Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 48
Текст из файла (страница 48)
г 1я =3 а г1бг 3 Кроме того. из равенств т = рг'(2 — р), яг = р((2 — р) будет следовать 3 = 37(3 — 8), 3 = 381(8+ Ц. Совершая преобразование (9.36) над вторым уравнением системы (9.35), получим дф дТ дф дТ ч д'Т ду дх дх ду а дуг Решение этого уравнения будем искать в виде произведения Т= Т (х)п(1); аг(0)=1. 8(оо)=0. 294 темпеватггный и диеетзионный погвлничные слои !гл. !х Тогла уравнение (9АО) сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка (штрих — производная по с) ят+-аФд' — а(2 — !8)1= '" ~ Ф'ат= О, Лх 7 которое при задании степенного профиля темперзтур по поверхности тела Т = Атхт = А хт совпадает с уравнением (9.31). Таким образом, результаты предыдущего параграфа легко пересчитываются на случай тела вращения' ).
Пограничный слой на теле вращения вблизи лобовой критической точки при малых скоростях обтекания и при Тн= сопя( может быть исследован достаточно просто и без применения преобразования Степанова. Действительно, при ш = 1 будет У = сх, а радиус поперечной кривизны вблизи критической точки может быть принят приближенно равным го ††' х. Система уравнений (9.35), если положить х ду ' х дк ' — — о= — — —, ф=(тс) х ~(т!), '='- — ('- — '- =Ил (9.4 1) сведется к системе двух уравнений (штрих — производная по т)) 7"' — 2О =1+,1 д" — 2ауд' = О.
(9.42) ах=[! *Р( т туФ)~т] (9,43) получим т(т)=а(о(.*т( — т !" та,)~,. о 1 о (9.44) ') 0 гаКе й., Заигп. Аегоп. Яс!. 20, Ьй 5 (1953). а) Н о т а и п г., Ееносвг. !. Апйеж. Мань о. Меев. 16, га 3 (1936). о) 31Ья ! и! и М., Зошп. Аегоп. 3с!. 19, И 8 (1952) (русск. пер. в сб, «Механика», ИЛ, в. 3, 1953, стр. 45 — 47).
Решение первого из них было выполнено численным методом Хома- нома), второго (при граничных условиях д=-О при т)=О, у=1 при т) =со) — Сибулкиныма). Введя обозначение твчпвзатгзный слой нл чтннном цилинзга лпределим местный коэффициент теплоотдачи а(х) вблизи лобовой ритнческой точки, вводя, как всегда, местное число Нуссельта (9.45) Вычисление интеграла (9.43) показало, что в интервале чисел !Рандтля 0,6 < о < 10 можно приближенно положить С(о) = 0,763оо4 (9.46) ;ак зто следует из таблицы 23, з которой сравниваются точные и 4риближенные значения С(о).
Таблица 23 0,6 0,8 1,0 2,0 1О С (а) 0,625 0,700 0,768 0,988 1,76 0,763ао 4 0,622 0,698 0,763 1,01 1,92 Окончательное выражение для местного числа Нуссельта в функши от местного числа Рейнольдса и числа Прандтля будет Х„= 0,763К~~до~'. (9.47) (ля случая шара, вводя вместо х диаметр шара 41 и замечая, что этом случае У= — У з!п — „='ЗУ х/А с=30 /А 3 2х 4ОЛУЧИМ 1 32 Кволое,4. !!ей (9. 47') $62.
Температурный пограничный слой на длинном цилиндре в продольном потоке Как уже указывалось а 9 35, при продольном обтекании длинюго цилиндра кругового сечения пограничный слой успевает нарасти 4астолько, что становится сравнимыл4 по толшине с радиусом циляндра. В этом случае уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости пограничном слое образуют вместе с уравнением баланса тепла левее сложную систему уравнений, чем (9.35), так как уже нельзя 296 тзмпегатгвный и диееузяонный погеаничныв слои !гл, ~х больше принимать расстояние г точки в пограничном слое от оси вращения тела равным радиусу ге поперечной кривизны тела. В рассматриваемом сейчас случае продольного обтекания цилиндра (У = (/ = сонь!) будем иметь следующую систему уравнений: ди ди 1 д Г ди! и — +о — =ч — — (г — ~, дх дг г дг\ дг)' дТ дТ ч 1 д / дТ! и — +и — = — — — — (г — 1, дх дг а г дг(, дг)' д (ги) д (ги) О их ду (9 48) Совокупность первого и третьего уравнений представляет собой автономную систему гидродинамических уравнений, интегрирование которой было выполнено в Я 35 и может рассматриваться как известное.
