Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Л. Хоуарта, ИЛ, 1955, т. 1, стр. 433. $7П пеименение пеееменных мизеса — пелндтля 343 Формулы дифференцирования по новым переменным будут связаны со старыми так: т,, =к е'к д д дч д д д д дй д д (10. 73) Первое и третье уравнения системы (8.23) в безразмерных коор- динатах в случае продольного обтекания пластинки !!†= 0) пре- I дгг 1 их образуются при этом следующим образом: гди ди! ди д! ди! ри !т — — ро — ) + ро ° ри — = ри — ! рри — ), 'тдЕ дч) дч д)1 дч)' 7дй дй ! дй ри( — — ри — )+пп ри — = 'тдЕ де ) ' дв а/ди!а 1 д l дй! =(й — !) М .р(ри)а! — ) + — ри- — (рри — ), '!де) ' и дв'т де)' и после очевидных сокращений приобретут вид и дй (10.74) Если поставить вопрос о решении задачи типа Влазиуса, т.
е. автомодельной задачи о продольном обтекании полубесконечной пластинки с постоянной температурой поверхности, то уравнения (10.74) с помощью введения новой переменной Е= !/)УЕ могут быть сведены к системе двух обыкновенных уравнений 1 ди и 7 йи! ) — — ь — = — — ~7рри — ), дб = гЕ '1 дЕ ) ' (1О. 75) — — Š—, =-(й — 1) М рри — + — — ~рри — ). 2 дс дс* . дЕ'1 ис)' ) ') Кагал и ТЬ., Тз! еп Н. Б., Хоп!я. де!оп. Яс!.
З, йй 6 (1938). Первый вариант применения переменных Мизеса в задаче о ламинарном пограничном слое на пластинке в продольном газовом по'токе был опубликован Карманом и Ченем '). Считая число Прандтля а равным единице, эти авторы пользовались вместо второго уравнения системы (!0.75) его интегралом, аналогичным (10.41). Первое урав- 344 ллминлвный слой нл пластинка в пгодольном потока [гл. х пение системы интегрировалось путем последовательных приближений. В первом приближении в круглой скобке в правой части этого уравнения выражение рри заменялось по решению Блазиуса и последним двум уравнениям системы (10.1), в которых безразмерная энтальпня определялась по (10.4!). Таким образом составлялось уравнение первого приближения 1 Ыг л Г Фиг>) „го)~м 1о) — — — — — р к'. =д~~0 л~ ~ 0 Отсюда можно получить ( , -, [-,' ! ач л] яп' (",) = С И", Уо (С) где постоянная С может быть найдена из граничного условия и' '-+1 при Г,-+со.
гп Подставляя значеыие и~ ' в (10.41). находим л~ ', затем р' ~ и р') и 7',=р'пр'пип1; после этого получим уравнение второго приближения лвсй л Г ли(а~ ) — -~ — = — ~л(с) —,!. 2 л! лС~' лС)' и т. д. Как показано в статье Кармана и Чена, третьего или четвертого приближения оказывается совершенно достаточно для достижения требуемой точности. Возврат от переменной Г. к комплексу размерных координат у згг — не составляет труда и определяется / К У ...л формулой с ги ~'К о Результаты вычислений по методу Кармана — Чеия при и = 0,76 и отсутствии теплоотдачи показаны иа рис. 70. Анализируя системы уравиений (10.10) и (10.12), а также (10.53) и (10,74), можно заметить, что основную трудность для интегрирования представляет наличие в них комплекса рр = 7г"-', связывающего динамическую часть систем с тепловой.
Эта трудность исчезала в случае л = 1, что соответствовало линейному закону связи коэффипиеита вязкости и энтальпии в = И. К сожалению, этот простой закон справедлив лишь при сравнительно малых температурах, а при более высоких уступает место степенному закону р= л", где и с возрастанием температуры приближается к ~7а. В $ 54 уже упа. ф 71] пРимененне пеРеменных мизесл — пРАндтля 345 миналось о том, что Чепмен и Рубезин предложили столь же простой линейный закон (8.6), содержащий множитель С, выбором которого в форме (8.7) можно приблизить результаты расчетов пограничного слоя к более строгому закону Саттерлэнда.
Примем в выбранных безразмерных величинах 1+ Ьа —, Р=С5, С= ' йь. ям+и, " (1О. 76) Сохраним те же формулы перехода к переменным 1 и т) (10.72), но примем в качестве масштаба размерной функции тока вместо величины 1' ч У Л, как это было раньше, величину ]~ ч У (С. содержащую тот коэффициент С. который входит в выражение (10.76). Тогда вместо (10.74) будем иметь следующую систему уравнений ламинарного пограничного слоя на пластинке в переменных Мизеса: где Ьм обозначает среднее значение энтальпии Ь„, на поверхности пластинки, если Ь„, переменив, и л' = л в случае постоянной Т энтзльпии на поверхности пластинки; Л = †„, , причем постоянная Т, Саттерлэнда Т = 102'С.
формула (10.76) представляет те же вычислительные выгоды, что и ранее рассмотренный случай П=1, а вместе с тем удовлетворительно описывает связь между коэффициентом вязкости и температурой в широком диапазоне температур. Из предыдущих решений было видно, что наиболее высокие температуры имеют место или на поверхности пластинки (при отсутствии теплоотдачи) или вблизи ее (при охлаждении поверхности пластинки). Таким образом, используя степенную зависимость, следовало бы брать различные и на разных расстояниях от поверхности пластинки.
