Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 68
Текст из файла (страница 68)
— а ) Относя первое нз этих представлений к первому слагаемому в первой скобке правой части (12.57), а второе — ко второму слагаемому в той же скобке, получим вместо (12.57) Х,(и ~~ + (г ~„)+ 2 Х,'и'= Х,и,и,'+ —, Х,'и'+Х,, —,, дУ дУ! 1,, 1 дги и после очевидных сокращений придем к уравнению и — „+у —,=и, „+.,—,, (12.59) Пользуясь вновь преобразованиями (12.51) и дифференциальными соотношениями (12.54), получим и=х аа=х-а — х.' — '~' = — ' р,, р дф дф р Ха Г1 дч дч ' аналогично, по тем же формулам и определению (12.56) величины о найдем за-1 р'=х, ь =х,'х,""-"~а — +х," — „)= дх за-1 р за-г =х- ьх зы-и ~ хч1 ха ~.
аы-и дф дЧ а — дф дл дф11 дф е дэ дх е 1.Хг д- ;дх дл () дс * соответствующему уравнению пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Покажем, наконец, что преобразованные компоненты и и У удовлетворяют условию неразрывности. Введем функцию тока ф, положив Р" Р д.' $ 87) пгеоввлзование ээлвнаний погглничного слоя в глзк 435 Итак, имеем и= — ч. и- — ч; ) дч' дЕ' дУ д(г — + — =О, дЕ дч (12.61) т. е. приведенные компоненты скорости У, Е' соответствуют неко.
торому потоку несжимаемой жилкостн и функция тока для этого движения в плоскости (Е, л) является одновременно и функцией тока рассматриваемого газового потока в плоскости (х, у). Уравнения пограничного слоя в плоскости (Е, "л) могут быть записаны в форме олного уравнения относительно функции тока — — — =и +. —. дф даф дф д1ф д У д'ф дл дЕдэ дЕ дча е дЕ ' дл' ' (12.62) Граничные условия для системы уравнений (12.59) и (12.61) или для одного уравнения (12.62) совпадают с обычными условиями для несжимаемой жидкости У=)г=О при т1=0, У У,(Е) при 4-+со или ф= — =О при п=О, — — ьУ (Е) при т)-ьоо. дф дф дч д, е Напряжение трения на поверхности телз определится по формуле яа — 1 Ъ=р (~„) =рчХ,» ' ~д ) =р,Х," ' (д,) ° (1263) соответствует, согласно (12.51), выраженяе и, = )(',~ У, = ру,'дЕ, где у по (12.53) задается формулой Основное затруднение, возникающее при практических расчетах по только что изложенному методу. заключается в том, что при наличии простой связи действительной скорости внешнего потока и, с продольной координатой х соответствующая ей связь У,(Е) в воображаемом потоке несжимаемой жидкости может оказаться достаточно сложной, не подходящей под известный класс точных решений.
В других случаях, наоборот, простая зависимость У,(Е) будет связана со сложным распределением и,(х). Так, например, степенной формуле У,=ДЕ" 436 погвлничный слой пои заданном влспявделании давлений (гл хп Вся трудность сводится к определению связи между х и В которая по (12.51) задается следующим дифференпиальным соотношением; за-г яга-и (с 1'1 + е 1 8я:гег) зга-н е 2а г Даже в простейшем случае 2т = 1 имеем (х = 0 при 1=0) Наоборот, простому действительному распределению скорости вблизи лобовой критической точки и, = аг1)х в фиктивном потоке несжимаемой жидкости при л =1,4 будет соот- ветствовать распределение $ = х — 0,267~зха+ 0,048~гло — ..., х = Е+ 0 267~Я(з+ 0 165~ %а + (7 х ~Я 1 0 367~а(з 1 0 260~'(з+ (1 — 0,23гхг)уг т.
е. распределение, отвечающее разобранному в 9 13 случаю обтекания несжимаемой жидкостью симметричного профиля. Имея уравнение (12.59), а также последнее из уравнений системы (12.61), легко построить приближенный однопараметрический метод решения поставленной задачи' ). Условимся обозначать через д' и 3 соответственно толщины вытеснения и потери импульса в преобразованных переменных, т.
е. величины Д*= ~ (1 — — )~г)та б**= ~ —,(1 — — )Ф7. (12,64) о о Тогда интегральное условие импульсов в новых переменных будет совпадать с соответствующим уравнением импульсов в несжимаемой ') Когг Х., Сг а Ьггее 1, Юоигп, Аегоя. 8с1.
19, )в 8 (1952), 561. 87) пгеовялзовлние гелвняний погвлничного слоя в газа 487 жидкости. а именно; — + — —.' (2Ь" + Ь') = — '1 — ) . (12.65) Приемом, изложенным в 9 19, составим основное уравнение однопараметрической теории (12.66) где приняты обычные для несжимаемой жидкости обозначения Р (,уд) = 2(а — 2 (2+ На) уа, Н =и'1'и", а (12.67) 8 = ~(1 — — ") (у, о (12.68) так как именно эта форма соответствует изложенному в 9 1О физическому представлению об оттеснении линий тока от поверхности обтекаемого тела за счет вязкого торможения газа и указанному там же приему определения обратного влияния пограничного слоя на распределение давлений во внешнем потоке ').
