Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Таблица 30 5,0 2,0 1,5 1,2 3,0 4,0 0,925 1,122 0,444 0,785 0,6!8 0,526 0,190 0,386 0,262 0,220 0,427 0,331 0,745 2,760 0,254 0,283 0,239 0,413 ельная простота решения этой аадачи определялась о стенка ударной трубы считалась безграничной, а газ аа вол- однородным. Только благодаря этим допущениям удалось .явести обращение движения, которое привело к постановке про- стационарной задачи. Недолимые трудности предста- У' яет решение существенно не- 77 У .ационарных задач.
возникающих гри более строгом рассмотрении 77 стз Р' л' ,ействия ударной волны на огра9иченную по размерам стенку. Представим себе, например, !Олубесконечную пластинку Ох, 7/ I гомешенную параллельно стенкам Рис. 83. 'дарной трубы. Пренебрегая влияянем стенок, попробуем изучить явление взаимодействия пластинки Ох проходящей вдоль нее ударной волной у'у' (рис, 83). Примененный предыдущем параграфе квазистационарный подход к решению :влачи в данном случае уже, очевидно, непригоден. Как показано .хематически на рисунке, в этом более общем случае из простых чизнческих соображений ясно, что область пограничного слоя ' = ": Ь(х) должна быть ограничена по оси абсцисс точками: 7(л = О) и О'(х = бг), в которых толщина пограничного слоя яаана нулю. 25 зак 997.
л, Г лаакяяскяа 386 погРАничныв слОи с постоянным ЛАВлянием (гл ю Применяя прн решении рассматриваемой сейчас задачи уравнения нестациоиарного пограничного слоя в газе для пластинки ( — = О, / др 1 дг др д„= 0), которые, согласно заключительным замечаниям 9 55, должны иметь вид — + — + др д(ри) д(ри) =О, др дх ду (11. 32) слелует, строго говоря, учитывать граничные условия как по у, так и по х; — =О, ди ду О=О, — =0 при у=О, х(0, дл ду Рг = рг,„при у = О, х ) О. )с=рг при у=со, х < 50 рг = )г при у = со.
х ) 85 и = О = О. и=У, и=О, (11 33) ') См., например, Демь я но в Ю. А„ПММ, т. ХХ1, в, 3, 1957 стр. 358 — 374. Следуя известному приему Блазиуса 8 4), можно отказаться от строгого выполнения первой строчки условий (11.33). Как известно, при этом точка (х = О, у = 0) становится особой. в ней продольная скорость и скачкообразно меняется от значения и = У при х = — 0 до и = 0 при х = +О, а напряжение трения приобретает бесконечное значение. Такое упрощение решения допустимо. если пластинка не слишком коротка, н его можно принять при исследовании данной задачи.
Основные граничные условия, представленные двумя последними строчками системы (11.33), никак не могут быть заменены одним, не учитывающим коренное отличие носовой части поверхности пластинки (х ( Ог). по которой ударная волна уже прошла, от остальной части (х > 81), где газ еще покоится. Такое упрощение привело бы к решению элементарной задачи о стационарном обтекании пластинки по Блазиусу '). Строгое решение системы уравнений (11.32) при граничных условиях, учитывающих различие внешних потоков до волны и за ней представляет значительные затруднения. В качестве некоторого приближения можно пользоваться решением, состоящим из двух частей. 387 9 79) ЛАМННАРНАЯ СТРУЯ В ГАЗОВОЙ СРЕДЕ для стационарного течения в носовой части пластинки — по одному ив методов, изложенных в главе Х, и для квазистационарного течения в области, непосредственно следующей за распространяющейся по пластинке ударной волной, — согласно решению, приведенному в настоящем параграфе.
9 79. Ламинарная струя в газовой среде Рит АУ = сопз! =- Ую (11.34) ри (7г+ — — й )г(у= сонэ! =На, которые легко выводятся обычныи путем из уравнений в размерных величинах (8.22), если использовать граничные условия (индекс оо относится к покоящемуся газу. окружающему струю) дл — =О прн ду ду и=О, у=о, (11.35) при у = со. О=О, !г = й Полагая в дальнейшем число Прандгля равным единице, воспользуемся наличием при такой постановке задачи интеграла Крокко (1О 39), который в размерных координатах можно представить в форме и д-+ — =с,и+с .
