Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 54
Текст из файла (страница 54)
336 $701 угавнания кгокко от аргументов х, у к новым аргументам Е 9 по формулам 1=х, !!=и(х, у) был предложен итальянским гилролинамиком Л. Крепко'). Дифференцируя предварительно обе части второго равенства си- стемы (10.46) по 1 и т), получим ди дх ди ду ди ди ду О = — ° — + — ° —.— = — + — ° —..-, дх д1 ду дс дх ду д;- ' ди дх ди ду ди ду 1= — ° — + — ° — = — ° —, дх дл ду дв ду дл ' откудз слелует (т — напряжение трения) дч ди т 1 ду и ду= ду = ! =ду/д„ вЂ” — — или дч дч ди ди ду т ду (10А7) дх дх ду д$ И дс ' ! Пользуясь этими вырзжениями производных дд/дх и дд/ду, составим основные формулы перехода от дифференцирования по стзрым пере- менным к дифференцированию по новым переменным: (10.46) д д1 д д1! д д 1 ду д дх дх д( + дх д9 д( и дс д1! ' д д1 д дл д т д — = — — + — — = — —.
ду дуд. "ду дл и дч ' (! 0.48) Совершим укаэанный переход к новым переменным в системе уравнений пограничного слоя (8.24). Если принять во внимание, что в новых переменных ди дч ди др —.= — =О, — =1, — =О, д1 д8 ' д1! ' д1! то после сокращений обеих частей на одинаковый множитель т/Р первое уравнение исходной системы приведется к виду ду др ду дт др и дт — рт) — +ро= — — ° — + — = — —.— + —. (10.49) д8 38 дч дл Н1 -.
дл ' Уравнение неразрывности [второе уравнение системы (8.24)1 пе- репишется так: д (ри) т ду д (рл) е д + — — (ро) =0 д$ и д$ дл и дл или, согласно (10.47), — — — —. — + — (Рп) = О. ду д (ря) ду д (рв) д дл д( д( да дл (10.60) ') С с осси Г., АП! Ш С!доп!а !7, № 7 (1939), 118, йепщсопи С!!с. Ма- !(гепь Ш Ра1епио, № 63, 1941, стр. 121, Мопойтарв!е асгепгб!сне д! аегояаи- Иса, № 3, 1946, 385 лАминАРный слОЙ нА плАстинке В пРОлолъном потоке [Гл.
х Пролифференцнруем обе части (10.49) по тй получим Вычитая почленно обе части этого равенства из (10.50) н используя равенство ду/д«) = р««т, исключим о и найдем д дг««1а д «'!«! ) — (1 Р) ) + — — — — ( — ) = О. дЕ дч«д1 дч [т ) (10.51) Аналогичному преобразованию подвергнем н третье уравнение системы (8.24) — уравнение баланса энергии. Переписывая его сначала в новых переменных в форме дл»! ду !дл др»а 1» д «' дл! РЛ вЂ” + — 1 — Р[ — +Р ) — = [=+ — + — — — [, — 1 д$ !« '! д1 ) дя ЛЬ ««а !«дя'! д»,) д дат т) д1 (рр/т) + д а — — О.
Аналогичные по типу уравнения для случая пластинки получили Хантцше и Венлт'), положившие с самого начала с=9 д«« =()(и)/~х. ду т) = и/У, Л'(т)) = ««ага« (7з (10.54) и принявшие степенной закон связи р и Т с показателем п. ') Н ап «гаси е Й«., %'е и д ! Н., Юав«ЬНСЬ 1940 «1ег деагвсиеп 1аг«1авггОгзспаяя, 8. 1, 517; 1аЬ«ЬНСЬ 1942 нес «(еягасвея Ья(!1аЬ«!1огасЬяяд, Б. 1, 40. и исключая затем выражение, стоящее в круглых скобках в левой части, при номощн (10.49), получим после простых прнвелений 1 д»«да / дал дл ! дл! др — (1 — а) — — +( — +аг!Тя — арр — +1«а р+ — 7! — =О.