Толщина потери импульса Ь" будет задаваться тем же выражением ь'*= / а — "(1 — — ") ау, о (12.69) что и неоднократно использованное ранее. Пользуясь преобразованием независимых переменных и скоростей (12.51), найдем формулы преобразования условных толщин. ') Л ойцянс к на Л. Г., Механика жидкости и газа, Гостехиздат,!950, стр. 641 — 645. а заданная функция (7,(с) определяет распределение преобразованной скорости на внешней границе слоя.
Составим формулы связи преобразованных величин 7д, Г, Н с соответствующими им в действительном движении газа величинами у', ч и Н. Прежде всего заметим, что, в отличие от предыдущего, «толщина вытеснения» 8* в последующем будет определяться по формуле 438 погганичный слой пги заданном глспгядялянии давлений !гл. хп Для этого перепишем сначала выражение для толщины вытеснения (12.68) в тожлественной форме н используем справедливый в рассматриваемом частном случае (теплоизолированная стенка, число Прандтля равно единице) движения газа интеграл уравнения энергии е 2 г ла Тогда найдем Совершая в правой части переход по формулам (12.51) к преобразованным координатам и скоростям, получим Г (1 ( — М2).
Я1а 0 ~ (1 ~ ) о "+' Г о а(а-н '((1 + — 2 — Ме) Ь*+ 2 Мед ~. (12.70) $ 97) пгиозелзовлнив ттлвнений погелннчного слоя в газе 439 Аналогично найдем Г «~-1 '"=Х, '"" ) —,(' — —,)('4=Х, '" и А". е (12.7 1) Деля почленно обе части равенства (12.70) на соответствующие части равенства (12.7!), составим выражение Н через Н, Н (1 + Ме)Н + Мс На+( — 1)— = — Нд+ — ' — 1. (12,72) т, т Определим далее связь между Г и у',: з~Ф~ а ь1 „з за-з за-3 ч, л х~ ч, хе хв Гь' ( а также между С и ь (в данном случае Т = Т,): Га(и!и,) ! 7а(пиМ а т = (1 + 2 Ме) Сз. (12.74) д~ы — =а(7, / У, 'юг.
ч, о (12.75) а аатем, переходя по только что выведенным формулам и основной системе (!2.51) от преобразованных величин к физическим, получим за~а ь ач1 Г заг ь — = пуз «-1 ие / Х а-' з и~ ~!х. (12.76) е Значения постоянных а и Ь могут быть выбраны теми илн другими в завнсимости от использованного класса точных решений (ч 21). Дальнейшие вычисления могут быть выполнены теми же приемами, что и в случае несжимаемой жидкости (Я 19 — 21). Произведя линеаризацию (9 21). найдем 440 погганичный слой пги заданном глспгзделечии аавленнй (гл хп В цитированной выше статье Ротта и Крабтри рекомендуется следующая приближенная в округленных числах формула для воздуха (й = 1,4): с з~ 2 — =0,45(-зи-е / ~миаеРх.
(12. 77) о ф 88. Применение модифицированного преобразования в случае теплоотдающей поверхностм Рассмотрим сначала наиболее общий случай наличия теплоотдачи и числа Прандтля е, не равного единице„' для связи между коэффициентом вязкости и абсолютной температурой примем формулу. аналогичную ранее указанной формуле Чепмена — Рубезина (8.6), заменив Т на температуру аднабатически и изэнтропически заторможенного внешнего потока Т, = Тмь В этом случае интеграл Крокко несправедлив и необходимо решать полную систему уравнениИ ди ди «и д / ди 1 д +Р д Ре"'д +д (~ д )' — + — =О, д (ри) д (ре) дх ду л Гт т+т, р= — р», — =С вЂ”, С= зà —.
иа й =и+ —. а 2 (12.78) ') Со Вез С. В., резво! Ко Е., МАСА, йер. 1293, !956. Функция 5 была введена Стюартсоном (см. его статье, цитированную в предыдущем, параграфе). Напомним, что здесь символ Ье обозначает переменную энтальпию адиабатически н изэнтропически заторможенного газа в любой точке пограничного слоя («полную энтальпию»), а индекс 1 относится к состоянию аднабатически и изэнтропически заторможенного газа во внешнем потоке и заменяет двойной индекс еО. Введем функцию ') о'= — ' — 1; о-ьО при т)-ьсо, (12.79) а, Тогда, произведя в системе уравнений (12.78) преобразование (12.81), несколько видоизмененное по сравнению с предыдущим $ 88) невменение модивициговлнного пвеовглзовлния 443 Аналогичному преобразованию подвергается и второе уравнение системы (12.88).
Переписывая его сначала в форме 5" —, = — р или 1п 5' = сопз! — ( 91(: 5' и замечая, что, согласно первому нз уравнений (12.84), будет Ю ~ (2= — — „г(+8 „К= — — „+8 т" получим по предылушему !п5'=!пС+ ! —,— р ! Кв 1(а, Р лК !'Р— 1 — 5()— и, слеловательно, 5' = СК(и) У(и) или — =-. Су(п) в'и где введено обозначение (12.88) и Г л ив — ! — 5(в) 3(и) =ехр — р 7! Фи Кт (и) о !!ш в'(т!)=1, йш 5=0, + ОЭ ч-+ 03 заключаем, что искомые асимптотические решения могут быть представлены как суммы (и — постоянная) 9 = У1 + 72 = 11+ Гс+ 72 51+ 52 52 Интегрируя еше раз обе части (12,88) и принимая во внимание граничные условия (!2.86), найдем 1 ~,г (в) л'и 5 й (12.89) / у(в) л'и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
