Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Значения функций Т, к И могут быть определены, таким образом, по таблице 10, причем б б ° ( — Ю х ( — Й. '( ш.,.. ° б в. п„пмм, . хх>б, . ~, эм, в. !ба — >ы 392 погглничныв слои с постоянным длвленивм 1гл Переходя к тепловой части задачи, обратимся к четвертому уравнению системы (!1.43), которое прн принятых обозначениях (11.45) принимает вид тлр~ +" л = — ~ +'1'(/'+к')' ("50) граничные условия для 6(т), ") будут 9(7), О)/ 6 6(т). Оо)=1.
(11.51) Для решения уравнения в частных производных (11.50) положим, следуя Миллсапсу н Польгаузену, работа которых была процитирована в начале 9 63, 9 (т), ~) = (О,„— 1) / (г) + т яз (г.) + 1, (11.52) что полностью соответствует сделанному в 9 63 представлению решения в форме (9.62).
Для функций Г(ч) и а(ч) получается прн атом два обыкновенных дифференциальных уравнения (9.63), решение которых было дано Миллсапсом и Польгаузеном в выше цитированной их работе (см. также 9 63). Составляя коэффициент момента для диска, смоченного с двух сторон, по формуле С М а (аааа/2) а' р (а'а'/2) аз и замечая, что т =(р.— ) =р. югу'(0) ° м 1г — =р, Л/чалязгй" (0), получим [9'(О) =-0,616[ С (11 53) 1/ ая/ч. Уйе т. е.
ту же формулу (6.14), что и в случае несжимаемой жидкости. Переходя к тепловой части задачи, составим число Нуссельта О ~ 2яга аг аа а о Л Л яа'(Т вЂ” Т )' где (/„, определится как д -(Л вЂ” ) =Л (т — Т„.)~/ — ~/ (0) 4, (0)~. (11. 54) й 81) элспгостэлнкник эадилльно-шалавой газовой стеки 393 Используя вычисленные В. П. Шидловским значения г'(0) и з'(0) при а=0,72 (воздух), получим шгиг т Хп = а )/ — ~0,329 — 0,108 . ° .. 1, (11.55) или. вводя еще число Маха М для точек на периферии диска (г=а), т„ Хн 0 329 0'043Мг — т РТКе' (11'56) ф 81.
Распространемие радиально-щелевой ламинариой газовой струи вдоль твердой стенки Иаотермическая задача о распространении плоской струи несжимаемой жидкости вдоль твердой стенки, разобранная в Э 7, легко обобщается на случай радиальной газовой струи '). Выбирая оси координат так же, как в 9 44 (рис.
47), и имея э виду. что а данном случае трансверсального потока нет (пг = 0). будем иметь уравнения распространения газовой струи в форме (ср — сопя() ди ди д ! ди г Р" +Рп = (Р ) дк ду ду(, ду/' — (рхи) -1- — (рхп) = О, д д дх ду дТ дТ 1.д дТ и ди г Ри —,+ —,= — — д(Р—,)+ —,( —,) . (11.57) Предполагая, что твердая стенка, вдоль которой распространяется радиальная струя, совпадает с плоскостью у = 0 (х отсчитывается от оси симметрии радиальной струи). установим граничные условия =г, =г. т=г ( ~=0) г 7=3, ) дТ ду— (11.58) и-»0, Т вЂ” ь 7 при у — ьоо. ') й! 1е у 1Ч., Лонги. о1 Р!ищ Меса.
4, Уа 6 (1958), 615-628. Удовольствуемся рассмотрением случая радиального щелевого источника струи с бесконечно малой толщиной щели; тогда можно будет построить сравнительно простое автомодельиое решение задачи. Для этого, подобно тому как это было сделано в 9 7, предварительно установим основную формулу сохранения, представляющую собой интегральное условие нетривиальности решения.
