Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Та же форма (9.1) сохраняется и в случае продольного обтекания тел вращения, если толщина пограничного слоя может рассматриззться как величина малая по сравнению с радиусом поперечной кривизны тела. Отличие от плоского пограничного слоя скажется Настоящая глава посвящена вопросу о тепло- и массопереносе в стационарном ламинарном пограничном слое при малых скоростях.
Как будет показано в конце главы, с математической стороны решения задач о теплопереносе и массопереносе полностью совпадают. Поэтому з настоящем и последующих семи параграфах будут рзссмотрены сначала тепловые задачи. Использование полученных результатов для расчета диффузии вещества в пограничном слое составит предмет последних двух параграфов.
В этой главе мы ограничимся лишь случаем настолько малого перепадз температуры в потоке, что можно пренебречь влиянием этого перепада на плотность, вязкость и теплопроводность жидкости. Более общие допущения будут приняты в следующих главах, где рассматривается газовый поток больших скоростей. В случае малых скоростей (М = О) в безразмерном уравнении балансз энергии |третье уравнение системы (8.23)] член с квадратной скобкой в правой части исчезает; возвращаясь к размерным велнчи. нам, получим следующее уравнение баланса тепла: ф 58) темпевлтяяный слой нл пгодольно оятеклемой пластинка 281 лишь в структуре урзвнения неразрывности. Если же, подобно тому как это имело место при движении, рассмотренном в 2 35, нельзя пренебречь толшиной слоя по сравнению с радиусом поперечной кривизны телз, то приходится пользоваться более общим уравнением баланса тепла в цилиндрических координатах дТ дТ т 1 д / дТ! и — +о — = — — — !г — !.
дх дг ягдг! дг/' (9.2) ди ди и — +и— дх ду ди дгу — +— дх ду дТ дТ и — +и— дх ду дгя =т д (9.3) =О, ч дгТ а дуг с граничными условиями и=гг=О, Т= Т при у=О. = и„, Т= Т„при (9.4) Первые дза уравнения системы (9.3) прн граничных условиях (9.4) автономны и соответствуют гидродинамической задаче Блазиуса о пограничном слое в изотермическом потоке (ф 4). ') Рой ! й зелен Е., Лейзсиг. !. Анйем. Л!апь ж Меси. ! (1921). Это же уравнение применяется и при решении задзч о свободном осесимметричном пограничном слое в струях и следе за телом. Наряду с гидродянамическим пограничным слоем, определяемым как область, где продольная скорость изменяется от нулевого значения нз поверхности тела до значения, соответствующего внешнему потенциальному потоку, возникает понятие о температурном (его иногда называют тепловым) пограничном слое, в котором температура изменяется от температуры поверхности тела, одинаковой нлн переменной вдоль поверхности тела, до температуры внешнего потока.
Начнем с простейшего примера тепловой задачи Польгаузена ') о поле температур и теплоотдаче пластинки в продольном потоке вязкой теплопроводной жидкости. Обозначим через Т температуру плзстинки и будем считать ее одинаковой вдоль всей поверхности пластинки, а через Т вЂ” температуру набегающего потока. В рассматриваемом случае Фр!ох=О, и дело сводится к интегрированию системы уравнений 282 твмпеваттаный и днеетзнонный погглничныв слои [гл ~х Представим поле скоростей в гидродинамическом пограничном слое в виде (аргумент отличается множителем '/т от аргумента, принятого в $ 4) 1 2 (9.6) / и ух' х 2 где функция е(л) удовлетворяет уравнению и граничным условиям р"'-[- рр" = О, 9=о.
р =О е' — ь2 при ~~=О, при т, -+;>з. (9.6) Переходя в последнем из уравнений (9.3) от переменных (х, у) к переменным (х, и), получим после простых преобразований обыкновенное дифференциальное уравнение 0" +а90'=О, (9.8) интегралом которого при граничных условиях (9.7) будет 0(я)= ~ е " дб: / " от[ Замечая, что по (9.6) перепишем предыдугцее выражение в окончательной форме (9 9) Приведенная в 9 4 таблица е, р', о" может быть легко пересчи- тана на новый аргумент и функцию, Введем безразмерную разность температур 0 (т)) = . е'; 0 = О при ~) = О, 6 = 1 при т) = со, (9.7) Т вЂ” Т =Т вЂ” Т,.' 9 Щ тимпвилтгвный слой нл пгодольно озтвклвмой пластинки 283 и(х)=ЧЩКТ.— Т)= — )',д ) Т Т ! дТ1 1 (9.1 1) где и, — секундное количество тепла, переносимого через единицу площади стенки, а также местное число Нуссельта ах 1 !ч„— — = — г(а) 1'К .
Х 2 (9.1 3) функция Т(е) была вычислена Э, Польгаузеном в ранее цитированной его работе и в интервале 0,6 (а ( 15 оказалась приближенно При числе Прандтля о = 1 нз последнего равенства следует т — т т' (ч) и ( ~) = т™ — т„= т ( ) = о' (9. 10) что выражает условие подобия при а = 1 распределений разности между температурой на стенке и в данной точке сечения пограничного слоя и скорости потока в том же сечении. В общем случае (е + 1) распределение 6(ч)) в температурном пограничном слое отличается от распределения и(ч)) в гидродинамнчсском слое.
