Ламинарный пограничный слой Лойцянский Л.Г. (1014096), страница 32
Текст из файла (страница 32)
дЧ' 1 дР дн'à — + 2% — = — — — + м —, дГ дг 2а дг дг' ' —" ,+Р=О 6. 53) при граничных и начальных условиях Р=О, Ф= се(С), гг =0 при я=О, 1) О, Р=О, Ф=О при в=со, 1>0, Р = О, Ф = О, 1е" = 0 при 8 = О. В задаче об импульсивном приведении диска в равномерное вра щение с угловой скоростью саа можно положить (6.54) Р(г, й)=сн~~1У(т)), Ф(г, С)=сайф(т~), ~%(г, 1) = — 2 ~К'м сн Г "ф(т)), Р = 2трсн~1р (т)), (6.55) где введена новая независимая переменная Тогда система уравнениИ (6.53) сведется к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (штрих — производная по т1): (6.56) ум+ 2~,1' — 4/ = — 4фт, фн+ 2тф' = О, Р' = — (ф" + 2т1ф' — бф).
у' фс (6.57) 13 знм. ййг, Л. Г. Лайнннсмнй Граничные условия аналогичны (6.2), с той лишь разницей, что сн в данном случае зависит от времени. Кроме того, присоединяется нзчальное условие, которое при приведении диска во вращение из состояния покоя будет иметь вид и = и= тв = 0 при г = О. (6.51) Будем искать решение в форме и=гР(г, (), о=гФ(з, Г), гв=21г(г, г), Р=Р(г, с); (6.52) тогда задача сведется к интегрированию системы уравнений в частных производных !94 ТРЕХМЕРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ [ГЛ. И Р РУ аргу /.Г ЯР Рис.
46. ниже для более общего случая. Интересен факт наличия конечног~ значения ф, а следовательно, и нормальной к диску скорости прг больших т) и 1 ) О. Это соответствует известному уже нам по стационарному движению осевому подтеканию жидкости к диску и рас теканию ее в направлении от оси диска к периферии. Случай степенной зависимости угловой скорости вращения диск.
от вРемени, в = меР", также пРиводитсЯ к квадРатУРам. ПолагаЯ ПРГ том же выражении (6.56) для т) г'(ж Г) = оРГМ+'/(Ч), Ф(е, Г) = ме1'Т(т1), Чг(г, 1) = — 4 ~/ч вае1а" ь'Аф(т1), ) (, 1) — 2.р,1 'р(н), получим по (6.53) следуюшую систему уравнений: у" + 2пу' — 4(2а+ 1)у = — 4ЧР, 9" + 2тф — 4а9 = О, Ф'=У (6. 59 (6.60 р' = — ф" — 2~ф'+ 4(2а + — )ф 2) которую надо разрешить при граничных условиях 7=0, о=1, ф=О при т)=0, (6.
58 1" = О, ~р = 0 при т) = со. Система (6.57) может быть проинтегрирована в замкнутом вид" подобно тол~у, как это было уже сделано в задаче о приведеник в поступательное, прямолинейное и равномерное движение цилиндрь ческого тела (9 24). Действительно, второе уравнение системы (6.57 полностью совпадает с уравнением (4.5), а первое отличается от (4.10 только свободным членом.
Результаты интегрирования показань в форме графиков на рис. 46; аналитические выражения понаедем 9 41] диск, пвиводимый во вялшение из состояния покоя 195 с теми же граничными условиями (6.58), что и в случае и=О. Нетрудно убедиться, что уравнения (6.60) при а= 0 переходят в (6.57).
Обращаясь прежде всего к решению второго уравнения системы (6.60). совпадающего с (4.39), найдем ср (т[) = 2э"Г(а+ 1) д (т[), (6.61) где принято обозначение (4.41) для 2а-кратного интеграла функции вероятности, Решение первого из уравнений (6.60) после этого запишется в форме У (т)) = 2"+'Га (и+ 1) 3 — и' ! (т)) — д', (4) . (6.62) Г (2а + 2) "(+4) '" Из третьего уравнения системы (6.60) найдем ф простой квадра- турой, а затем по четвертому уравнению той же системы и распре- деление давлений. Столь же просто решается задача о развитии пограничного слоя на начинающем вращаться иа покоя шаре при степенном законе возрастания его угловой скорости '). Случай внезапно приведенного в равномерное вращение шара был ранее изучен Нигамом а). По-видимому, впервые Ф.
Мур з) указал на принципиально иной метод подхода к решению задач о пограничном слое на диске, совершающем произвольное неравномерное вращение. В общем случае вращения диска в безграничной области, заполненной несжи- маемой вязкой жидкостью, решение уравнений Стокса может быть представлено в форме разложений и = гм [Р (4)+ ргР! (т!)+ раР,(4) [-...]„ ту гю [О (т!)+ г!О1 (т[) + гаоэ ( ) + ' ' ] тв= гм [Н(ч)+ргНг(т[)+раНт(т!)+...], ,Р= рм [~ (т[)+ДгРф(т))+~а~ я (т!)[- т где т)= л/(а/э) ', а коэффициенты р!, равные последовательно (точкз— символ дифференцирования по времени) 'р = е/оР, ') Розин Л. А., цитированная выше статья.
