Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 69
Текст из файла (страница 69)
о Уравнения (12.87) и (12.89) служат основными в примененном методе последовательных приближений. Можно заметить, что интегралы, вхоляшие в эти уравнения, являются несобственнымн, так как К=О при и= 1, что соответствует внешней границе слоя (4=со). Для исследования повеления функций К(и) и 5(и) при и — >1 следует возвратиться к уравнениям (12.88) и рассмотреть асимптотическое повеление у и 5 при больших 21. Лля этого, прежде всего, аамечая, что 444 погелничный слой пьч1 заданном влспевзелзния тлвлений !гл хп таким образом, уравнения (12.85) переходят в следующие асимпто.
тические уравнения: Второе из них сразу интегрируется и дает (аз — произвольная постоянная интегрирования) Первое уравнение после этого также интегрируется и при больших т1 имеет интегрзл (и1, аз в произвольные постоянные ннтегри. рования) е' = а! (и — (г) ~ Зев ел р ~ — Ч ~ + к (т1 — /г) З. Вспоминая известное асимптотическое разложение е-' I 1 ег! ! — !! 1 — — + ° ° ° ), будем иметь следующие окончательные аснмптотпческие выражения дла ~р'(г1) и 8 (~)1 р (;)-1+~,(1 — й)-""Н+ — '; (1 — Д) '~ехр~ — '","'~+ +пз( ! — й)~ 5(~)-кз() — д) 'ехр[ — ~ Из условия стремления у'(г1)-ь1 при л — +со сразу следует, что при ~) О должно быть аз=О.
Приведенное только что исследование асимптотического поведения решения вблизи и = 1 аналогично ранее изложенному в конце ф 69 для случая обтекания пластинки. Выполненный только что анализ показывает, что уравнением (12.87) можно пользоваться непосредственно, а в уравнении (12.89) правую часть следует понимать как предельное выражение е,г (! — 1) + ~ зли !нп 1 — ю ° .+ 0 ьт(1 — 1)+ ~ /ли О 9 881 пРимгнеинР моднячщиРОВАнного пРеОБРАЭОВАния 445 В цитированной статье Коэна и Решотко приводятся подробные таблицы и графики величин Ф, Ф' и Ф", а также 5 и 5' в функции т(, составленные для различных значений параметров р и Яя; воспроизвести эти таблицы в настоящей книге нет возможности. Остановимся на некоторых особенностях приведенной методики расчета.
Как легко ззключить из первого аснмптотического соотношения системы (12.85), при р ( О, а, ) 0 и при достаточно больших т), т. е. на внешней границе пограничного слоя, безразмерная скорость ~7'(~) будет стремиться к единице от значений, больших единицы, нарушая тем самым монотонность роста скорости в сечении пограничного слоя. Расчеты показали, что в этом случае единственность решения нарушается и из двух решений следует выбрать то, которое лишено указанного недостатка. Напомним, что та же особенность решения была отмечена Хартри в цитировзиной в 9 11 его статье, по- =' РГГ 4у =Г священной численному методу г(д ГЬР расчета пограничного слоя г7 в несжимаемой жидкости при г74 степенном распределении ско- -Рлгггх рости во внешнем потоке.
г(д При сравнительно больших положительных р и 5м, когда постоянная а, в силу Рг конечности величины скорости Рис. 97. должна быть равна нулю, отмечается также наличие немонотонности роста скорости в сечении пограничного слоя (рис. 97). Эта особенность течения газа является естественной и получает простое физическое обьяснение. При резком убывании давления (р = 2 для верхней кривой рис. 97) и значительном подогреве стенки (8 .=1) плотность газа в слоях, близких к стенке, резко падает, и наличие этих двух факторов, даже при тормозящем влиянии вязкости, приводит к появлению внутри пограничного слоя более высоких скоростей, чем во внешнем потоке. Еще в 9 !1 было отмечено, что изучение класса точных решений уравнений пограничного слоя, соответствующих степенному распределению скорости на внешней границе слоя, позволяет установить некоторые основные отличия конфузорного течения (~ ) О, — ~ 0) лр лх чр от диффузорного (~ ( О, — ) 0).
Точно так же и в рассматриваемом сейчас случае по кривым зависимости о от и', приведенным в процитнровзнной статье Коэна и Рецштко, можно судить об общих 446 погелничный слой пги заданном ялспвадвлании длвлиний (гл. хп свойствах движения газа в пограничном слое прн наличии теплоотдачи с поверхности обтекаемого тела.
В 9 69 было выведено важное соотношение (10.43), утверждающее, что на пластинке (р = 0) при числе Прандтля, равном единице, имеет место подобие распределений по сечению слоя разности температур торможения и продольных скоростей. В принятых в настоящем параграфе обозначениях равенство (10.43) перепишется так: и,— а„5 — 5 и и и,— ˄— 5 и, У, Если сетки кривых 5(9'). приведенные в разбираемой работе для различных значений параметров р и 5,„, перечертить в коорднна- /5 — 5, тах ~, ~'), то можно убедиться, что независимо от того, ~=5. будет ли 5 больше или меньше нуля, т.
