Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 66
Текст из файла (страница 66)
д$ дч (12.14) кроме того, по первой яз этих формул и соотношению (12.4) будет (штрих означает дифференцирование по $) о «ь! егео део а а-! д!Ре — = — ' = — (1 — аа)'! ' — „е = — р,о — (! — а!) о-! . 2а а' = о+! о+1 — — (1 — а',)»-' и,и,= — Р.о(1 — а')'-' и' ( 2!1) Применяя формулы преобразования (12.10) и используя только что полученное выражение (12.11), привелем первое из равенств (12.7) к видУ (»ео = !«,о/Р,о) ди - ди 1 — ао д Г а-! ди ч и — + о — = — з иеие+'ео ((! а ! — ~, (12.12) до д„! з е е еод дч~' э 851 погвлничный слой пги о=1 и нввольших М 421 Пользуясь равенствами (12.12) и (12.14), путем, аналогичным ранее примененному в Э !б, выведем уравнение импульсов в новых переменных с, т) с, о ю, 6 1' ) т ! — ао г ди т йо (12.
15) где под Ьч понимается конечная толщина пограничного слоя, определенная как значение т), при котором и = и,. Заметим, что в уравнении импульсов (!2.!5) показатель степени и в законе зависимости коэффициента вязкости от абсолютной температуры исчез. так как а=О при о=О. Введем условные толщины пограничного слоя ' ч 8„= ~ (! — — ) о(о, 3~ — — / — (! — — ) оЬ).
(12.15) о о Тогда, используя тождество 1 — ао 1 — и,— и = (и,— и+аа,(и,— и)1, е ! т е Ю преобразуем уравнение (12.15) к виду Ф» ф Ф Н! 1 и~ 1 ае )~ иг (1 — ае) иг лэ,~э=о Устремляя а,— ьО, $ — «х, о) — ьу, ~,о — ьч, т. е.
переходя к малым скоростям, получим известное уже нам по э 1б уравнение импульсов для несжимаемой жидкости. Предположим теперь, что профили скоростей в сечениях пограничного слон могут быть заданы однопараметрическим семейством и/и, = Т,(ф(оч, /), (12.18) не зависящим явно от числа М , т.
е. таким же, как и в случае несжимаемой жидкости (М = 0). При этом, конечно, сохраняется неявное влияние числа М через величины и„ Ь„, т, и /. Принятое допугцение справедливо при не слишком больших значениях М . Так, например, для пластины (/=0) величина Г д(ли ) 1 — Г д(и! ) 1 Ф (О' О) ь и(уго ) )т"-о ~ г)(ч)оч) ~ 422 погвлничный слой пги заданном влспгклклзнии ллвлений (гл.
хн должна быть при этом независимой от числа М и равной 0,221. Точные расчеты показывают, что на самом деле эта величина возрастает с числом М , достигая значений: " = 0,222 при М = 0,65, ч= 0,227 при М = 1,59 и ". = 0,234 при М = 3,05. Изложенное ниже решение, привлекающее к себе своей простотой, может быть, таким образом, использовано лишь при сравнительно небольших числах М ~2.
Используя (12.18), будем иметь, как в 9 19, (12. 19) После подстановки этих выражений в (12.!7) получим Умножим обе части этого уравнения на 1 — и~ и приведем к зилу г *ы С Ц) — !2+НЯ) Теперь можно заметить, что роль формпараметра играет величина ые из, тее (1 — ае) (12. 20) Л Г(1 — ')'71 1 — «'„ е или после выполнения лифференцировзния в левой части й и и, — = г". (7) — !и =' + 7' — !д ', . (12.21) У1-", л! (1 -.!)* Таково основное уравнение однопараметрической теории, пред.- ставляющее собой обобщение уравнения (3.23) на разбираемый частный так как при этом выражение, стоящее внутри фигурных скобок. будет являться функцией только формпараметра 7'. Предылущее уравнение приводится к виду 3 851 погглничный слой пги я=1 и невольших М 423 по внешней форме ничем не отличается от соответствующей функции для несжимаемой жидкости.
Вернемся теперь к основной переменной х; будем иметь — = Р (у) — !п ' — + г' — !п я~ад» и . (12.23) и, л ли»Их у!: .. (!»~)"""'-и Так же как и в случае несжимаемой жидкости, заменим функцию Р()) ее линейным приближением Р(г") = а — Ьг" и после простого интегрирования (12 23) получим к (12. 24) где положено а ь т=2+ — — —.
А — 1 2' (12. 25) Для воздуха Ь=!,4; принимая Ь= 5,75 (см. конец 9 21) и несколько округляя числа, найдем лг = 2,5. Выражение (12.24) можно окончательно переписать в виде / аь ~(! — аз)~ Фх, (12.26) более удобном для расчетов. Для пересчета задзнного распределения коэффициента давления на поверхности крылового профиля в несжимаемой жидкости (М =0) Р— Р, Р», = 2» на распределение а»(х) при различных М с. М»р служит предлагаемая на рис.
93 сетка кривых. Сделанное ранее допущение (12.18) заставляет считать отрывное значение г", при больших скоростях не зависящим от М . Но возрастание числа М в докритической области вызывает увеличение разрежения, а следовательно, и градиента ) ~!и,фх ~ за точкой минимума случай движения газа с большими скоростями. Входящая сюда функция Р'() ) = 2 ,'ь(У) — 12+ Н(()1 У) (12. 22) 424 погядничный слой нян заданном ядсияеделенин ддяляний 1гл х~ давления. Это повлечет за собой возрастание у по абсолютной вель чине, т.