2 дя дв (дЧЯ ) д1 1 дч ) д1 (10.52) Два уравнения второго порядка (10.51) и (10.52), содержащие лве неизвестные величины т и Л, лают в совокупности общие уравнения ламннарного пограничного слоя в независимых переменных Крокко (=х и »[=и. В случае продольного обтекания пластинки «(р/«11 = 0 и уравнения примут более простой внд: 337 й 701 УРАВНЕНИЯ КРОИКО При этом переменизя х исключается. и решение задачи приводится к системе двух обыкновенных уравнений (штрих — производная по 7)): Кдн+ )(7' (7)' "=О, (1 — е) (К'/'+ К Цн .4- а) = 0 (10.55) с граничными условиями прн и= О.
у=о при 1= 1, нлн 7' = /, = сопз( при 71 = О, / = / при 4 = 1. (10.55) и=О 7'=О Уравнения (10.55), таким образом, представляют собой частный случай уравнений (10.53), соответствующий задаче типа Блазиуса — Польгаузена, т. е. задаче о полубесконечной пластинке с постоянной температурой поверхности. Из уравнений (10.55)„ так же как из уравнений (10.14), сразу видно, каких упрощений можно достигнуть. полагая и = 1 или а = 1.
Возвращаясь к поставленной задаче, используем систему уравнений (10.53), но перейдем предварительно в ней к безразмерным величинам. Заменим с этой целью аргументы (5 — некоторая длина, (7' и 77 = Ус Т вЂ” соответственно скорость и энтальпия набегающего потока) 1 — наЦ, 71 — на(7 и, lг — на7сТ 77; к(1)=2р®~/~в "'/(р„и„)=2.У)1,.~Яр„и„).
(1057) Тогда, замечая, что в рассматриваемой задаче д77/д! О, после выполнения дифференцирования по 1 и простых приведений получим следующую основную систему обыкновенных уравнений (штрих— производная по 71): ККн+ 2рр.1 = О, (10.58) н .7к» «-1н н-.~н — 17н'1к=' ~ Начнем с простейшего предположения рр=!, что соответствует принятому в предыдущем параграфе условию и = 1.
В этом случае первое уравнение приводится к автономной от второго уравнения форме (10.59) КК" +2;=О. кл знк. 297. л. г лнацннскна кроме того, введем вместо напряжения трения т новую безразмерную величину К(я), равную 1 338 лАминАГный слой нА плАстинке В пРОдольном потоке [Гл. Это — обыкновенноедифференциальное уравнение второго порядка которое, конечно, эквивалентно уравнению Блазиуса (1.37) и могло оь быть непосредственно из него получено заменой переменной у" на К Отсутствие в уравнении третьего порядка (1.37) первой произво.
ной р'(~~) и в явной форме аргумента й позволяет обшепоинятыь Рис. 72. способом снизить порядок уравнения; это и приводит к уравнения второго порядка (10.59). Функция К(т)) определяется численным иьтегрированием; для ее вычисления можно воспользоваться уже готы ными таблицами для задачи Блазиуса, например таблицей 1.
Бк рис. 72 приведен график К (т(), который допускает приближение в виде четверти эллипса, К())=К.~71 — а, К„=К(0), (10.60 где, как это следует из определения К(т) по (10.57), К,„=с/~/ К = 0,664. (10.6! Считая К(5) известным, найдем из второго равенства снстемь (10.58) (и = Т /Т вЂ” температурный фактор) выражение безразмер- 339 УРАВНЕНИЯ КРОККО 6 76) ной энтальпии: (») и ( м 1) 6 (а) а)+ (Й вЂ” 1) М2 612> (21. 69(~' )= .', ° Енн(~')=а(6ы>(, ) 2 (ан а) 1 (1; а) ' 7(1'а) = $ [К(тгуК )'-',(Л о Ъ 1(ай а)= ~ (К(т~2уК )" 2<(л /'1(с.(, )(7~ )2-» (10. 62) аянкпнн I(я: а1 и /(тй а) представлены графически на рис. 72 и 73. Р . 73. Составим, пользуясь первым равенством Этой системы и приня"ыми обозначениями, производную 340 лАминАРный слой нА плАстинки в продольном потока !гл.