г) !Ч!паш 8. !)., Ее!!зонг. 1. Апяеш. Маг!!. э. Риуз. 4, )а! 3 (1%3), стр. 221 — 223. ') Цитируем во статье: 5 р а г г о и~ Е. М., 0 г е я я 1, !... Лонги. Аего/Брасе Зс!евсея 27, )й 4 (1960), 252 — 256. 106 ТРЕХМЕРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ [ГЛ. Ч! ш/шз ( 0,0834. ф 42. Пограничный слой на теле вращения, внезапно приведенном в равномерное винтовое движение') Зададим уравнение поверхности тела вращения так, как это уже делалось в 9 30.
при помощи уравнения мериднонального контура го='о(х) и примем те же обозначения для координат и компонент скорости— продольной и нормальной к поверхности тела. В данном случае име- ется дополнительно азимутальная компонента скорости в. Уравнения пограничного слоя будут иметь вид ди ди ди я' дго — +и — +о — —— д! дх ду го дх дш дш дш иш дго д! дх ду г, дх д (гои) + д д(гоп) дх ду д(Г ди = с) — +о— дх ду' дом дуо ' (6.63) д6 Член — в правой части первого уравнения этой системы отд! сутствует, так как предполагается, что тело мгновенно приведено в равномерное винтовое движение вдоль оси тела с постоянными скоростью поступательного движения (у и угловой скоростью вращения ш . ') ! ! ! ! я й ш о г ! Ь С., Рйй.
М ап. 45 (! 954), 360. представляют заданные функции от времени, определяющие характер изменения угловой скорости ш диска со временем. Подставляя предыдущие разложения в уравнения Стокса и приравнивая коэффициенты при Ро, получим систему обыкновенных уравнений относительно функций Г. г'г, г'ю ..., 6, 6н 6, и т. д., причем функции Г, 6, Н, Р совпадают с ранее упомянутыми функциями задачи Кармана †Кокре. Последующие функции были вычислены при цомощп машин и приведены в форме графиков з цитированной статье Спарроу и ! регга, Там же поставлен и разрешен вопрос об условии, при выполнении которого нестационарное вращение диска может рассматриваться как «квазистационарное», т. е. в каждый данный момент времени как равномерное, но со своей угловой скоростью ш(!), где ! играет роль параметра. Это условие с достаточным приближением может быть выражено в виде Пренебрегая в первом приближении конвективными членами, придем к системе уравнений ди, дои, — =т —, дт дуя ' дго, д'ю, дт ду' (6.64) д д д (гоиг)+ д (гоо!) = О, дх ду которув надо решить при граничных условиях и, =О, о,=О, ну,=о>го(х) при у=О, !> О, (6.66) и,=и(х), ш,=о при у = со.
Решение это хорошо известно; оно представится в виде и, = У (х) Ег! ~1, — 1 и ог — — — 2 ~/гг — — „(гоУ) / Ег(тде, о (6.66) ти1 — — иго ег1 ти где поло!кено Ег(т== ) е нф~ 2 Р— / о Компоненты скорости во втором приближении положим равными и,+им о,+он ш,+шз. Тогда добавки иа, оа, юз будут удовле- творять системе уравнений д и, дио ди, ди, гиг дг „ дУ ч — — — =и — +о — — — — — (~ —, дуг дт г дх 'ду го дх дх' ъ и +и + д'юе дед дж, дги, и,ог, дг, (6.67) дуо дГ г дх г ду гц дх' д д (гои2) + д (гоно) = О, дх у Интегрирование атой неоднородной системы прн нулевых граничных условиях не представляет прннниниальных трудностей, но громоздко с вычислительной стороны.
Приводим результаты (У' иго иго тио =с (мого дх Кш+ "о() дх Коз) (6.68) $42) тило вглщення, внезапно нгиведвнноа в винтовое движение 197 198 тввхмввныв осесиммвтвичные погглничныи слои 1гл. чг где введены следующие обозначения (и= 1/'1/гн7' /аг = — (1 + — аа) 7+ ( — + — аа) 7г — 21+ лг — и.
2 а 1 2 4 а. /! 4 а1 7 = — и/+( — — — а)А — л 3 12 3 7 = — (1 — 2аа),у + (2 — 2еа) А — т, 4 . /! 4 — — еау' — ( — — — аа) й+ и, ьа1 3 (2 3 ) — — еа(-4- ( — — — аа) 7г+ 21 — 2лг+ а( 8 /3 8 7' = 1 ~-2т1а, А =(! -1-24а) Ег1 т1+4(Ег1 т1)'. 1 = Ег1 ~7 — 1, па = 2т1а Ег(ай!+ 24Ег1 т1(Ег1т1)'+ -4- — [(Ег1 т1)'!а+ 2Ег1 т! — 1, и — (т1а-! — ) Ег(а т1+ — т! Ег1 4 (Ег1 т!)'+ — а (Ег1 т1)'.
