равна 370 ллминляиый слой нл пластинка в пгодольном потока 1гл, х Оно удовлетворяет граничным условиям О,=б,, О,10)= 2"', У"В,В,'(0), В,< )=1, 6,1 )=0. Приводим в заключение сводку результатов расчета основных, наиболее интересных величин для двух режимов: 1) отсутствия тепло- отдачи с поверхности пластинки и 2) задания ее температуры. Сохраняя члены только с е в первой степени, т.
е., как ранее уже упоминалось, пренебрегая в решении членами, порядок которых одинаков с опушенными при составлении уравнений, получим: 1) при отсутствии теплоотдачи с поверхности пластинки ~1~" (О) = 0,332~ (10.150) и (Е/ =0332$/ 1+ 2 М Т„~Т = т)Т = 1+ — Ма, г т =0,332р У ~г 2) прн заданной температуре пластинки Т и /У = 0,332 у'0 е= 0,332 — ~ е, . Ги„ т„=0,332р У ~г' ') См. цитированную выше статью Л. И. Бунимовича.
Анализ полученных выражений показывает. что в принятом при.ближении в случае отсутствия теплоотдачи только наличие скольжения (тем более сильного, чем больше М ) отличает разреженный газ от неразреженного. Температура на поверхности пластинки и напряжение трения остаются при атом неизменными.
Во втором случае, когда задана температура пластинки, проявляется влияние раареженности газа на его температуру у поверхностк пластинки. Вычисленная попр вка зависит не только от М, но и от отношения Т1Т . Сделанное предположение о линейности связи между р и Т позволяет применять полученные результаты только в случае сравнительно низких температур. При высоких температурах, как мы знаем, следует пользоваться значениями показателя и, меньшими единицы'), гллвл хг ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ С ПОСТОЯННЫМ ДАВЛЕНИЕМ ф 77. Ламинарный пограничный слой на конусе в продольном сверхзвуковом потоке Настоящая глава по своему содержанию служит прямым продбглжением предыдущей: в ней рассматриваются примеры пограничных слоев также с постоянным давлением на внешней границе, но отличные от продольного обтекания пласткнки. Таковы примеры продольного обтекания кругового конуса, образования пограничного слоя на стенке ударной трубы, плоской струи в затопленном тем же газом пространстве, пограничного слоя на вращающемся з газе диске.
радиально-шелевой газовой струи, распространяющейся вдоль твердой стенки и свободной закрученной радиально-щелевой струи. В заключение главы мы возвращаемся вновь к случаю продольного обтекания пластинки, но рассматриваем его в предположении, что газ в силу тех или других причин приведен в равновесное диссоциированное и ионизированное состояние. В последнем случае учитывается наличие влектропроводности газа, в связи с чем движение в пограничном слое изучается при взаимодействки газа с внешним магнитным полем. Рнс.
78. Начнем с рассмотрения пограничного слоя на поверхности кругового конуса, симметрично расположенного в однородном сверхзвуковом потоке, параллельном оси конуса. Будем предполагать. что угол РаствоРа конУса бе (Рнс. 78, а) соответствУет пРи заданном числе Маха Ме набегающего потока случаю наличия присоединенной к верШине конуса ударной волны, на рис. 78, а не показанной. За этой 24* 372 пОГРАннчные слОи с постоянным лАВлением [гл. х! д (ри) + 1 д (рэ) + 2ри дг е да г (1 1.!) и соответствУющие им гРаничные УсловиЯ (6 .Р Ое — Условный Угол, представляющий границу слоя) — е.
=е, е=е ( — =е) р 1=1„ дд дз = (! 1.2) и — Ри,, 7! — ~.рг, при О-ьб с уравнениями пограничного слоя и граничными условиями на пла. стинке (рнс. 18, б) в том же газе — + д (ри) д (ре) =О, дх ду дл т!=О, )г=д (или — =О) при У=О, ду (1 !.3) и=О и-ьпе, ь-! Ае ПРН У +со. ') Нап!Яасяе Мг., цгепд! !!., еапгвяси 1941 дег децыспеп 1.ий. 1авг!!Огзскипй, стр. 1-76, 77, волной движение идеального (невязкого) газа будет потенциальным И «КОНИЧЕСКИА!», т, Е. ВСЕ ПаРамстРЫ гаЗа ДОЛЖНЫ СОХРапатЬ ПОСтОЯН- ные значения вдоль любой конической поверхности, соосной с обтекаемым конусом, имеющей общую с ним вершину и расположенной между ним и ударной волной.
В частности, давленпе в этом движении идеального газа должно сохранять постоянное значение на поверхности обтекаемого конуса, а следовательно, по иввсстному свойству пограничного слоя, давление будет постоянным и во всем пограничном слое в вязком газе. Этот факт сближает движение в пограничном слое на конусе со случаем продольно обтекаемой пластинки. Можно показать, что между этими двумя движениямн существуег простое соответствие '), С этой целью сопоставим уравнения пограничного слоя на конусе в сферических координатах (рис. 78, а) д 77) ллминавиый слой на конвое в свврхзваковом потоке и = и (ч), о = —, и = и (ч), ч=у)у'х, (! 1.4) а для пограничного слоя на конусе — з аналогичной форме о (с) о=— )рг ь = й (С), и = и (ь), (1 1.5) )"г Тогда система уравнений (11.1) переходит в систему обьпсновенных дифференциальных уравнений С й(ри) д(ро) — + +2ри=О, (11.6) а система (!1.3) — в следующую: ( 2Р +Р ) сК~ лт.