Для обычных газов о сравнительно мало отличается от единицы и разница между кривыми 6(п) и и (ч)) невелика, Для жидкостей а изменяется в широких пределах (о ~~ 1 для вяаких масел, глицерина; о (( 1 для жидких металлов) и разница становится весьма заметной. На рис. 61 приведены кривые распределения 6 (~) для и ' нескольких значений ш подтверждаю- ) д щие сказанное," кривая о = 1 пред- ) с( стзвляет одновременно и распределение безразмерной скорости и/О Обратим внимание на один отчетливо выраженный на графике факт. Толщина температурного пограничного слоя (в том условном смысле, как вто было принято ранее) возрастает с уменьшением числа Прандтля о, совпадая с толщиной гидродинамического слоя только при а = 1.
При а ) 1 температурный слой тоньше гилродинамического; при а ( 1, наоборот, гидродинамический слой толще температурного. Определим местный коэффициент теплоотдачи а(х), равный 284 тампягаттвный и диефузионный погглничные слои (гл.
гх представимой равенством ~ (а) =' 0,664 Уе, (9.14) так что в указанном интервале а можно положить приближенно Х„=0,332)Те 1~ К . (9.15) Интегрирование теплоотдачи по длине ь пластинки приводит к суммарной характеристике теплоотдачи пластинки в форме числа Нуссельта ~ цидх Хц— о Х(Ти — Т~ ) 1 (Т,„— Т,) ги = — У(и) ~l — / Т= =Ли)~l о цли. согласно (9.14), Хц ='0,664 1' а '!УК~; !! (9. 16) Для газов такое приближение вполне допустимо, так как в интервале 0,6 (а (! разница между точным (9.12) и приближенным (9.14) значениями 7'(е) не превосходит !,5Я.
9 69. Температурный пограничный слой при продольном перепаде давления Только что рассмотренное решение задачи о температурном пограничном слое на пластинке при ее продольном обтекании ((7 = сопя!) легко обобщается и на случай заданного распределения скорости с1(х) на внешней границе. Основные уравнения имеют в этом случае вид ди ди НУ д'и и — +о — =У вЂ” +ч —, дх ду дх дуз ' — + — =О, и — +оди ди д0 дз ч дза дх ду ' дх ду а дуч ' (9.17) причем для безразмерной разности темперагур 6 сохранено то же обозначение (9.7), что и в предыдущем параграфе. Граничные условия примем в форме а=о=О.
0 =0 при у=О. и = У(х), 0 = 1 при у = со. (9.18) Можно заметить, что при а = 1 величина 0 играет в точности ту же роль, что трансверсальная скорость тв в задаче о пограничном слое на косо обтекаемом цилинлре (9 46). Действительно, в этом случае 286 темпееаттеныИ и диеехзионный погелничные слои [гл Пользуясь распределением 8 ([), выраженным формулой (9,21, получим окончательно !рк = К (а лг) Кк (9.22 где положено Е -1 кр', р-("р+')' / .*р [ —. / ррррр~ рр) .
рррр !о о В частном случае плоского температурного пограничного слог вблизи лобовой критической точки цилиндрического тела В (гн = 1, получим следуюшую формулу для местного числа Нуссельта: [к!к = — = К (а; 1) Яка = К (а; 1) фl — х, (9.24 где коэффициент К(а; 1) может определяться из таблицы 20. Таблица З р.е ( 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 10 15 7,0 К(н 1) 0,466 0,546 0,495 0,521 0,570 0,592 1,18 1,34 Для круглого цилиндра диаметра с! вблизи лобовой критическот точки (лг = 1) будет У = 2У з!и — 4У х/с! = сх, 2х так что с = 4У„!рр' и формула (9.24) приводится к виду !к!к= 2К(а; 1)( ) ° —,.
(9. 25 Более обший случай характеризуется заданием скорости внешнею потока функцией У(х) = хм [ло+ л,х"+'+ л,хз' +!1+ и с гидродинамической стороны рассмотрен Гертлером и Виттиьгом (9 14). Выполняя над уравнением теплового баланса преобразование (2.51, придем к уравнению в новых переменных [, л — у+а[(Р+ 2с д ) д — 2: д — р) =О.
(9.26 ') См. Современное состояние гндроазродинамнни вязкой жидкости поа ред. С. Голдстейна, ИЛ, т, 2, 1948. и 60) лдлннов глспивдвлвнии твмпвглтггы нл повевхностн 287 где  — то же, что и ранее, а граничные условия будут В(г, 0)=0, В($, со) 1, (9.27) Лля случая из = 1 и а = 1, вводя, так же как и в 6 14, функцию к Р Р = 2и (х) ~ и (х) дх!и (х) з и пользуясь разложением Р(1) =До+Ц-!-~з(т-(- можно получить следующее выражение для числа 5!«1): (1Ч Як)(24)а = 0,5705+ 0 062!2~г(+( — 0,02105~аз+0,06345~ ) 1т+ +(О'00826Я 0'03880Цт+0,06273Дз)(з+ ! ( 0 00364~4+ 0 02222Щ 0 08632Щ 0 01769Я + + 0,06150~4) 14+(0,00175~~ — 0,01299ф + 0,02050фз+ + 0,01994Я вЂ” 0,03437٠— О,ОЗЗООф ~ — 1- 0,06016~ ) (з. (9.28) В частном случае лобовой критической точки мы получим рз = 1, = О, с = — !7„, и предыдущее равенство сводится 1 к соотношению Хк — — 0,5705!!»с' в полном соответствии с (9.22) и таблицей 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
