Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 60
Текст из файла (страница 60)
что Хантпше и Вендт провели сравнение т„ и т при олинаковых значениях абсциссы на образующей конуса и вдоль пластинки; по (11.2 1) это означает, что надо положить 1 х = — атхз нлн ах = 1' 3. 3 Возвращаясь после этого к равенству (11.22), получим т = 1/3:. в полном соответствии с предыдущим результатом Хонгпгне и Венлта. Аналогичным образом можно получить н оста.н,ные нх результаты„ откуда следует 1 д» и= и= — — ', р ду — е г„(х) 1 д,д + 2 уи — — -- ° (11,19) го го р дх 378 пОГРАничные слон с постоянным дАВлением 1Гл. х! $ 78. Образование пограничного слоя на стенке ударной трубы Рассмотрим пограничный слой на плоской стенке ударной трубы постоянного сечения, образующийся за проходяшей ударной волной Обозначим через 9 скорость распространения ударной волны и через Ъ' скорость спутного потока газа за ударной волной.
Считая стенку трубы плоской и безграничной, Обратим движение так, чтобы ударная волна стала неподвижной. При этом поставленная задача сведется к следуюшей стацио- У парной задаче: бесконечная плоскость (рис. 79) движется слева направо со скоростью 9. В точке О системы координат Оху вдоль оси Оу расположен неподвижный скачок уплоти У пения.
Слева от скачка газ дви- и жется вместе с плоскостью, У кзк твердое тело, со сверх- звуковой скоростью 9, справа Рис. 79. от него скорость скачкообразно уменьшилась до постоянного дозвукового значения (I = 9 — 1/, а стенка продолжает двигаться с той же скоростью 9. Область перехода от скорости и= 9 при у = 0 до и = У при у = со образует пограничный слой, расчет которого приводится ниже ').
В связи с отсутствием продольного изменения давления за скачком уллотнения (сопротивлением самой трубы пренебрегаем) основные дифференциальные уравнения движения вязкого газа з погрзничном слое. развивзюшемся за ударной волной, будут теми же, что и на пластинке в однородном продольном потоке газа. Отличие будет заключаться в граничных условиях.
Примем за масштаб длин произвольную величину 7., а за масштаб скоростей величину У = 9 — 1г. Символом сю будем обозначать в дальнейшем величины на внешней границе пограмичного слоя. Примем линейный закон связи между динамическим коэффициентом вязкости и температурой и огрзничимся исследовзнием случая постоянства температуры вдоль стенки труб«. Тогда задачз сведется к интегрированию системы дифференциальных уравнений (10.18) с автономным динамическим уравнением, но с измененными граничными ') Ф ор с о за Т. Я., Некоторые вопросы аэродинамики ударных труб. Дипломная работа, кафедра гидроаэродинамики Ленинградского политехн. ин-та, 1957. $ 73! ОБРАБОБАиие НОГРАничнОГО слОЯ нА стенке УдАРиой тРУБы 379 услоаиями, а именно 7=0, т"'=2и =29/(й — )Г) при ч=О, т'=2 пРи (=ос, (11.231 где по злементарной теории прямого скачка будет з (а+1)е+Й 1 à — (Г (Л вЂ” 1) я+а+1 а величина е обозначает отношение давления за скачком к давлению перед скачком.
При атом, как известно, 1 < е < СО, 1 < и,„< а ч-1 ( = г )/и„, ~Р = Ф )' и, (11.24) убедимся, что рассматриваем0е дифференциальное уравнение в новых переменных сохранит свою форму (штрих оаначает производную пол) Ф"'+ ФФ" = О. (11.26) а граничные условия (11.23) преобразуются к виду Ф=О, Ф'=2 при И=О, Ф = — при а=со„ 2 и,„ (11.26) Решение уравнения (11.25) при граничных условиях (11.26) можно представить в форме ряда Ф (г) = ~ч'„ЯЛФ„(и) (11.27) л 0 по степеням малого параметра 1 а= — — 1, им Подставляя выражение (11.27) в уравнение (1!.25) и приравнивая $0зффипиенты при одинаковых степенях а, получим систему уравнений — — <а<0 5 6 Ф„+ ~ Ф Ф„И=О (а=О. 1, 2 ...) (11,28) яи 0 для воздуха (й = 1,4) имеем 1 < и,„< 6. Можно еще заметить, что и равно отношению плотности газа за скачком к плотности гава до скачка.
