Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда из предыдущего равенства сразу следует закон сохранения импульса, который запишем по аналогии со случаем неаакрученной струи так: 2х ~ г(р-!-риз)г(т=сопз(с Уе. о (6.?1) д(гиш) д(гипс) д ! 1 д дх + дг + отю = чт — — (гтв)~ дг ~т дг или, после повторного умножения на г, еще так; д з д а д г д т д — (таити)+ — (гаош) =ч — ~г — (гтв) ! — 2ч — (гтв), дх дг дг ~ дг 1 дг Тогда, интегрируя обе части этого равенства от г = 0 до г = со и делая вновь предположения о достаточной быстроте убывания ком. понент скорости и и ш при бесконечном удалении от оси струи (оправдать нх можно по найденному решению), получим г — г г'ими'=0 о откуда следует второе интегральное условие 2пр 1 гаипч дг = сопз1 = ?е, о (6.72) Под величиной )ч в данном случае подразумевзется разность давлений в данной точке струи и вне струи.
При х -Р сю давление в струе выравнивается и становится одинаковым с давлением в окружающей струе жидкости; тогда Ге совпадает с константой незакрученной струи. Для вывода второго интегрального условия используем вновь уравнение неразрывности и, умножая еще обе части третьего уравнения на г, перепишем его в форме 202 тгвхмавныв осеснммвттичныв погваничные слои [гл. ш ф — ч(ах+а + — '+ ...), (6.73) где а, а„, ан, .. — неизвестные функции той же самой координаты ть что и в 9 37.
Скорость закрутки ти и давление р, отсчитываемое от давления вдалеке от струи, зададим также асимптотическими разложениями — + — + а, ая -х хя (6.74) — — — + — + р с, ся р х х' (6.76) где Ьо Ьт..... сн с,, ... суть неизвестные функции т). Вычисляя коипоненты скорости течения в меридиональной плоскости (штрих в производная по т1) 1 дф а' 1 ао 1 а1 1 г дг Ч х + Ч ха + Ч х' + ' ' '' "= — г д, = х ~а — — +аз' — „+(а + — ) — „*+ ".~ (6.76) и подставляя принятые разложения в систему уравнений (6.69), путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х получим уравнения для определения искомых функций.
Так, из первого уравнения системы (6.69) будем иметь с,+т)с',=О, ( — ) .~- ( — ) .)-( — ) ч.2 .~.~ '=О. ~ ( ) + ( ) + +Зсз+т1сз — — О, где через ье обозначается постоянный вдоль всей струи секундный перенос сквозь сечение струи главного момента количества движений жидкости относительно оси струи. Итак, для получения нетривнзльного решения задачи о закрученной струе необходимо задать по крайней мере две характерные константы струн: ее импульс и момент количества движения. Задача не бУдет автомодельной, так как наличие двУх констант Е~ и Уз с отношением, имеющим размерность длины, уже служит препятствием этому.
Следуя тому же приему, что и в случае незакрученной струи, введем функцию тока ф(х, г) для движения в меридиональной плоскости и будем искать ее в виде асимптотического разложения при больших значениях х, 6 48) 2ОЗ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАКРУЧЕННОЙ СТРУИ Точно так же из второго получим 21с' = О, 21с = Ь2, Т|с' = 2ь Ь, 2|се = Ь22+ 2Ь|ь, (6.78) а из третьего— 1 + а , 1 — а Ь -+ — Ь вЂ” — Ь,=О, чо Ь. 1+а, 1 —.
„ЗЬ вЂ” О, 2 ч 2 + ь— чо (6.79) Ос, |721 = О, ~ (ус + — ) Ф( = —, о о ОЪ / СО /(,., ") „=. и,; о о 21аЬ, |121=0, / 21(а Ь2+аоь2))|121= о о (6.80) Считая ось струи нулевой линией тока и используя условие конечности скоростей на оси струи и ограниченности расхода сквозь сечение струи, получим следующие граничные условия для функций а,а,,...: / Р 1 а =а,=а,=...=о а, ао, а,... ограничены при 21=0, (6 81) при |1 = оо. По определению скорости закрутки придем к соответствующим граничным условиям Ьг=Ь2 — — ... — — 0 прн о=о, Ь~=Ь2 — — ...