е. будет ли поверхность тела подогреваться или охлаждаться (5 =0 прн я=1 соответствует теплоизолированной д -р , поверхности), кривые в этих но- вых координатах примут форму, ! показанную на рис. 98. Биссектриса, соединяющая нижний у=тГ ~ ' левый и верхний правый углы диаграммы, соответствует р = 0; кривые, расположенные сверху этой прямой, безотносительно к тому, будет ли 5 > 0 илн 5 ( 0 (при 5 = 0 имеем 5 = = 0), относятся к значениям р ( О, а нижние кривые — к знарг Г чениям Р ) О. Рис.
98. Определим толшину скорост- ного (дннамического) пограничного слоя как значение ординаты у = 3, соответствующее некоторому, условно принятому значению э', например э' = 0,96. Аналогичным образом зададим и толщину температурного (энтальпийного) слоя как 5 — 5 ординату у = 3„, при которой 5 — 0.93. При р = О по предыдущему будет ог — — й, т.
е. условно определенные характеристики толщины динамического и температурного слоев будут одинаковы. 1(ак это непосредственно следует из диаграммы (рис. 98), при Р ( 0 (кривые, расположенные выше биссектрисы) точкам на границе теплового слоя соответствуют значения ~у'с.
эе, т. е. внутри скорост- 9 88) пгимвнвиив модивицивовлнного пввоввлзовлния 44У а после этого и искомое значение местного коэффициента трения с, выражаемое через значение напряжения трения на стенке т по формуле с = — =2С~1+З ) ~Г + —,' у" (О). (12.9О) г' е1 2 гмве Замечая, что, в отличие от предыдущего, при определении с используется значение рв, а не р,, введем число Рейнольдса К и,х вл ч (12.91) также отнесенное к т . Тогда можно получить следующую формулу для определения с: ,~~ н„„Г Лля определения местной теплопередачи с поверхности тела введем местное число Нуссельта, положив, как уже это делалось неолнократно ранее, = т,'т.
В рассматриваемом сейчас случае числа Прандтля, равного единице, температура теплоизолированной поверхности тела — так называемая ного пограничного слоя, а прн р ) О (кривые, расположенные ниже биссектрисы), наоборот, значения р' ) р'. Отсюда непосредственно следует, что при р) О (конфузорный слой) динамический пограничный слой тоньше теплового, а прн р < О (диффузорный алой) динамический пограничный слой толще температурного. Подчеркнем еше раз, что это справедливо при а=1 и любых, как положительных, так и отрицательных, значениях температурного параметра 3 . Аналогичное соотношение имеет место, как уже указывалось в 9 59, и в несжимаемой жидкости. Имея поле скоростей и температур, можно определить и основные выходные характеристики пограничного слоя — сопротивление трения и теплоотдачу на поверхности тела. Простые вычисления, основанные на использовании формул преобразования к новым переменным (12.51) и (12.83), позволяют прежде всего найти выражение для капряжения трения в любой точке сечения пограничного слоя 2а-1 ли — И+! Уе у =с„и у — аг — а" Д, лу 1 е е У 2 ъ~~ 448 погганичный слой пги вязанном мспяялглянии хвалений ггл хп «равновесная» температура Т, — совпадает с температурой адиабатически и изэнтропически заторможенного газа на внешней границе слоя Т = — Т,.
Таким образом, будем иметь х~ — ) Т, — Т„. (12.93) Совершая преобразования к новым переменным, нолучиаг (штрих обозначает дифференцирование по С) 5ю „à — „l „+1 Ы)па Х 8 У мха 2 я!пх ' (! 2.94) Для вычисления коэффициента теплоотдачи удобнее всего пользоваться получающимся путем почленнного разделения левых и правых частей равенств (12.92) и (12.94) соотношением сГй,х 2т" (О) 1Ч, — 8'/Я (12.95) правая часть которого представляет раз навсегда определяемую функцию основных двух параметров задачи р и Я .
Значения этой функции можно найти в последнем столбце приводимой в следующем параграфе таблицы 32. Формула (12.95) позволяет вычислять Х по известному значению сп 9 89. Приближенный метод расчета пограничного слоя в случае произвольного распределения скоростей во внешнем потоке н наличия теплоотдачи с поверхности тела — + — — '(2+- Н~) = — ', ~ — )!, (12.96) ла * ~ л~е л(г У, ле '1 С о Л е я С.
В., й е а и о г к о Е., НАСА, йер. 1294, !956. Пользуясь описанным в предыдущем параграфе классом точных решений, соответствующим степенному заданию приведенной скорости, можно в полной аналогии с тем. как это было сделано в главе !П (класс точных решениИ Фокнера — Скан), предложить следующий приближенный метод, который по существу задачи уже не может быть олнопзраметрическим '). Обратимся вновь к системе уравнений (12.81). причем, согласно изложенному в предыдущем параграфе, предположим, что число Пранлтля равно единице. Поступая обычным образом, из первых двух уравнений этой системы найдем $89) пзивлижянный метод глсчетл погглничного слоя 449 б'= / (1 — — "+З)д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