2 Лля определения двух констант используем, во-первых, граничное условие для энтальпии (11.35), согласно которочу будет С = Ь , ') То о за е О. О., Ояаг!. )онгп. о! 3!ест. Вял. Арр!. Ма!К 5, раг! 2 (1952). Р е з н н ч е и к о Ю. Т., Труды ЛПИ, № 5 (!953), стр. 32. Простейшей аадачей о «свободном» пограничном слое в газе может служить задача о распространении плоской ламннзрной струи в пространстве, заполненном тем же газом ').
Чтобы иметь дело с автомодельной задачей, булем считать, как и ранее в ч 5, что струя бьет из бесконечно тонкой щели с бесконечно малым расходом, но конечным импульсом. Кроме того, аналогично тому, как это имело место в рассмотренной в 9 64 тепловой задаче, будем считать, что струя переносит некоторое конечное количество тепла. Зададим, таким образом, струю двумя характерными константами, соответствующими двум «законам сохранения» 388 погглничныв слои с постоянным давлениям [гл. х» и, во-вторых, второй закон сохранения (11.34).
приводящий к равенству ри С,и»!у= Но, так что С, = Нэ/ке. Окончательно, интеграл Крокко примет вид (в размерных величинах) Не й= — — + — 'и+7г . уа (11.36) Заменяя здесь х н у на переменные Дородницына $=х, т1= ~ рг!у о »! и вводя новый аргумент г. = г!/$ ~', получим следующие выражения для безразмерных продольной и поперечной компонент скорости: и = 0,454Г 'аесп'(0.275ч), (11.37) о=0,5501 '[0,550чзесп (0,275ч) — !!г(0,275ч)].
~ Сохранив в первом из равенств (11.37) безразмерную переменную ч, вернемся к размерным и и х, для чего вспомним, что иасштабы У и Ь связаны равенством (1.55). Найдем р р кч и = 0,454, ) аес!гз (0,275ч). уо (11.38) Чтобы перейти от б к обычным размерным координатам х н у, представим связь переменной и с размерной координатой у в форме »г уо р ъ л э Примем еще для упрощении задачи линейную связь (и=!) между коэффициентом вязкости и энтальпией. Тогда уравнения з переменных Дородницына (10.!О) и (!0.11) совпадут с соответствующими уравнениями плоской струи в несжимаемой жидкости (й 5).
составленными в безразмерных скоростях и координатах. Используя соображения о масштабах, приведенные в начале $5, перепишем решение (1.63) в форме и = 0,454х Ш» весна (0,275у/хц»), о = 0,550х»а [0,550 (у/хч») зес!гз (0,275 у/х»4) — !и (0,275у/х" »)[. 389 9 791 ллминАРнля стРуя в газовой среде откуда будет следовать (» )ч*» !" а о (11.39) Подставим значение скорости и по (11.38) в равенство (1!.36); получим /н р хх )г= — 0,1031 ) зесй4(0,275".)+ »о + 0.454 — ~~ ) аес!Р (0.275С)+ и . (11.40) Заменяя после этого в правой части (!1.39) величину Ь только что указанным ее значением, найдем искомую связь между х, у/хч1 и С в форме ч х Чз ги р хч -'ь — ) У/хч'= — 0 37457г '~,' ) ~1!1(0,27К)— 3 — — й (0275С)~-';~.651 — *) й(0275Р).)-С.
