Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таи же как и в Э 7Ъ, вто взаимодействие благодаря проявлению сжимаемости газа приводит к возникновению волн возмущений, при наложении которых друг на друга образуются ударные волны. В только что рассмотренном случае импульсивного приведении в равномерное движение пластинки по обе стороны от нее будут распространяться ударные волны, параллельные поверхности пластинки. Как следует из формулы (10.127), наличие обратного влияния пограничного слоя на внешний поток приводит к уменьшению коэффициента трения, который при отсутствии этого взаимодействия равнялся бы величине.
стоящей множителем перед фигурной скобкой в правой части равенства (10.127). Это уменьшение невелико, так как, по предыдущему, изложенная только что теория справедлива лишь при малых значениях параметра Мз)'[' Ке, т. е. при больших значениях ~. $ уб. Влияние излучения нв распределение температуры в пограничном слое в абсолютно прозрачном газе При высоких температурах, возникающих на поверхности пластинки в газовом потоке большоп скорости, уже нельзя пренебрегать лучеиспусканием, наличие которого резко снижает температуру ее поверхности.
Если считать возлух абсолютно прозрачным, то учет влияния лучеиспускания потребует лишь изменения теплового граничного условия на поверхности пластинки. Это условие должно выражать баланс секундных количеств тепла, подводимого к пластинке за счет теплопроводности газа и отводимого от нее путем лучеиспускання. Будем считать лучеиспускание подчиняющимся закону й уб) влияния излучвния нл глспввдвлвниз темпвяаттвы 363 (10.128) с ь, -'д — т.> — !~ рг=~~=я . 'т'~ .
о Замечая, что (не смешивать число Прандтля з с постоянной Стефана — Больцмана е) Тсо всоси Л вЂ” л Л Т и используя равенство (10.23), придем к следуюшему алгебраическому уравнению четвертой степени для определения искомой температуры: — 1+2 (Л 1)г(~)М р'М„',Т,, р'К, (10,130) где под К понимается величина ~тз й с ),г(л — 1) с т Сложнее решается задача об учете влияния лучеиспускания в случае абсолютно нетеплопРоволной пластинки. В этом слУчае Тн пРед- (10.131) Стефана — Больцмана. Если материал пластинки абсолютно тенлопроводен, то суммзрный баланс по всей поверхности пластинки длины Е приведет к граничному условию (а — постоянная Стефана— Больцмана лля абсолютно черного тела) А с у Л (%),гх = ~, (у". Т„ь),(х.
Если же материал пластинки абсолютно нетеилопроводен, то граничное условие будет иметь локальный характер Л ( — ) =а(Тн — Т ) (10.129) В промежуточном случае не абсолютно теплопроводной пластинки (коэффициент теплопроводности й имеет конечное значение) необходимо в последнем равенстве дополнительно принять во внимание отвод тепла вдоль поверхности пластинки, что выразится дополниЛзу тельным членом — л л, в правой части этого равенства.
Останолхе вимся на, первом случае абсолютно теплопроводной пластинки . (Тж = сопл(), причем примем для простоты линейный закон зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Тогда, воспользовавшись готовым решением $68, а именно формулой (10.32). получим 364 ллминаеный слой нл пластинка в пголольноч потока (гл, х ставляет собой функцию х и определяется из обыкновенного дифференциального уравнения'), которое составляется приближенным способом из основного уравнения баланса энергии в пограничном слое, в случае Т эь сопя! представляющем собой уравнение в частных производных. В только что цитированной работе И. Н, Соколовой можно найти анализ промежуточного случая конечной теплопроводности пластинки.
Там же приводится пример расчета температуры поверхности пластинки длиной 5 = 5 лг, которая движется на высоте 1О к.и (Т = 233') со скоростями (/ = 336 м(сек (М = 1,!2) и (7 = 1342 м/сея (М = 4,47). В первом случае температура поверхности пластинки Т = 263' (при абсолютно тепло- проводной пластинке) и Тм = 260' (при абсолютно нетеплопроводной пластинке), в то время как при отсутствии лученспускания было бы Т = 279 †: 271'.
Уменьшение температуры за счет лучеиспускания в этом случае невелико. Иначе будет во втором случае, когда М = 4,47. Вместо температуры Т, = 1028 †: 1115' при отсутствии лучеиспускания имеют место температуры порядка Т = 663 †: 618', т. е. абсолютная температура пластинки за счет лучеиспускания в этом случае снижается почти вдвое. Следует оговориться, что принятое значение п = 1 в заноне связи коэффициента вязкости с температурой при высоких температурах нелостаточно точно.