— — 0 при о=оо, (6. 82) н. наконец, по принятому отсчету давлений с| = са = сз = ° — — 0 при 21 = оо. (6.83) Наконец, интегральные условия (6.71) и (6.72) приведут к системе равенств 204 тввхмтвные осзсимметгичныв погзлничныв слои [гл, ш Из пятого условия системы (6.80) и первого уравнения системы (6.79) можно заключить, что Ь, = 0 удовлетворяет условиям задачи. Но тогда по (6.78) н (6.83) следует с« = с2 = сз = О.
(«12Ь' — «)Ь + 4аЬ )'=О, получим, используя граничные условия (6.82), «)Ь2 = (1 — и) Ь,, откуда следует Ь2(ч) 7 1 ) ач (— 1 + — а«Ч« 4 (6. 84) Напомним, что здесь постоянная в имеет то же значение, что и в случае незакрученной струи (9 37), а постоянная 7 должна быть определена из шестого интегрального условия системы (6.80), переписываемого в виде ОО ГО «1а'Ьа г[«1 = в 2ян'и' ч (6.85) Выполнив указанное здесь интегрирование, найдем З~~ З 7.,Р"~У; 64я)г я (6. 86) Давление определится асимптотическим равенством (6,75) с первым, не равным нулю коэффициентом 2 1 с = — З7 (! + — О«й«) (6.87) При этом функпии а («1) и ав(и) будут удовлетворять тем же уравнениям (5.99) и граничным условиям (5.100), что и в случае незакрученной струи, и соответственно определятся равенствами (5.92) и (5.106).
Ловольствуясь в разложениях для скоростей членами, содержашими 1/х2, приходим к необходимости определить лишь еше одну функцию Ь2(«)), характеризуюшую первый член в разложении скорости закрутки тв. Представив с этой целью второе уравнение системы (6.79) в виде 205 $43] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАКРУЧЕННОИ СТРУИ Собирая полученные результаты, придем к следующему окончательному решению поставленной задачи: 2 а а а -" '('--" ') (1 + 1 лаза) лата х 1 + лаза 1 4 3 2а' 1 1 1 — — алла раз 4 1 (1 + — аааа) (1 + — алла) (1 + †' аа,а) ' (1 + †' лата) ач 1 (1 + — аава) 8. 88) и„„„= — — 8а 2аа 1 л а х 2" ха' 2 а 1 ! 3 (1 + — алла) (;! = 2яр (4х+ р).
') Дубов В. С., Труды ЛПИ, Рй 176 (Энергомашиностроение), 1955. ') Цу к к е р М. С., ПММ, т. Х!Х, в 4, !955. В принятом приближении движение в меридиональных плоскостях с компонентами скоростей и. и оказывается независимым от наличия вакрутки, влияние которой на продольное и поперечное течение сказывзется только начиная с третьего приближения (члены с 1/хз). Третье приближение в рассматриваемой задаче было изучено В.
С. Дубовым '), Задачу о закрученной струе в общей постановке (для любых рейнольдсовых чисел) рассмотрел М. С. 1!уккер а). Отметим важный с качественной стороны результат: продольная и поперечная скорости в закрученной струе убывают по законам, в которых первые члены имеют порядок 1/х, скорость же закрутки по закону 1/ха. Это означает. что в достаточном удалении от источника струи, где только, собственно говоря, н верно предлагаемое асимптотическое решение, скорость закрутки убывает значительно быстрее, чем пролольная скорость. Рассмотренное решение предполагает, что начальная закрутка струи достаточно мала, чтобы в центре струи не образовывалось попятного движения.
