Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 52
Текст из файла (страница 52)
не превосходящих значений. при которых газ уже нельзя считать однородным, а коэффициенты тепло- емкости постоянными. При продольном обтекании пластинки давление во внешнем потоке повсюду одинаково (р = сопы = р , — = 0); при этом вторая др дх основная форма уравнений пограничного слоя в безразмерном виде (8.23) приведется к виду 320 ллминляный слой но плостинке в птолольном потоке (гл.
и а) задание энтальпии (илн температуры) на поверхности пластинки д'= й' при у'=0; й'= 1 при у'= схо; (10.3) б) условие отсутствия теплоотдачи с поверхности пластинки (пластинчатый термометр) д)г'(ду'=0 при у'=О, д'=1 при у'=ос. (10.4) А. А. Лородннцын ') указал обшее преобразование координат, сообшаюшее уравнениям пограничного слоя в газе форму, близкую к форме уравнений пограничного слоя в несжимаемой жидкости. Это преобразование имеет вид о У где рд и ро — постоянные величины, выражаюшие давление и плотность в адиабатически и изэнтропически заторможенном внешнем потоке.
Используя в случае продольно обтекаемой пластинки вместо ре и ре величины Р и р , примем преобразование Дородницына в форме у' 1= х', т~= ( Р'ду'. (1 0.5) о С целью упрошения записи откинем в дальнейшем штрихи в обозначении безразмерных величии. формулы перехода от дифференцирования по х, у к дифференцированию по '„о) записываются как д д длд д д (10.6) дх д1 дхдл ' ду д» ' Первое равенство системы (10.1) преобразуется к виду ди дч ди ди д ( диг Р" . '+ Р" + Ро ' Р = Р (РР )' до дхдч дч дт( дч)' после сокрашения на р и принятия в расчет последних двух равенств системы (10.1) получим (10.7) Из второго равенства системы (10.1) найдем дф дф дф дф дч дф дф дч Ро =— ') Л о р о д н и ц ы и Л. А., ПММ, т.
Ч1, 1942. 68) линейнАя зАВисимость ВязкОсти От темпеРАтуРы 321 так что дф и= —, дч ' дя дф и — +ро= — —.. дх дЕ' (10.8) Если ввести обозначение и — +ро=е, дч дх (10.9) то уравнение (10.7) приведется к виду (10.! О) причем дф Ю= —— дЕ ' и=— дф дч ' ди до — + — = О. дЕ дч (10.11) Подвергнем преобразованию (10.6) уравнение баланса тепла [третье уравнение системы (10.1)1; получим дЛ дч дЛ дЛ ! д / дЛЛ ри — +ри — — +ро р — = — р — ~рр — )+(Л вЂ” 1)М ррг~ — ), дЕ дхдЧ дч а дл ~ дв/ ~дч / с= — ". 2У Е (10.13) Тогда.
согласно первому равенству системы (10.11), будем иметь з/(2 УЕ) сР= ~ и( Ч )//3=2 1/ Е ~ и( ~ )с/( — ') = 2 УЕ ~и(~)с/г. е Вводя обозначение 2 ~ и (ч) с/Г, = р (ч). 21 Зяк. 222. Л. Г. Лойцяксклй или, после сокращения обеих частей на р и принятия в расчет (!0.9), а также последних двух равенств в системе (10.1), и — +о — = — — (Л вЂ” )+(Л вЂ” 1)М Л ( — ) ° (10.12) дЛ -дЛ 1 д / л-гдЛ'с г л-г /диас дЕ дя л дл(, дл) дч Используя, как и в задаче Блазиуса для пластинки в потоке не- сжимаемой жидкости, наличие автомодельного решения, получаемого вследствие независимости граничных условий от продольной коор- динаты х, будем искать выражения для продольной скорости и(Е, г/) и энтальпии Л(,', л) как функпий от одного аргумента с., равного с) (с) получим (штрих в производная по Ф=У'%Рб), и=2~' 1 о = —,. (ср' — е), 2~' ": 1 „ д'и 1 4 у"» ' дч» 81 дд 1 — == И'.
дч 2)г 4 ди 1г „ди т дд 1Р д,= 2;- Подставляя эти выражения в уравнения (10.10) и (! 0.12), подучим систему двух обыкновенных уравнений третьего и второго порядка. служащих для определения неизвестных функпий р и И: (И" 'е")'+ рр" =О, (ИИ)+4(И1)ЪИР+ ~И О Граничные условия для у будут 4~=0, и'=0 при (=О, р'=2 при (=со. (10. 15) Граничные условия для энтальпии И, согласно (10.3) и (10.4), выразятся в одной из следующих форм: а) задание температуры на поверхности пластинки И=И при ь=О, И=1 при (,=Со; (10.16) б) случай отсутствия теплоотдачи —,=0 при ь=О, дИ д; И=! при ч=со. (10.17) Интегрирование системы уравнений (10.14) в общем случае требует применения численных методов.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда связь между козффипиентом вязкости н температурой линейна (п = 1). В этом случае первое уравнение системы (10.14) становится автономным; имеем Р"+ Ри=О, И + ерИ + 4 (И 1)М ~ О (10.18) Первое из этих уравнений при граничных условиях (10.15) отличается от соответствующего уравнения и граничных условий задачи 322 лАмннАРный слОЙ ПА плАстинке в пРодольном пбтОке 1гл.
х й 68[ лииайнАЯ ЗАВисимость ВЯзкОсти От тямпеРАтУРы 323 о пограничном слое на пластинке в несжимаемой жидкости только тем, что аргумент (. в настоящем случае по сравнению с аргументом ть Определенным по (1.36), содержит множитель '[з. Следовательно, для определения функции у(ь) и ее производных с указзнной поправкой можно пользоваться приведенной ранее таблицей 1, Тогда, интегрируя второе уравнение системы (10.18) подобно тому, как это было сделано в 9 58 предыдущей главы.