1т 1 / 2 2) 2 3 Мы не приводим выражения для оа, так как оно очень громоздко и имеет значение лишь для получения третьего приближения, которое мы здесь не помещаем, отсылая интересующихся к цитированной в начале параграфа статье, где зто третье приближение вычислено. Для продольной т и поперечной т, компонент напряжения трения по поверхности тела вращения будем иметь с точностью до членов с Гт следующие выражения: е„= 0 56419(ф) ~0+~1,4244У вЂ” „+0,1512 — — „' + + 0,72676 ~~ге — „' ~ 1 — ~0,05975(уа — „, + 0,21987 У ( — „) + 0 03154Уз ~ а ) + 0,102869ыо — „го „д + , .У,й, +0,007592о4(lг~ — „,'+0,22073!в„У( — „') ~Га+ ...~, г, = 0,56419 ф) ' ~аега+ ~0,1512шзге — + 0,6977шеУ вЂ” „' ) Г+ ИЧI /Л/~а ~~~~ ~~а я'аг + 0,0! 826ыого е + О, 1 6698ыаго ~Я) ] Га „+ ° 421 телО ВРАщения.
ВнезАпнО пРиВеленное в винтовое движение 199 В частном случае сферы радиуса а получим 3 . х х и= — 2и„з!и-, гв=пз(п —, а' 0 а' предыдущие формулы, если ввести еще для краткости обозначения а а и г СО а ' (га терейдут в такие . = 0,84628 ® У з1п — 1 ! + ~(2,3634+ 0,4845!р) соз — ~ $— — ~ — (О, 17955+ 0,00?592Д) з!Пт — + + (0,48844+ 0,323601~) сова — ~ (а-(- ...~, = 0,56419 ! — '1 ы а а!и — ! 1-+ 1,2732 соа — ° 1-+ в + ~(0,1077 — 0,018269) Рйпа — + + (8,2548+ 0,16698р) созе — ~ (з+...~. —.
первом приближении и квадратному уравнению (0.48844+ 0,323601р) (~а+ (2,3634-+- 0,484518) с,а — 1 = 0 ,о втооом поиближении. Таблица 16 0,423 0,415 0,351 0,139 0,391 0,383 0,322 0,130 0 0,1 1,0 1О Из таблицы 16 можно заключить, что чем больше угловая ско1ость вращения, тем ранее возникнет отрыв в задней критической очке. Этот любопытный факт объясняется теми же причинами, «птах л, п~ па г~.
я иои~ю а ао В силу симметрии можно считать, что отрыв пограничного слоя поверхности сферы происходит по окружности, на которой т„= О, -Зтрыв в задней критической точке начнется в момент времени Г =1,, довлетворяющий уравнению $м = — — (2,3634+-0,48451~) ' 900 тгехмеяныя осесимматгичные погелничныв слои [гл. т $ 43.
Распространение закрученной струи в затопленном пространстве ') К области вопросов, затрагиваемых в настоящей главе, относятся и движения жидкости в закрученных струях, бьющих из некоторого источника в пространство, затопленное той же жидкостью. Выбирая в системе цилиндрических координат ось струи за ось х и обозначая через и, о, ю соответственно осевую, радиальную и азимутальную компоненты скоростей, получим уравнения распространения закрученной струи в виде лщл г ди ди и — +о— дх дг ~р дг дге ды ога и — +о — +— дх дг г д (ги) д (го) дх ду (6.69) В отличие от незакрученной струи (9 37) в этих уравнениях появляется еще азимутальная скорость ш и сохранены величины — и — , так как благодаря центробежному эффекту внутри струи др др дх дг ' образуется поперечный перепад давлений, а он в свою очередь вызывает и продольный перепал.
К граничным условиям незакрученной струи (5.67) присоединяются еще условия для азимутальной компоменты ти — мы будем в дальнейшем называть ее скоростью закрутки— та=О при г=О, щ=О при г=со. (6.70) — [г(р+ гиа)[+ —" г[(рио — р — )~ = О, Проинтегрировав его поперек струи от г = 0 до г = со, нзйдем д /' ди — 1 г(р+ги)дг-[-'[г(рио — р — )~ =О. ') Л о й ц я и с к и й Л. Г., ПММ, г. ХУ!1, в. 1, 1953. Условие наличия нетривиального решения этой задачи с нулевыми граничными условиями можно получить, залавая илгпульс и момент количества движения струи. Выведем следующие два интегральные условия сохранения импульса и момента. Пользуясь уравнением нераарывности (последнее уравнение системы (6.69)), перепишем первое уравнение той же системы в виде 20! й 43) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗАКРУЧЕННОЙ СТРУИ Примем, что Нш тип=О, 11гп г — =0 при х) О, ди г +сю т ~ со причем заметим, что правильность этих допущений может быть про- верена впоследствии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