Такого рода явление аналогично отрыву пограничного слоя с поверхности тела в области положительной производной г!рфх. В сильно закрученных струях отрицательное (при отсчете от внешнего) давление возрастает 906 тевхмевныг. освсимметвичные погганичныв слои 1гл. ш $ 44, Радиально-щелевая закрученная струя в затопленном пространстве Рассмотрим пространственную осесимметрнчную струю, вытекающую из круговой щели во внешнее пространство; физические свойства жидкости в пространстве и а струе предполагаются одинаковыми.
Такого рода струя может, например, образоваться при выходе жидкости из тарельчатого клапана (рис. 47), если ее предвзрительно закрутить вокруг оси симметрии клапана. и Вводя радиальную, поперечную и ззимутальную компоненты скорости и, о, ш и пользуясь О в качестве цилиндрических ко.
и ординат величинами х = ОМ = г. у и р (послелняя координата в силу симметрии нигде не фигуРяс. 47. рнрует), запишем сначала уравнения стационарного движения жидкости в струе в общем виде: 1др гд'и 1 ди и дена + 1 — + — — — — + — ). ~ дх' х дх хе дуя)' ди ди ше и — +о — —— дх ду х де де и — +о— дх ду дэ дш иш и — +и — + дх ду х д (хи) д (хю) дх ду р дх 1 др ! дев 1 де дев~ = — — — + 1 — + — — + — ) ° р ду (дхе х дх дуе)' (6.89) ') Б у ш и ар ни О.
Н., Труды ЛПИ, га 176 (Энергомашиностроение), 1955. вниз по потоку, т. е. в атом случае также имеет место положительность г(р/агх, что вызывает подтормажнвание жидкости вблизи оси струи и может привести к образованию обратного тока. Начало области попятного движения будет характеризоваться условием и = 0 при т1 = О. 1)ля решения задач о сильно закрученных струях с попятным движением необходимо определить поля скоростей при малых, а некпри больших х, как это сделано в вышеизложенном асимптотическом решении.
Распрострзнение закрученной струи в однородном спутном потоке было исследовано О. Н. Бушмзриным '), который выявил отличия такого рода течения от закрученной струи в покоящейся жидкости. $44! РАДИАЛЬНО-ШЕЛЕВАЯ ЗАКРУЧЕННАЯ СТРУЯ 207 ди ди м' д'и и — +и — — — =ч —, дх ду х ду' ' д|Р дга ига дгм и — +и — + — =у дх ду х дуе * + „=о.
д (хи) д (ли) дх ду (6.90) Полученная нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных должна быть разрешена при граничных условиях ди ды — =О, и — О, — =0 при у=О, ду ' ' ду (6.91) и=О, ти=О при у=+ оо. Что касается начальных условий выхода струи из радиальной щели, то они для упрощения анализа заменяются более простым требованием удовлетворения некоторым кнтегральным условиям, выражающим 'индивидуальные особенности рассматриваемой струи. Чтобы получить такого рода интегральные условия, установим две «формулы сохранения».
С этой целью, пользуясь последним уравнением системы (6.90), перепишем первое уравнение той же системы после умножения обеих его частей на х в виде — (х из) + — (лип) — щэ = э д д дг (ли) дх ду дуг Интегрируя обе части этого уравнения поперек пограничного слоя от у = — оо до у = оо и предполагая, что при выполнении принятых граничных условий (6.91) на внешней границе слоя обращается в нуль и первая производная ди/ду, получим, допуская сущеСтвование нижестоящих интегралов, следующее интегральное условие: д /' — хи с(у= тазг(у дх ./ — 00 СО (6.92) При больших значениях рейнольдсова числа пограничный слой струи будет тонок в направлении оси у, скорости и будут малы по сравнению с и и ти, и, наоборот, производные по у будут велики по сравнению с радиальными производными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