Совершив переход к новому аргументу л и новой функции Ф 380 погглничныя слои с постоянным давлением (гл. х с граничными условиями Фо —— О, Фа=2, Фл — — О (й > 0) при г=О, (11,29 Фо=2, Фг — — 2, Ф,=О (и > 1) при я=со. / Функция Фо(г) определяется иа уравнения и граничных услови! Фо + ФоФо = 0 Фо=б, Фо=2 при я=О; Фо=2 при я= со; при этих граничных условиях уравнение обладает очевидным решенпег Фо = 2л. Для функции Фг(е) получим уравнение Фг +УФ! =О, которое при граничных условиях (11.29) имеет решение Ф = 2 / Ег1во(я= 2дЕг1е+=(е-'* — 1), 2 г о Фг — — 2 Ег(г. Таблица 2 4 5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 0 02250 0,4457 0,6572 0,8568 1,2078 1,4842 1,6854 1,8206 1,9046 1,9526 1,9782 1,9906 1,9962 1,9986 1,9996 1,9998 0 0,0409 0,0805 0,1! 79 0,1508 0,1981 0,2144 0,2003 0,1648 0,1209 0,0800 0,0476 0,0257 0,0126 0,0056 0,0023 0,0009 0 -0,0046 — 0,0091 -0,0! 39 — 0,0192 — 0,0316 — 0,0469 — 0,0618 — 0,0715 — 0,0719 — 0,0630 — 0,0484 — 0,0325 — 0,0191 — 0,0097 — 0,0040 — 0,0008 0 0,0009 0,0018 0,0027 0,0035 0,0054 0,0080 0,0124 0,0188 0,0257 0,0305 0,0306 0,0261 0,0190 0,0116 0,0056 0,0013 0 — 0,0002 — 0,0005 — 0,0007 — 0,0009 — 0,0013 — 0,0016 — 0,0022 — 0,0032 — 0,0057 — 0,0092 — 0,0126 — 0,0138 — 0,0129 — 0,0097 — 0,0056 — 0,0029 78] ОБРАБОБАнне пОГРАничнОГО слОЯ нА стенкБ УЛАРНОЯ тРУБы 381 Аналогично находим функцию Ф,(а) 2Б Г 1 а,(г) =11 — — ) ~г ег1 г -1- — (е-*' — 1)~— 3 4 ° — 2 2 — я(ЕГ(г)' — = е-и ЕГ1г+ — ЕГ1(1/2 г) — = Ег(г+ — г, )/ 2в УБ Б а(г) = ~1 — — ~ ЕГ1 г — (Ег(г)а+ = ге-" ЕГ1г+ — е-"' — — е и+— У а последовательно Фз(а) и т.
д. Для дальнейшего особенно суще- твенно знание первых производных Ф„(а); в таблице 27 приво~ятся значения этих производных для в = 1, 2, 3, 4 и 5. Рнс. 8а. та рис. 80 приводятся кривые Ф„(а) для значениЯ в=2, 3, 4, 5 «л ~ п -= 1 это — хорошо известная кривая функции Гаусса), Обращает на себя внимание факт резкого спадания максимального начения производных с ростом и, обеспечивающий быстроту сходи- 'ости ряда, полученного дифференцированием обеих чзстей (11.27).