С этой целью 394 погелничные слои с постоянным ллвланиам !гл. кг поступим так же, как в 9 7. Умножим обе части первого иэ уравнений (11.57) на х и проинтегрируем по у от у ло со. Используя граничное условие и -ь 0 при у -+ со и замечая, что Рхо д ну=(Рхло! — / и д (Рхо)г(у= ди ~ 1 д ду т,/ ду т г д = — Рхио+ / и — (Рхи) г7у, М получим д дв — / рхатду — - рхио= — йх —. дх,/ ду ' т (11.59) — / Рха / Рхизг)у ду — / — (Рхц) / рхи с(у г(у— е г Ш вЂ” / Р х ФУ+ / Рх и — "г(У=О.
(11,60) ду е е В силу второго уравнения системы (11.57) СО ю Π— / д (Рхи) / Рхи г(у Фу= / / Рхи г!у д (Рхю)г!у= ,/ дх ~./ /,/ 1,/ ! ду е г так что уравнение (11.60) приводится к аиду О ОР— / Рхи ~ / рхятг!у г(у+ / Ррх и — ду=О. (11.6!) е В простейшем случае вр = сопя! (в частности, р = сопз! р=сопз!) второй член в левой части (!1.61) обратитси в нуль. Умножая обе части этого уравнения на рхи и интегрируя по у от 0 до со, получим й 81] РАсиРОстРАнеиие РАаиАлъио-щелраой ГАзоеой стРУи 395 после чего сразу можно будет установить искомый закон сохранения представляющий собой обобщение интегрального соотношения (1.87) на случай радиальной (множитель х) струи переменной плотности (множитель р). Введем функцию тока ф, положив Рли = —, Рхо = —— дй дф ду ' дх' (11.63) д д д д „д дх д;" дч д:- ' д» ' ! ду д» " де ' (11.64) Система трех уравнений (11.57) переходит при этом в такую совокупность двух уравнений: (11.
65) Введем безразмерные величины ((7 — произвольная скорость) и, — и — 1, 1=. ча ~»ч р .ч Р = Р!Р, т= т~т.„ в=а(и (!1.66) Р = Р/Р. и полагая рр=1, перепишем (11.65) в виде (1 1. 67) Первое из уравнений (1!.67) автономно и совпадает с соответствующим уравнением распространения вдоль плоскости радиальной и перейдем от переменных х, у к переменным Мизеса — Прандтля е = х, ~ = ф. Аналогично 9 71 получим следующие формулы пере- хода к новым переменным: 896 погганичныг слои с постоянным давлениям [гл хг струи несжимаемой жидкости'). Решение этого динамического урав- нения может быть представлено в виде и = 4 1 Г (ч) т! = Е У (С) (11.
68) где в качестве параметра принята величина г., равная у = — — ° (11.69) у(7 3 ,= — х 'у, 4 :=х = —, ч 7' +гу"' + 27' =-0 (11.70) при граничных условиях 7 (0) = 7'(0) = О, 7 (оо) = 1. (11. 71) Решение может быть представлено в параметрической форме 7'= па, О=1п ~ + )ггЗагс(я . (1!.72) Подставляя полученное решение в интегральное условие (11.62), найдем связь между произвольно введенной величиной (7 и характерной константой задачи г' 40 (Г з (11.73) Как это сразу следует из (11.68), источник струи (1 = 0) является особой точкой, в которой скорость обращается в бесконечность.
Можно избежать этого недостатка, если вместо (11.68) использовать более общее решение') и (Гз ! (з)-'ау (г) 4 т = ((з+ Р) "7'(0); (1!.74) 1Сг произвольный параметр ! = — также может быть вырзжен через ч константу струи Р. Прелставляя себе источник струи как щель высоты 8 между плоскостью у = 0 и параллельным ей диском радиуса и и полагая поток сквозь щель однородным, имеющим ') 01а пег ~ М. В., Яопгп. о( Нп!й Меси, 1 (1956). ') О!апегг М. В., Яуюроэшю аЬег Огепгзсщспг(огзспппй, ЬегапзйеЬ.