Первое теоретическое исследование влияния лучеиспускания на температуру пластинки, расположенной в продольном газовом потоке больших скоростей, принадлежало И. А. Кибелю э). Случай произвольного и при а = 1 был разобран Хантцше и Венлтом з), приведшими решение вопроса к рассмотрению уравнения У2 д(0)УМ, (! — Т!Т + — М„) т т — '( т ) =)!К' (10'132) где К определяется по (10.131), а л'(О) представляет собой решение системы (10.54) при а= 1 и т)=0. $ 76. Продольное обтекание пластинки слабо разреженным газом при учете скольжения Строгое рассмотрение задачи о движении газа в пограничном слое в области значений чисел Рейнольдса и Маха, где уже нельзя пренебрегать влиянием скольжения газа вдоль поверхности тела, ') Соколова И. Н., Температура пластинки в сверхзвуковом потоке с учетом излучения, Сб.
теоретических работ по 'аэродинамике. Обороигиз, 1957. стр. 206. ') К и бе л ь И. А., ДАН СССР 25, )Чь 4 (1939). ') Нап1гзспе Ъ'., цгевб! Н., Запгбисп 1942 бег бев!эспеп Ьзй1апгг(огэсйипй, стр. 1 — 40. 8 76]' овтрклннр рлзргжанных! глзом пгп счете скотюкяния 365 представляет аначительные и по сие время непреодоленные трудности. Сложность этого вопроса связана, как уже было ранее (9 56) выяснено, с необходимостьк~ отказз нс то:п,ко от уравнений пограничного слоя, но, собственно говоря, даже и от тех, более общих уравнений Навье — Стокса, первым приближением к которым являю~си уравнения пограничного слоя.
Что касается уравнений Барнета, представляющих собой более точное приближение к общим кннс~иче ким уравнениям движения газа, чем уравнения Навье — Стокса, и стожки, непосредственно на пути исследователя, который по келал бы достич существенного прогресса в задаче о движении разреженно~о газа, то на их интегрирование вряд ли люжно рассчитывать в блгпкайшее время. Ряд исследовзтелей (В. П.
Шидловский, М, Ф, Широков, А. И. Бунимович, В. П. Мясников у нас в Союзе, Шзаф и Шерман, Белл, Нонвейлер, Лпз и Пробштейн за рубежом), желая отдельно вьшснить влияние спеиифическнх для этой облзсти граничных условий — сколжения газа по поверхности тела и разрыва в иамененпи температу1ы при приближении к поверхности, — рассмотрели приближенные Р- щения задач о продольном обтекании пластинки, находящейся в сла ю разреженном газе, основанные на использовании обычных уравнений теории пограничного слоя, но с новыми, только что упомянутыми граничными условиями'). Последний из только что питированных советских авторов, В. П. Мясников, вместо обычных уравнений пограничного слоя использовал уравнения следующего приближения Го )Он-хуая, о которых шла речь а 9 73.
Остановимся на рассмотрении случая продольного обтекания 7 др полубесконечной пластинки (- — = 0) слабо разреженным газом, прн(,д.. чем для простоты положим з = 1 и и = 1. Следуя выше цитированному решению В. П. Н!низовского, будем исходить из обычной системы уравнений погрзничного слоя (8.22), приобретающей в данном случае вид ди ди д / ди ( д(ри) д(рв) ри — +ро — = — г!л — ), — + =- О, дх ' ду ду( ду )' дх ду ') Шидловский В.
П., Изв. АН СССР. ОТН.№9, 1958, стр 83 — 93; Ш и р о к о в М. Ф., Физические основы газодн~зиякн, Фнзчатгнз, 1958, стр. 325 — 331; В у нинов н ч А. И., Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение № 5, 1959; Мяс ивков В. ~., тая же, сгр. 127 — 130; Вс Ь а а1 5. А., 8 11 е г ш а п Р. 8., )овгп. Аегоп. 5с!.
21, № 2 (1953), стр.85 — 90(русск. пер, см. сб. «Механика», И1, 1955. № 1); В е!1 5., ()п!ч. о! Са!йогша !пзш. ог Еп81п. Вез., Теспп. Кер. 20 — !05, !955. 366 ллмннленый слой ил пластинке в пгодольном потоке (гл. х ди . ди и=1 — ='1 —, т ду ду и = (.г 2а ду . 2а дТ вЂ” Т = — т — =' — ! — при у=0, и «+! ду а+1 ду Т= Т при у= оо, (10.134) где, как упоминалось в э 66, коэффициент скольжения у близок к длине ! свободного пробега молекул при данной температуре и может быть приближенно ею заменен. Поясним, что температура пластинки Тр в обшем случае не равна температуре газа у поверхности пластйнки Т, которая определяется условием (10.134).