е. перемещение точки отрыва вверх по потоку. Отсюда следует, что сжнмаемость жидкости при докрнтических скоростя: ускоряет отрыв ламинарного пограничного слоя, т. е. ухудшает обте. канне крыла. Расчеты подтверждают это соображеняе. Так, напр~ мер, точка отрыва ламинарного слоя с верхней поверхности крыл~ вого профиля ХАСА-4412 при с = 0,146 и )й = О лежи- примерно на 11% хорды от передйей кромки, а при М, =О, йи Рис.
93. перемещается в точку, лежащую на бе5 хорды от носика. В дале певшем отмеченный только что факт будет подтвержден и боле. строгими методами расчета, ф 88. Пограничный слой при е чь1 и произвольном М Перейдем к более общему случаю, когда е ь 1, а числа М н. столько велики. что уже нет оснований пренебрегать их ел яниеь на форму профилей скорости в сечениях слоя').
Как уже ране.. неоднократно указывалось, в этом случае интеграл (12.2) отсутствует и необходимо решать полную систему уравнений (8.22), котораг ') Лородннцын А. А., Ламинарный пограничный слой в сжнмземоь газе, Сб. теорет. раб. во аэродинамике ЦАГИ, Оборонгиз, 1957, стр. 140 — 17' в 881 погвлничный слой пги е Ф 1 и пвоизвольном М, 425 может быть переписана в форме ди ди дрс д / диг ри — -+ ро — = — — ' -+ — (р дх ' ду дх ду (, ду)' — + =О, д (ри) д (се) дх ду л — 1 : ри = р = р„р.
= р.„а(х), (12. 27) у= Т7Т =Ь/lг~, где положено (12. 28) а )г представляет собой переменную полную энтальпию ис "о="+ 2 ' (12.29) (1 — ие) а-с Р=Р =Ра(1 —.)=, р=р„, ' . (12.30) Применим к первым трем уравнениям системы (12.27) общее преобразование Дородницына (12.1). Аналогично тому, как это имело место в предыдущем параграфе. найдем д рс д дй д + дх Рсс дс дх дЧ д р д ду „, д) (12.31) кроме того (штрих — производная по е). дРе Ре Ре Д Рс и с г1 гсща-П дх Рсс д1 а 1 вес е с( е) или по (12.30) »+г — — р 71 „гча-с и и'.
дх се 1 сУ с с' (12,32) причем в рассматриваемом сейчас общем случае )гз+)г . Правая часть третьего уравнения системы (1 2.27) получена тождественным преобразованием соответствующей части третьего уравнения системы (8.22) при помощи (12.28). Последнее равенство системы (12.27) выражает некоторый общий закон зависимости коэффициента вязкости от температуры (энтальпни). По определению параметров адиабатически и изэнтропически ваторможенного газа будем иметь 426 пограничный слой при заданном Распределении давлений [гл.
яп Применяя преобразование (12,31) к первому равенству системы (12.27) и используя формулу (12.32), получим ре ди /дЧ р 1 ди Р— и — +Ро — и+— рсо д1 1 дх р„ ) дЧ Фе! =р (1 — ао)о-' и и'+ — р — (а(Х) — — ~, — р д Г р дит ее е е е Реа ео дЧ ( Рео дч) откуда, деля обе части на величину оо Р (! — а )о-а Р =Ро Рео Х придем к следующему выражению для первого (динамического) уравнения: ди - ди Х , д г ди т и —, + те — = — и и'+ ч — ~д (Х) — ), (12.33) до дЧ Хе ее ОдЧ( дЧ) причем положено (12.34) Вводя функцию тока ф при помощи системы равенств дф р дф Ри =— ду р„ дЧ * дф р, дф дЧ дф р, дф дч дх рео д! 'дх дЧ р,а дд Рео дх ' получим 1 дф - 1 дф и= — —, ю= — — —.
рео дч рео до (12.35) так что будет ди дй —.+ — =о. до дЧ (12.36) Наконец, преобразуем аналогичным образом третье уравнение системы (12.27), а именно, уравнение энергии. Введем вместо полной внтальпии Ьо ее безразмерную величину до И ио — '= — + — =)(+и =Ь, Ьса Иео 2вео (12.37) те = — — и+ — — о =(1 Рео дЧ Р Реа Рс д» Рео Ре д(.) Х Ро и (Х) Х Рео о ит а — 1 — — дч е е) дх Х' Х = =1 Те с 7 е 6 86) погяаничный слой пон о+ 1 н пгоизвольном М 427 Применяя к вышеупомянутому уравнению системы (12.27) преобразование (12.31), получаем р дЭ 7 дЧ о Х дЭ рл — а- — +р!и — + — / — = р, дЭ ! дх р>)дч после чего, разделив обе части на рр,/р , окончательно установим следующий вид уравнения энергии в переменных Дородницына: и ()~ +™ д — — — ' д ~Ь(Х) д ~ — ( — — !)'о д ~Ь(Х) д ~.
(12.38) Совокупность уравнений (12.33), (12.36), (12.38) и граничных условий и=о=О при и = и,(1) при р/р,=СЬ/И,, р ~ро =Си„~Ь„ р/р о = и (Х) = ХЬ (Х) = Ь/"оо = У.. так что В выше цитированной работе Дородницына принимается, наряду с этим простейшим. более близкий к формуле Саттерлэнда линейный закон Ь(Х) =1+ 0,3(1 — Х). — = 0 при т) = О, если поверхность тела теплоизолирована, дВ д11 Э=Эм($) при ~)=О, если поверхность тела поддерживается прн заданной температуре, и й = 1 при т! = со во всех случаях представляет собой искомую систему уравнений и граничных условий для рассматриваемой задачи о плоском ламинарном пограничном слое на крыловом профиле в газовом потоке болыпнх скоростей при заданном распределении давления на внешней границе пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