Зададимся следующим асимптотическим выражением для функции тока ф на больших расстояниях х от передней части цилиндра (а — радиус цилиндра): ф = чх/(ей х) — х ауз(т~)-+ ~'(~) + '~', ') + ...~, (9.48') где фУнкции Тз, „Тп ..., как было показано в Я 35, выРажаютсЯ при помощи различных комбинаций интегральной показательной функции Е! и ее интеграла Е! (см. 0 35.
формулы (5.57), (5.61), (5.64)!. Переходя к исследованию температурного слоя'), положим аналогично первой строчке (9.48') ††. =- 0(~; х) = Оз(~)+ †'~,'~' + '~'.~' + ... (Я 49) Пользуясь принятым выражением для функции тока (9.48') и соответствующими выражениями продольной н поперечной скорости 1 д/ ч / ду дУ1 и = — У. —, и = — ! 0 — — г" — х — г1, дх )' придем к следующей форме уравнения баланса тепла: д'з l дуч да 1 дг' да '0 — + ~ ! + Т -(- х — ) — — — ех — — = О. (9.50) дтч дх) дз 2 дз дх Подставляя сюда асимптотнческие разложения 7 (тй х! по (9.48') и О( д х) по (9.49), приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми отрицательными показателями степени при р. Тогда получим следующую систему обыкновенных линейных дифференциальных ') Воя гпе Р. Е., !)ач1ез О.
й., !3иагь )ошп. о! Месп. апд Лрр!. Май. 11 (!ЯЛ), 1. 29У твмпеглтгвный слой нл длинном пилиндгв $621 уравнений второго порядка для определения неиззе«тных функций 0„ (цгтрих обозначает производиую по !): 66" +(1+ —,' .У,) 6; = О, ,!6 +-(1+-,.У,) 6;=--,.У,6,', 1, 1 т!6а«+(1+ 2 еУо) 0а 2 еРа А)0е+ (Л +Уз)Ч' (9.51) '6 = е з (или г = и), '6 = '-«з 0=0 при 6=1 при (9.52) Желая избежать зависимости функций 6„(т!) от параметра р, входящего в первое граничное условие (9,52), заменим это точное условие иа приближенное: 6 = — О при л = О. При этом уравнение (9.50) вблизи т! = О (У =' О, — =' О, — =' О) сведется к уравнению дг", ду дл ' дч "л6" + 0'= О и будет иметь решение 0 =' С -1- Е) ! п и, так что все функции 6„в асимптотическом разложеиии (9.49) будут иметь общий вид 0„=' с„-1- д„!п л, (9.53') где с„, с(„— константы.
Чтобы их определить, подставим только что полученные выражения для 6„в первое граничное условие (9.52); гогда получим СО Х с„— 0лч =О, «=0 откуда следует, что г(о= О ~1! — — со Иа = с,, „И„= с„!. (9.53") Совокупность равенств (9.53') и (9.53") определяет собой граничим. условия при и — «О. При т! — «.хз будем, очевидно, иметь 6е -« 1, 0„ -« О (при л ) О), если г, -« х~.
(9.54) Первое из уравнений системы (9.51), если вспомнить ((5.57), $ 35), что Уе — — 2ч, приведется к виду 56ч -! — (1 !- а'ч) 0,~ = О Граничные условия для функций 0„должны быть выведены из общих граничных условий для 0 298 темпеватгвный и диффтзионный погвлничныв слои (гл, !х с очевидным решением 6 = сопя! = с = — 1, удовлетворяющим граничным условиям (9.53') и (9.53"). Физический смысл этого решения заключается в однородности поля температур Ое, находящейся в соответствии с однородностью поля скоростей: у' = 2«1, у' = 2, и = (у Второе уравнение системы (9.51) приведется к тому же виду, что н предыдущее, а именно «0~+(1+а«!)0~ =0.