При /дуч отсутствии теплоотдзчи ( — ! и, конечно, Ти = Т . ( ду ~а=о Переходя. как это уже делзлось в $68, к переменным Дородиицына о получим вместо системы (10.133) следуюшую систему уравнений: дои — о д' Ч ди — ди и — -+О— дЕ дч ди дй — +— дЕ дч дао дао ио1оо дЕ дч (10.136) додо =о —" д ч Эамечая, что иа известных соотношениИ (ж — знак пропорциональ- ности, о — средняя скорость пробега молекулы) р=роЕ= Т.
следует, что н, таким образом, Р,/ =М Рг Т„ Исходя из предположения об отсутствии теплоотдачи, получим граничные условия выразим в соответствии с формулами (8.26) н (8.29) (Т вЂ температу поверхности пластинки) а 76! овтаклнив глзгежянным газом пги гчзтв скольжання 367 следующие граничные условия в переменных Дородницына: Г Тм = "!' Т дч' дТ о=О, д —— 0 при т)=0, (10 136) Т= Т при и = со. и =(7, Бведем новые независимые переменные (10.137) и новые безразмерные зависимые переменные и'=и/(7, о'=о1 /», О=Т)Т . (10.138) Тогда, определяя функцию тока равенствами дф дф -, У ~ дф 1 7 дФ дф~ (10.139) перепишем первое и третье уравнения системы (10.135) в виде Граничными условиями для этой системы будут яда ' дф дьФ дф дь ф= — =о, — =о дт да де ' дь" при С= О, (10.141) 1 Е 0=1 при (=со Отметим основную особенность рассматриваемого решения.
Наличие заданного наперед масштаба длин 1 делает задачу не авто- модельной, несмотря на то, что в данном случае, как и во всех задачах типа Блазиуса (Я 4, 58, 68, 69), пластинка рассматривается как полубесконечная. Этим и объясняется тот факт, что после введения второго из комплексов переменных (10.137) уравнения (10.135) не свелись к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим в качестве единственного аргумента С.
Устремив е к нулю, что можно рассматривать как пренебрежение длиной пути своболного пробега молекулы по сравнению с размером пластинки, вернемся к обычной задаче Блазиуса. 368 ллминавный слой нл пллстинкг в пголольноч потоке [гл Будем в свяаи со сказанным искать решение системы (10.140) прн граничных условиях (10.141) в виде рядов ч,б — -т — — (' е(-) и- а;~ (-)+ ="-;т«)+ !— 12 (г 1 =-; ~е(~)+~ (') е~ ( )+ (10.142) О =- Ое(Г) -т- аО,(0)+ еабя(ч) т входящая в первое из граничных условий (!0.141) величина 1~0 также может быть представлена рядом а, 2! Еою 2) аом 'ь ачему) Поскольку порядок величины з равен (Л.— характерный размер пластинки.
о — толщина пограничного слоя) =1 У~~ =0(1.!О)= (М.,Ф'К ), 2уо + 9еуо 0 9о(0)=9о(0) 0 'уо(оо) — 1 О -1- — о Ое — — (и — 1)М о, О (0)=0, Ое(оо)=1, 28 +рой '+~роо =0; р,(0) =О, ~,'(О)= ~'Ое те(0), е', (оо) = 0; Оз + 2 ЬА + 2 тобз = — 2 (й — 1) М- ~ъ'т~',' О;(0)=0, О,( о)=0. (! 0.144) а в самих уравнениях пограничного слоя сохранены члены только до этого порядка вклю ~ительно, тогда как члены более высокого порядка откинуты, то, собственно говоря, при применении разложений (10.142) может идти речь лишь об учете влияния членов порядка е в первой степени, выражающих собой связанную с влиянием разреженности газа поправку к решениям ~уе(ч) и Ое(",).
Подставим разложения (10.142) в систему уравнений (10.140) и граничные условия (10.141), сохраняя лишь члены нулевого и первого порядков относительно а. Путем обычного приравнивзния коэффициентов при одинаковых степенях а получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий к ним (штрих — производная по ".) к 76) оьтеклниа ялзгажанным газом пги гнета скольжения 369 9,(2)=-1+ ', ' М' (1 — 9" (0)], (10.145) (! 0.146) причем 80(0) 6 1 + ч М Обратимся к рассмотрению системы уравнений (1О.!44). Легко видеть, что первое из уравнений этой системы имеет решение рг (() = У бг '7о (() (10.147) удовлетворяющее соответствующим этой функции граничным условиям. Второе уравнение системы (10.144) почленным интегрированиел~ сводится к уравнению первого порядка, после чего ле~ко получить искомое решение е,Я=и — ем' ~~а;;о~1~,'~о)Г(ьччг'к — г~с)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