(Н.Щ Рассматривая С как параметр, найдем нз системы уравнений (11.38). (11.40) и (11.41) размерные продольную скорость и и энтальпию й как функции размерных координат х, у. Полагая в (!1.38) и (11.40) С=О. получим выражения для скорости и энтальпии на оси струи: ярхь (и)г о 0.454 ' т ) »о ь 'ирх" (Уг) „=д -1-0,454 — ~~ ) — О,!031( ) е (11.42) ') Бзй Ши-и, Теория струй, Фвзматтиз, 1960. Не будем останавливаться на дальнейших деталях. так как по соображениям. приведенным еще в Я 5 и 64, рассмотренная задача имеег чисто методическое значение. Задачи теории ламийарных струй подробно наложены в монографии Бай Ши-и'), к которой мы и отсылаем интересуюшихся этой специальной областью теории пограничного слоя. Автор упомянутой 390 пОГРАничные слОи с постоянным лавлением [Гл, х й 80.
Ламннариый пограничный слой иа быстро вращающемся в газе диске Приемами. аналогичными изложенным в предыдущих параграфа.. можно решить и осесимметричную задачу о диске, быстро вращаящемся в газе вокруг оси, перпендикулярной к его плоскость Задача зта в своей постановке и методах решения является обобшг нием изложенных ранее, в й 38 изотермической и в й 63 неизотер мической задач о диске, вращающемся с малыми скоростями, Чтобы сохранить автомодельность, будем, как и раньше, рассматривать диск как безграничную плоскость, вращающуюся вокру перпендикулярной к ней прямой.
Координаты и соответствующи' им компоненты скорости выберем согласно рис. 41, помещенном' в начале главы 1Г!. Дифференциальные уравнения пограничного слоя в газе в рас сматриваемом осесимметричном случае приведутся к виду (малым!. изменениями давления в дальнейшем пренебрегаем) 1 д (гри) д (Рга) — — + — =О, дг дг (11.43 с граничными условиями (в — угловая скорость лиска) О=аг, и=О, Т= Т при я=0,1 ) (11.44 О=О, Т= Т прн л=ж. и=О, и=О, ') Р а ! Я. !., !Оцгп. Аегоп. Яс!.
16, № 8 (1949). монографии применил для решения задачи о смешении двух одн! родных потоков различных газов переменные Мизеса — Прандтля '. Те же переменные можно было бы с успехом применить и длг решения задачи о плоской ламинарной струе, подобно тому как этг было сделано для несжимаемой жидкости в 6 6.
К тому же клзссу задач относятся и задачи о следе за телом о струях, граничащих с твердыми поверхностями, н др. Все они пр! упрощающих предположениях о законе изменения вязкости сводятс. к соответствующим задачам о течении несжимаемой жидкости. д 80) ллминлгный слой нл выство ввашлюшамся в газе диска 391 Следуя в дальнейшем изложении В. П. Шидловскому' ), сохраним для перехода к безразмерным скоростям и нормальной к поверхности диска координате те же масштабы, что и в 3 38, для радиальной координаты примем в качестве масштаба линейную величину у'Й/(в, а за масштабы коэффициента вязкости, абсолютной температуры и плотности — их значения во внешнем потоке; кроме того, удовольствуемся принятием линейного закона зависимости вязкости от температуры.
Положим, таким образом (ьб — угловая скорость вращения диска. штрихами обозначаются безразмерные координаты), п=шгу(г', г'), о=охгй.(г', а'), те= 1~'в.шИ(г', з'), 7=Т, 8(г', а'), р=р О(г', з'), р=(б Т(Т =и 8(г', а'), (в 1/И (11 А5) Кроме того, совершим переход к переменным Дородницына 4=г'=, г, Г = 1 ~ а(г' = / 1)(г(, г()((а(. (11А6) Тогда, если ввести, как обычно, преобразованную поперечную компоненту скорости и(, положив и = пб(( ф в ьб = ит) + т17 —,, (11А7) то совокупность первых трех динамических уравнений пограничного слоя (11.43), автономная от теплового, сведется к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений [штрих — производная по С; принято: 7'(г', г') = 7'(С), аналогично для а н И|: 27'.+ И' = О, уп — Ьу' — гт = ат, гх" — Й8( — 2/77 = 0 (11,48) с граничными условиями У(О)=О, 7(- )=О, 8.(О)=1, 8( )=О, И(О)=0 (1149) Легко видеть, что система эта ничем не отличается от первых трех уравнений системы (6.5) с граничными условиями (6.6), составленных для несжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
