Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(толщина датчика 6 мала, а коэффициент Х велик) температуру в данный момент времени можно считать одинаковой по всему датчику и равной измеренной с помощью термопары. Перестраивая полученную зависимость в полулогарифмических координатах 1!п (Т! — Т) =- 7 (т)), определим т на участке регулярного режима по формуле (4.37) (см. рис. 4.10). А затем, пользуясь выражением (4.42), легко найти а. В этом случае в качестве Р должна браться лишь та площадь поверхности датчика, которая воспринимает конвективный тепловой поток. Остальную часть его поверхности при установке датчика стремятся тщательно тепло- изолировать, поскольку важно быть уверенным, что за время измерений 1 (т) утечки тепла от датчика в корпус или иным путем пренебрежимо малы в сравнении с конвективным потоком Я = = а (Т~ — Т) Р.
Основное преимущество данного метода регулярного режима состоит в том, что при очень малых, а следовательно, малоинерционных датчиках время измерения можно сократить до 1 с и менее, что важно в экспериментальных установках кратковременного действия, таких, например, как аэродинамические трубы больших скоростей. Лругой пример практического использования регулярного режима относится к экспериментальному определению теплофизических констант материала. Поскольку ири В1 — со а = К то, найдя экспериментально т и зная коэффнпиент формы К (если образцу придана простая геометрическая форма), можно определить коэффициент температуропроводности материала а. Как уже говорилось, т быстро приближается к т с ростом В1 (или а).
Поэтому с достаточно высокой точностью при больших, но конечных В1 можно принять т =- т . Поместив образец в водяной термостат, где температура поддерживается постоянной идет интенсивное вынужденное перемешиваиие, обеспечиваю- и!ее высокое значение коэффициентов теплоотдачи а, измеряют ~вделанной внутрь образца термоцарой величину Т через определенные промежутки времени. Р!з построенной для участка ре- !01 гулярного режима зависимости !п 6 =- 1 (т) находят т =- т„ и, зная К, вычисляют коэффициент температуропроводности а по формуле (4.41).
4.7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЬЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ Ранее было показано, что при наличии объемного тепловыделения уравнение теплопроводности в твердом теле имеет вид дТ 4 ! — = ачзТ +. — аю дт ср дТ д'Т вЂ” =- а —,+1(х, т) дт дх'- (4.43) с начальным условием Т (х, О) = О и граничными условиями Т (О, т) = О; Т (1, т) =: О. (Однородность начальных и граничных условий принята здесь для упрощения.) Пользуясь методом разделения переменных, будем искать 7 пл решение в виде ряда Фурье по з!и ( — х) Т(х, т) = ~1„(т) з!п ( — х) . л=! Для решения задачи нужно найти функции 1„(т).
Представим заданную функцию ! (х, т) также в виде ряда по з)п( — х): 1 (х, т) = ~ 7„(т) з1п ( — ' х), л=-! где коэффициенты Т„определяются по известным соотношениям Т'„(т) = — ~ ! Д, т) з1п ( — $) с$. о !02 где дг — известная функция, характеризуюп!ая объемную плотность тепловыделения, т. е.
количество тепла, выделяющееся в единице объема тела в единицу времени. В общем случае дт может быть функцией как координат, так и времени. Нестацио!!арные задачи этого типа значительно сложнее рассмотренных ранее, поэтому в рамках этой главы мы продемонстрируем подход к их решению на простейшем примере пространственно одномерной задачи с однородными граничными условиями 1-го рода.
Математическая формулировка задачи о бесконечной пластине Чд толщиной! при — == 1 (х, т) сводится к дифференциальному урав- нению Подставляя предполагаемую форму решения в исходное уравнение задачи (4.43), получим ~ з(п —" х [( — "" ) аМ„(т) + — „— („(т)1 = О, а=( Зто уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты ряда, т, е. выражения в квадратных скобках, равны нулю; — „" = — а ( — ) („(т) + („(т).