(! сЧ)' — — С вЂ” + — (р!г) = О, 1 и(ри) Л 2 Л йь ( 2 +Р ),~Г с~Р(Р ~11)+~ (~Р) ' и=О, У=О, Ь=Уг (илн — „= О) при (=О, (1 1.7) и — ьи,, Л-ьИ, при ч-ьсо. Если в системе (11.6) совершить дополнительное преобразование Замечая, что обе задачи автомодельны (образующие конуса, так же как и линия пересечения пластинки с плоскостью чертежа — полу- бесконечные прямые, и нет характерного масштаба длины), будем искать решение задачи о продольном обтекании пластинки в обычном виде: д 77] ллминлгный слой нл кентов в свегхзвяковом потока 375 Сравним напряжения трения:; — на конусе и ~,„ — на пластинке. Имеем — ~~ ='у'3 Г'г) = ф'З~р — ) =~/Зт~, г л'ь" с=о лу я=а Е ) 2лг'г' 3: яг е (4!Уг 3) с 2ягт ег е — Г яеяь' 2 2 е 8 — р,я,'Ль' 1 где постоянная с=с. у' г, а второй— с 4) ~,Их 1 2 1 2!/ 2 ГеиеЕ я Геке~ что при равенстве величин и, и и, приводит к высказанному заключе- 2-— иию.
Точио в таких же отношениях Ь'3 и — ~' 3 находятся мест- 3 иые и средние коэффициенты теплоотдачи. К тем же результатам можно прийти проше и с гораздо более общей точки зрения, применяя к уравнениям пограничного слоя иа продольно обтекаемом конусе преобравование Е. И. Степанова, обобшениое, как уже упоминалось в й 32, на случай пограничного слоя в газе Манглером. Преобразоваиие это заключается в переходе от кеордииат х, у, отсчитываемых вдоль меридиональиого сечения поверхности тела вращения и по нормали к нему, к координатам х, У в соответствующем плоском пограничном слое по формулам т. е.
при одном и том же значении абсциссы г=х напряжение трения иа конусе в у' 3 раз больше, чем напряжение трения на пластинке. Точно так же убедимся. что коэффициент полного сопротивления 2 .г— треиия иа конусе при прочих равных условиях в — у 3 раз больше 3 соответствующего коэффициента на пластинке. Действительно, пер- в14Я из этих коэффициентов равен 376 ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ С ПОСТОЯННЫМ ДАВЛЕГ!НЕМ (гл, хо (го — радиус поперечной кривизны тела вращения) к х = / го(1) д: у = го (х) у о (! !.13) и сохранении всех остальныи параметров потока: ио=им (о=(о р=р, Д=Д, р=р, и=и, (1!.14) Р=Р кроме поперечной скорости о, которая преобразуется согласно равенству — е го (х) О= — + уи.
(11.15) го го Составим уравнения пограничного слоя на теле вращения при продольном его обтекании газом (сравнить с (5.6) 3 30] в координатах х и у, причем используем то приближенно, о котором шла речь в 3 30 при выводе системы уравнений (5.6); тогда получим Д ('оР") Д (гоРО) О (11. 16) Введем функцию тока (о(х, у) согласно равенствам 1дф 1д~ (11. 17) д е Д, д г~о =+го(х) у= Дх о Дх о Ду Д д Ду Ду (11.13) к системе равенств (!1.!7), получим Д, ги= — г =, о = о р ду ДР , 1 ДР гоп гоз = — го(х) у ° вЂ”вЂ” о Дх о Р Ду удовлетворяющим второму уравнению системы (11.16), Применяя преобразование (11.13), согласно которому й 77) ллминлрный слой нл кон>се в свврхзвуковом потоке 377 Применяя к первому и третьему уравнениям системы (11.16) преобразования (!1.!8) н используя для второго уравнения той же системы равенства (11.! 9), получим по (11.14) следующую систему уравнений в новых переменных: — + =О, д (ри) д (ре) дх ду (11.20) совпадающую с уравнениями пограничного слоя в плоском гаювом потоке; совпадут и преобразованные граничные условия.
Пользуясь этим общим преобразованием в рассмотренном в начале параграфа частном случае конуса, будем иметь по первому равенству системы (1 !.1 3) 1 го(х) = ах, х = — азха у = аху, где а=а(па (а — половина угла раствора конуса). Сравним между собою, например, напряжения трения для конуса, -., и для пластинки, -.. По второму равенству системы (1!.13) получим в соответствующих точках (х, у) и (х, у) общее соотношение те» = р„, ( — ) = р ~=) ° ( — ) = т, го — — -. ах. (11.22) ду у=о ду у=о ' ду у=о Вспомним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