(10.64) Иэ (10.63) в условиях отсутствия теплоотдачи (пластиичатый тер. мометр) получается Л = Л~ — — !+а(Л вЂ” 1) М,,/(1; е); с другой стороны, по (10.23) Л,=! + — г(а)(Л вЂ” 1) М = 1+ — ф'а(Л вЂ” 1)Ма,. Сравнивая с предыдушим выражением. найдем .с(1; О) ='л Ае Ус. 1 (10.66) Возврашаясь к равенству (10.63), перепишем его в виде ( — ), — '~- — ) =ачс!1 — Л + — еь(й 1)М гла, г ГЧ)О ~ м 2 Имея это выражение, найдем отношение количества тепла сг, отдаваемого пластинкой, к ее полному сопротивлению Р: ( и") Р-в( ) 1ау г' -е = — — — е'Л !Г 1 — Л + — ат (й — 1) М~ 1 = сс ! е 'с (Л Ь~) ™ сро (Т тстс(1 Замечая, что г=с, — р„и„у., 1 и вводя число Нуссельта Х* как Х = 0 А (т„-тд получим 1 Х вЂ” 2 Сг)сссе'. Имея в виду независимость У(1; е) и с(1; а) от М , применим эту формулу к случаю несжимаемой жидкости (М = 0).
Получим с' сГЛ 1 Сравнивая это выражение ! — ) с результатом расчета той же ~ "' )ч=е величины по (10.32) и (10.33), получим У(1; а) ='е-"с. 341 й 701 УРАВНЕНИЯ КРОККО Отсюда можно перейти и к обычному числу Нуссельта (Т, определяется по (10.23) и (10.31)] и вновь, таким образом, прийти к (10.34). В случае а = 1 и при любом л в первом уравнении системы (10.38) можио положить рр = л" '. Тогда получим уравнение КК" +2)г" ьл= О, (10.87) в котором и прелставляет собой квадратичную функцию от согласно (10.4!) равную )1= и М «!а+(! — Ь,„+ М )'Ч+Ь . (10.68) Можно составить приближенную формулу сопротивления.
если уравнение (10.67) переписать в виде 1 ж и затем в знаменателе произвести приближенную замену (10.60), но не задавать при этом К,„по (10.61), а считать его зависящим от переменных параметров задачи л, М, и = Т (Т, л. Полагая еще в нижнем пределе первого интеграла в предыдущем равенстве т! О, получим 1 % С другой стороны, по самому определению (10.57) величины К имеем Сопоставление последних двух равенств приводит к искомой приближенной формуле лля местного коэффициента сопротивления с,.
а при желании и для коэффициента полного сопротивления СТ Поправку на влияние числа Прандтля можно дополнительно ввести при п lа — 1 омоши коэффициента восстановления г(а) ' Рге при (, 2 М ') в выражении и по (10.68). 342 ллмннлвный слой на пластинке в пгодольном потоки [гл. х Следуя таким путем, А. Янг') предложил приближенные аналитические выражения для коэффициента сопротивлению ь — л с, )/К„= 0,664 ~0,45+ 0,55 — ~+ 0,09 (и — 1) М~ »г' а~ (10.69) для общего случая и 1-и сг ) )!«= 0.664~1'+0,365 (Уг — !) М, »г' а~ э (10.70) в случае отсутствия теклоотдачи.
Соответствующие выражения для СГ) К, которые буан дут отличаться от предыдуших лишь множителем л ллэ д л»у 1,328 перед квадратными дд скобкамя вместо 0,664. могут быть подставлены =ЮК«г 7 "дУддлд~~ в (10.66) для получения !7д л-д, к=l коэффициентов теплоотдачи. На рис. 74 приведены -» лг' расчетные графики изменеРнс. 74. ния величины сГУК в за- висимости от числа М, при отсутствии теплоотдачи.
Сплошными линиями показаны результаты строгих расчетов, пунктирными — по формуле (10.70). ф 71. Применение переменных Мизеса - Прандтля Обобщии уравнения пограничного слоя в форме Мизеса— Прандтля ($3) на случай газового потока больших скоростей, Введем функцию тока ф(х, у) в безразмерных переменных, принятых в й 55, положив (штрихи опускаем) Р" = ° Рп = дф дф ду ' дх' (10.71) Примем вместо х и у в качестве новых аргументов величины (10. 72) 1 = х, и = ф (х, у). ') 1(итируем по его статье в сборнике «Современное состояние аэродинамики больших скоростей», под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