1ользуясь этим ридом, найдем значения функции Ф'(г). Эти значения ~ои различных величинах параметра и, а следовательно, и а при- одятся в таблице 28. погваничныв слои с постоянным длвлвнивм (гл х Таблица 2: 382 4,0 5,0 1,2 1,5 2,0 З,О Чтобы получить основную зависимость безразмерной скорости ~ от комплекса у/(2 )ух), где х и у †безразмерн геометрически= координаты, необходимо еще вернуться от г к ч = т1/(2 р' Г) и с У переменных Дородницына В=х и т1= ~ рФу к координатам х и у о Для этого в случае е = 1 следует использовать интеграл Крокко (10А1 и равенство р = 1!Тг. Остановимся на простейшем случае а = 1 и примем постояннув Чепмена — Рубезина С равной единице; кроме того, положим о = .
Для этого случая Т. Я. Форсовой даны окончательные результать в форме таблиц и графиков. Пересчет на более общий случан С гь не представляет труда. Опуская переход от одних переменных к другим, ладим окончь тельный вид параметрической зависимости безразмерной продольног скорости и от геометрического комплекса у/(2 )7х ) через параметр = и = — и Ф'(г), 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 2 1 9636 1,9279 1,8938 1,8615 1,8043 1,7588 1,7249 1,7014 1,6862 1,6770 1,6717 1,6691 1,6677 1,6670 1,6668 1,6666 2 1,9297 1,8607 1,7946 1,73! 8 1,6207 1,5309 1,4629 1,4143 1,3816 1,3608 1,3482 1,3409 1,3370 1,3350 1,3340 1,3336 2 1,8983 1,7985 1,7028 1,6119 1,4501 1,3178 1,2160 1,1411 1,0886 1,0537 1,0311 1,0171 1,0090 1,0043 1,0018 1,0006 2 1,8697 1,7419 1,6190 1,5022 1,2934 1,1214 0,9863 0,8845 0,8109 0,7594 0,7241 0,7007 0,6857 0,6765 0,6709 0,6680 2 1,8565 1,7!55 1,5802 1,4515 1,2208 1,0300 0,8790 0,7640 0,6792 0,6188 0,5758 0 5466 0,5272 0,5144 0,5064 0,5021 2 1,8490 1,7004 1,5579 1,4225 1,1792 0,9774 0,8172 0,6941 О,УЙ7 0,5366 0,4891 0,4555 0,4328 0,4176 0,4079 0,4026 78) ОБРАЯОБАние пОГРАничнОГО слОЯ нА стенке УЕАРной тРУБы 383 ~апоминаем, что величина Л(з) определяется путем подстановки скоюсти и в интеграл Крокко 110.41).
В таблице 29 искомая зависишсть дана для ряда значений параметра и . Кривые распределения кппостей поиводятся на рис. 8!. гг гад Д4 ОБ Ю 70 78 44 ,ййЮ Рнс. 81. ,ная начальные значения (значок О) физических констант в непо,вижном газе, можно определить напряжение трения на поверхности 'дарной трубы в спутном потоке я' Ю'" . толщины вытеснения 6' и по"ери импульса 8**; эти величины ,ыражаются по формулам (ае— :корость звука в неподвижном г4 азе до прихода ударной волны) (11. 31) Входящие в уравнения (11.31) ~еличины т , 8', 8 представлены , таблице 30 в функции от и ~ изображены на рис.
82. Разобранная стационарная задача просто связана с поставленной начале параграфа нестационарной задачей о пограничном слое, юразуюшемся за ударной волной, распространяющейся по трубе. !Сли обозначить через Х, У абсолютные координаты в плоскости, д и г,у и„, Рнс. 82. 78! ОБРАЯОБАние пОГРАничнОГО слоя нА стенке УдАРной тРУБы 385 -о они будут связаны с использованными ранее относительными коор,ииатами х, у соотношением Х = л+ 8Г, У = у. Произведя в выражениях (11.31) замену х на Х вЂ” 87, получим юрмулы зависимости т , 3' и 8 от координат и времени, что и - дет соответствовать поставленной нестационврной задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