и при принятых граничных условиях будет иметь решение О, = А Е! ( — а0), А = сопя!. (9.55) Замечая, что (( — постоянная Эйлера) Е!( — ч«)) !п 0+((+!не) при п-ьО, найдем по (9.52) и (9.54) А = 1, с, = 4!а ††.!+1и е, и, следовательно, 0!(«!) =Е1 ( — а"л). (9.56) Аналогичными рассуждениями — не будем их воспроизводить— можно показать, что 6 («) ехр( — чл) Е1( — л) — (! +а) Е1 ( — (1+о) л)+ +(1+ ч) Е1( — ап)1п «! — (2+ в) Е1( — е«!)-(- В Е! ( — а 4)— — е ) е 'Е1( — !)С г(1, (9.57) где постоянная интегрирования В равна В = а (1+ () + 2 (у + !п е).
При этом попутно выясняется, что са иа Т +(в+2()!па+(! — — а)!п а— ! 2 ча — (1 + е) ! и (1 -ь- а) — — (1 + о) + аВ,; (9,58) «а «3 В = — — — + —— !г а+За Ряд В, сходится при а(1; при а) 1 ряд расходится, но оказывается суммируемым в смысле Эйлера. Для значений О (а ( 5 ряд этот затабулирован ').
') Р о ж е ! ! Е. О., Рпй. а(ад. 34 (1943), 000, 300 ткмпвглтхвный и лифэтзионный погелничные слои (гл (х дТ дТ ч ГгМТ 1 дТ д'Т~ и — +чи — = — ~ — + — — + — )+ дг да а (дгз г дг для) +Я ( —,")'+ (-")'+ ®)'+ +Ф вЂ” -,")'+(~:)'+(~:+Ф)'1 (9.61) Т= Т при а=оэ. Т=Т при 2=-0, Напомним, что здесь, так же как и в гидродинамической части задачи, диск заменяется бесконечной плоскостью, вращающейся с угловой скоростью н вокруг оси Ог. Конечность радиуса диска принимается во внимание лишь после того, как решение уже получено и остается только разыскать суммарный момент сопротивления нли, в случае тепловой задачи.
общее количество тепла, снимаемого жидкостью с пологретого диска или передаваемого диску нагретой жидкостью. Именно такой приближенной постановке соответствуют граничные условия, помещенные в последнюю строчку системы (9.6!). Используя обозначения (6.3) и (6.4) и присоединяя к ним дополнительное выражение для температуры Т= Т,+ ~ з(ь) + -г— " г(Г), .гс Ус (9.62) получим вновь систему обыкновенных дифференциальных уравнений (6.5), к которой присоединятся еще два уравнения для з1С) и г (С) з" — айз'+й'з = — в(У' + К') (9.63) (" — ч)г(' = — (4з -1- 12чР) со следующими из (9.62) граничными условиямн: а=О, С= — (Т вЂ” Т ) при С=О, а=О, г=О при С=со. ! (9.64) К уравнениям (6.1), приведенным в 9 38, присоединнм уравнение баланса тепла, причем в отличие от предыдущих примеров сохраним вначале, следуя изложению авторов, диссипативные члены, которые до сих пор откидывалнсь как малые.
Принимая те же обозначения, что и в $ 38, булем считать температуру поверхности диска постоянной и равной Т . а температуру жидкости вдалеке от диска обозначим через Т . Уравнение баланса тепла и соответствующие ему граничные условия (у — механический эквивалент тепла, с — коэффициент теплоемкости несжимаемой жидкости) записываются в виде 302 твмпвРАТУРный и диФФУзионный погРАничныз слОи [гл. !х как это следует из второго уравнения системы (9.63) при условии пренебрежения диссипативными членами, содержащими а и 5э. Тогда, интегрируя, найдем с ррр=р( *Р (рр' )» -рр ° о 1 о При граничных условиях Г,=1 при (=0 н Г,=О при ~=Со о~сюда получается 1 ор / с р,р:р=> — г р~ гррр) рр г *р~ г ррр1рр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