найдем значение л(~) в фзрме л(()= — (Уг — !)М 9(()-[- — ~ [ср" (".)['И~+Си (10.19) где введено обозначение 6(1) =2е ~ [Т" Д)]'~~~ ~ [р" (."~)[а-',1~' (10.20) а постоянные интегрированна С и С! должны быть определены из граничных условий (!0.16) или (10.17). Полагая О=со, найдем значение постоянной С, = 1; полагая ч = О, получим .1 — л + ! ( — 1) М а(0) С вЂ” . (10.21) Обозначим через й, и Т, значения энтальпии и температуры пластинки в условиях (10.17) отсутствия теплоотдачи, что соответствует использованию пластинки в качестве измерителя температуры потока .- пластннчатого термометра. В этом случае, дифференцируя (10.19) и учитывая, что О'(0) = О, найдем С = О, т.
е. по (10.21) при и =' /0 получим (10. 22) Перейдем в этой формуле к размерным температурам; найдем Т, = Т 1,! + 3 9 (О) (Тз — 1) М 3 = Т ~1+ г (е) — (7з — 1) М 1. (! 0.23) 1 Множитель г(а) = 4 б(0), характеризующий отличие величины Т, от температуры аднабатически и изэнтропнчески заторможенного газа 3 †Т1 — — Т ~1-+ — М [, носит наименование коэффициента восстано- 21' 324 ллминлтный слой нл пластинка в пгодольном потока (гл. х аления (гесочегу 1ас1ог — в американской и английской литературе), а величина 9 (О), согласно (10,20), равна 9(0)=2е ~ (~р" (~)1'а ~1р" (С')1 *Б', о о (10.24) Возврашаясь теперь к обшему случаю наличия теплоотдачи с поверхности пластинки и пользуясь выражением (10.22), можно представить постоянную С, определенную соотношением (10.21), в виде С= (10.25) Исключая постоянную С нз (10.19) при помоши (10.25), получим искомое распределение энтальпни (или температуры) в окончательной форме ~ (т" д) йс Ь (~) 8 (й 1) М 9 (()+()г — йг) + 1 (10 29) [, ' (()1а зг е Остановимся на некоторых частных случаях.
Прн отсутствии тепло- отдачи с поверхности пластинки Ьм=дн т. е. для пластинчатого термометра будем иметь безразмерное расйределение энтальпии Ь(()=1+ ~ (Ф вЂ” 1)М 9((). (10. 27) или. переходя к разлгернмм температурам, Т= Т41 + В (А — 1) М'-9(()1. (10.28) равенство: ° Т, 1+ — (Ув — 1)М, 1 — — ~~" . (10.29) 2 у2 Если, кроме того. е = 1, то. согласно (10.20). будет (и — размерная скорость) 9 (С) = 2 / <рл (С) ~р' (() йС = ~ рж(г.)~ = 4 ~1 — ( — ) ~ с и.
следовательно, равенство (10.28) переходит в такое, тождественное со случаем изэнтропичЕского движения идеального (невязкого) газа 9 681 линейнАЯ 3АВисимОсть ВЯзкости От темпеРАтУРы 325 В частности, на поверхности пластинки (и = 0) будет Т Т Т ~1 + (й 1)М. 1 Та (1О 30) г (а) = — 8 (О) =' ~l а. 1 4 (1О. 31) Только для воображаемого газа со значением а = 1 возникновение тепла за счет диссипацин механической энергии уравновешивается теплоотводом путем теплопроводностн, что уподобляет движение адиабатическому. Коэффициент восстановления г служит мерой этого теплового дисбаланса в реальном вязком газе.
Если в общей формуле (10.26) устремить М к нулю, т. е. перейти к движению с малымн (точнее, далекими от скорости звука) скоростями, то после перехода к размерным температурам и простых преобразований получим Г "")1'"' т — т з Это соотношение, правая часть которого представляет собой функцию от аргумента (., выраженного, согласно (10.13), через переменные Дородницына, справедливо как для случая р=сопз1, 9 =сопз1, рассмотренного в начале предыдущей главы 19 58, формула (9.9)1, так и для переменных р и р, связанных соотношением !»р=сопзг или п=1, Определим местный коэффициент теплоотдачи пластинки с температурой поверхности Т, Вычислим размерную производную от температуры по нормзли к пластинке.
дТ7ду. Из поверхности где Тз — температура адиабатнчески н изэнтропически заторможенного газа или, короче, «температура торможения». Таким образом, при а= 1 и ранее принятом допущении о линейности связи между коэф. фициентом вязкости и абсолютной температурой газа показание пластннчзтого термометра, расположенного параллельно потоку, совпадает с температурой торможения газа.
В случае а Ф 1 формула (!0.23) отличается от (10.30) наличием коэффициента восстановления г(а), характеризующего неадиабатичность движения в пограничном слое. Как показывают расчеты по (10.24), этот коэффициент для газов меньше единицы (г=0,770; 0,895; 1 соответственно при а =0,6; 0,8; 1). Можно с достаточным приближением считать 326 ламинарный слой нл пластинка в продольном потоки (гл, х пластинки. Имеем, переходя в правой части к размерным величинам. дл 2 „~ — дт 2 /~сох роэдт д;=т " д;=т Г и 'рду' откуда следует Но по (10.19) („—,) = 8 (рл(0))'; кроме того, в случае пластинки (р = р ) по формуле Клапейрона будет р т р„=т ' 8,/ /' получим Я =-2 (Т,— тч) ° т У(о) рà —, где, как и в й 58 (формулы (9.12) и (9.14)], положено (10,32) ж 0,664 ) ' о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