Н. Оогнег. Брг!пйег-Уег!ай, 1957. Функция 7(ь) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению третьего порядка (штрих — производная по С) 398 пОГРАничные с.10н с постоянным дАвлением (Гл. Х2 тепла примет форму ду (4 2+В, дт дт, 9 и у"' дчс '23 Р дс д: / 16 Ус Т !2+12 Р которую легко вывести из второго уравнения системы (11.67) путем перехода к переменным "; и ч, определенным по (11.69). Уравнение (11.8!) имеет частный интеграл 7=1-Г- С,(2'-+ ! )-' даат, а однородная его часть — совокупность решений т„= С„(!а+ 12)- 6„р, (11.82) (!!.83) причем функции 9„(ч) (и = О, 1 ...; а = 1 при и = О) удовлетворяют уравнению 6" -+ е(/6*„+ 4а7'6„) =О.
(! 1.84) Рассмотрим несколько частных задач. Полагая и = О, а = 1 и выбирая постоянную С равной 9 Ггс 16Ус Т (11.85) придем к уравнению йа ! Ч(Уйо+42'6с)=а,у"', (11.86) которое надо решать при граничных условиях: йе(0) = О, если температура стенки постоянна и равна температуре внешнего потока Т, или 6'(0) = О, если станка теплоизолирована; кроме того, Оэ (ОО) = О.
Этот частный случай соответствует нагреванию струи только за счет диссипации. В случае теплоизолированной стенки имеем Т вЂ” ! о — 9 172 ас (0) (11.87) 16 Ус Т (2+)2 Уравнение (11.86) может быть численно проинтегрировано и дает при а= 0,72 (воздух) 6„(0) =0,0060. Если температура стенкй поддерживается постоянной, равной температуре внешнего потока Т, то секундное количество тепла, которое необходимо для этого отводить через единицу площади стенки, будет равно 7 = —, > — — ) = — — ~ — 6' (0), (11.88) ' ' ду )~=с 64 Гс СУ ~ (/(х'+!~)~ ! е где 6е(0) = 0,0036.
9 811 васпгостганениа аадиально-шалавой газовой стгюг 399 Для того чтобы получить решение задачи о чистом подогреве или охлаждении струи стенкой (Т„+ Т„,), используем функцию 0ц причем положим в=О. Будем иметь Т,=(Т вЂ” 1)8,(С), Е,(О)=1, Е,( )=О; (11,89) 4Ф оэ / С ья / р( — /гА)а: / *р( /гж~ж. е~.оч с о о о Возвращаясь к (11.72), заметим, что оч = й., /= и', / /г(ч= — 1п(1 — пз), зля так что 1 1 (() ~ (1 пз) -1 18, ~ (1 83)ы-1 г/и о или. если ввести подстановку з 8 ~ — — В, (гй '/з)/В (а; Я, то (11,91) где приняты следующие обозначения для неполной и полной функ- ции ебзтаз: В,(ги ЧЗ)= ~'Г '(1 — т) Ла~т, а 1 В(сц '/)= ~ Г'" (1 — а) Вг7Е. о (11.92) Секундное количество тепла. снимаемого с единицы площади стенкк, равно Ч~= — 4 Л (Т~ — Т ) ~17 з р)з~ 8~(0), (11.93) где 0;(0) =0,2861. В качестве третьего решения рассмотрим случай заданного подогрева струи при выходе ее из круговой щели (х = а).
В этом прн атом, согласно (11.84), при и=1 и и=О получим, проводя интегрирование, 400 ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ С ПОСТОЯННЫМ ДАВЛЕНИЕМ [ГЛ. Ю случае используем функцию 0т(ь). положив при произвольном а уя = С,(З+!з)-'0з Д. (11.94) Функция 0, удовлетворяет, согласно (1!.84), уравнению 0" +е(г"9'+ 4еу'0 ) = О. (11.95) которое путем почленного интегрирования может быть приведено к виду с В'-~. [/8 -~-(4 — о) ГВ А]= 1. о теплоизолированной стенки (О' = 0 этом случае константа справа равна равенство при ь = оо и замечая, что Останавливаясь на случае прн (. = 0), убедимся, что в нулю. Применяя предыдущее 9з (со) = О, получим (4а — ! ) ) ~'8з с!ь = 0; о замечая, далее, что из физических соображений интеграл в левой части не может быть равен нулю, заключим, что а='/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