Предложенное Чепменом и Рубезиным введение постоянного множителя С в значительной мере сглаживает связанный с этим недостаток линейного закона. Произведенные этими авторами расчеты показали, что даже при числах Маха порядка 5 использование формулы (10.76) сохраняет точность 5 — 69; в конечных результатах как для условий сверхзвуковой аэродинамической трубы (7' = -- 233' С), так и для условий свободного полета на высоте порядка 50 км (Т 86' С). Пользуясь формулой (10.76) и тем, что в пограничном слое иа пластинке в безразмерных величинах будет р= 1/л.
получим р,р=С. (10. 77) (10.78) 346 ллминлвный слой нл пластинка в пяодольном потока (гл х с граничными условиями и = О, И = й (х) при т) = О, к = 1, )г = 1 при й = со. (10.79) В частном случае л =сопя(, )г =7г возвращаемся к задаче, аналогичной рассмотренной в $ 68 (и = 1, а Ф ! ), но при новом, справедливом в более широком диапазоне температур законе связи вязкости с температурой. В этом случае прн обтекании полубесконечной пластинки задача будет автомодельной н переход к переменной т)!"у' Г позволит свести систему (!0.78) к системе обыкновенных уравнений (10.76). Как легко заключить из вида уравнений (10.78) и граничных условий (10.79), первое из уравнений системы (10.78) автономно и может быть разрешено независимо от второго. й 72.
Ламинарный пограничный слой на пластинке прн переменной температуре поверхности и=— д1! дф О= — —, д! ' (10.80) дд — дд 1 д г дд к г l дик' и —.+о — = — — (С вЂ” !+ (7г — 1) М С! — ) . д1 дч а дч (, дч) ! дч ) ') Сиарягаз Р., йивез!п М., Лоигп. Аегоп.
5с!. !6, № 9 (1949), 547 †5; русск. пер. сб. «Механика», И.'1, 1950, в. 4, стр. 50. Задача о ламинарном пограничном слое на пластинке в потоке несжимаемой жидкости при заданном распределении температуры 7 (х) по поверхности пластинки была .уже ранее рассмотрена в 6 60.
Основная трудность этой задачи заключается в том, что при переменной температуре поверхности пластинки теряется свойство автомодельности решения. Распределение температуры (энтальпии) в потоке определяется в этом случае в результате решения дифференциального уравнения в частных производных. Для газового потока с большими скоростями задача была решена Чепменом и Рубезиным '), которые использовали для этой пели сначала уравнения (10.78), но затем при решении основной, тепловой части задачи вновь вернулись от переменных Мизеса — Прзндтля к обычным координатам. Проще, как сейчас будет показано, исходить непосредственно из уравнений (10.!О) — (10.12), преобразованных в связи с принятием нового закона изменения вязкости (10.76). Система уравнений (10.10) — (10.!2), если принять для изменения вязкости закон (10.76), перейдет в следующую: ф 72! ПЕРЕМЕННАЯ ТЕМПЕРАТУРА ПОВЕРХНОСТИ 347 Сохраним в этой системе без изменения координату ! и заменим т) на тур' С, а ф на ф1!' С.
Тогда, как легко заметить, система (10.80) может быть сведена к двум, не содержащим постоянную С уравнениям: (10.81) дф дЬ дф дл 1 дал дЧ д"; д! дЧ а д~а сдедует помнить, однако, что в настоящем случае масштабы функции тока и поперечной координаты отличаются от старых множителем угС. Введем, как и ранее, ковый аргумент и новую функцию (10.82) причем подчеркнем, что в рассматриваемом сейчас случае переменной температуры поверхности пластинки энтальпия И будет функцией как Г, так и !. Повторив в точности те же расчеты, что и в 3 68, придем, очевидно, к такой системе уравнений (штрих — производная по ч): ф'Я+ фф" = 0, дьл дл, да 1 „а (! 0.83) — +с.— — 2а!ф' — = — — с(И вЂ” 1) М ф" . дС' ' д( д! 4 Граничные условия для ф сохраняются прежними (10.15). Что касается граничных условий для И(1, 1), то их можно представить в следующей форме: а И=И,„(!)=И,+у(!) при 1=0, И=! при (=сю, (10.84) где И, определяет постоянную, равновесную, безразмерную энтальпию.
соответствующую энтальпни поверхности пластинки в тех же условиях обтекания, но при отсутствии теплоотдачн; функция у(5) — ааданная функция безразмерной абсциссы !. Определяющая отличие внтальпии И (!) на поверхности пластинки от равновесной энтальпни Ис Первое из уравнений системы (10.83) с соответствующими граничными условиями (10.13) уже было решено ранее.
Как указывалось в $ 68, его решение совпадет с решением задачи Блазиуса для несжимаемой жидкости и значения функции ф(ч) н ее первых двух производных могут быть получены из таблицы 1, если только принять во внимание, что в настоящем случае, в отличие от 3 4, в выРажении (10.82) длЯ аРгУмента ч стоит множитель '(а; соответствУюший пересчет не составляет труда. 348 ллминлюсый слой нл пллстинкз в пгодольном потоке [гл, х Для решения второго уравнения системы (10.83), представляющего собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа, применим метод разделения переменных. Будем сначала искать частное решение И(Е, ь) неоднородного уравнения в виде суммы И (Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