(4. 44) Т (х, 0) = ~~) )„(0) з)п ( — х) == О, Отсюда следует, что все ), (О) = О. Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4 49) с этим начальным условием имеет вид — ( — ~ а (а — а') С„(т)= ~е )» (т)(~т . о Таким образом, решение исходной задачи представляется в ниде ряда Т(х, т) = «=0 з)п( — 'х). Подставляя сюда функции )„(т), получим Т (х, т) = — ~ — ) а (а — т') — У е з)п ( — х) з)п ( — с) а=) Х)Д, т')(($((т'= О(х, $, т — т'))($, т')((~Лт', т( а — (а ) а(а — а') где 6(х, В, т — т') = — ~) е з)п('-~~-'х) з)п( — ""~). В качестве примера мы рассмотрели неоднородное уравнение с Функцией ) (х, т) в правой части, но с однородпыми (нулевыми) )оз Это обыкновенное дифференциальное уравнение для функций (т). Начальные условия для него найдем из начального условия исходной задачи начальными условиями.
Если начальные условия отличны от нуля, то к полученному решению следует прибавить решение однородной задачи (без внутренних источников тепла) с заданными начальными условиями Т (х, 0) = ~Р (х). Что касается нулевых граничных условий, то к ним можетбыть сведена задача с Т (О, т) =- = Т ((, т) = — сопя( ~ 0 простой заменой переменной. 4.8. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 4-го РОДА В практике встречаются задачи, когда теплообмен тела с окружающей средой происходит не излучением нлй конвекцией (граничные условия соответственно 2-го и 3-го рода), а при помощи теплопроводности.
Такой случай встречается, например, при теплообмене тела с очень вязкой жидкостью или в системе тел, находящихся в тепловом контакте. Здесь для каждого из тел такой системы имеют место так называемые граничные условия 4-го рода, т. е. теплообмен между те.чом и окружающими его телами или средой происходит по закону Фурье. Эти условия при идеальном тепловом контакте соприкасающихся тел требуют равенства температур обоих тел (или тела и среды) на поверхности контакта, а, кроме того, тепловые потоки в обоих телах у самой поверхности должны быть равны между собой.
Математическая формулировка граничных условий 4-го рода имеет, таким образом, следующий вид: Т,(0, т) = Т,(0, т); — Л, '( ' = — ).х — '', (4.4б) дз дз где индекс «!» относится к телу, а «2» — к окружающей среде или примыкающему телу; граница раздела условно помещена в начале координаты и — нормали к поверхности контакта. Для иллюстрации этого случая рассмотрим простую одномерную задачу. Пусть два полубесконечных тела, обладающих различными теплофизическими свойствами, приведены в момент времени т = 0 в идеальный тепловой контакт по плоскости уг (х = 0). Протяженность первого тела не ограничена по осям у и г и в положительном направлении оси х. Второе тело простирается до ~со по осям у и г и от 0 до — со по оси х. Температура первого тела в начальный момент времени равна Тр, а второго — нулю.
Задача состоит в отыскании распределения температуры в телах в любой момент времени и формулируется следующим образом: дТ, (х, т) д«Т, (х, т) — =а, ',' (т~О х О); дт дх' — — »~« *(О). дТ,(х, т) д'Т, (х, т) Начальные условия к этой системе уравнений: Т, (х, 0) = То' Тх (х, 0) = 0; граничные условия — Т, (О, т) = Т, (О, т); — ' Х~х )04 Рис.
4.12, Графическая картина распределения теплообмена (граничные условия 4-го рада при идеальном тепловом контакте) х '( ' т) = ( ' ). Эта задача дх ох как и ранее рассмотренные, допускает аналитическое решение различными методами (разделением переменных, операционным и др.), Приведем здесь лишь окончательный вид этого решения: г Т,(х, т) =- Те ~1 + К ег1( " )~ (х)0); (4.46) Т,(х, т) =- Т, . ~1 — ег1 ) (х(0), (4.47) 1+К~ 2 р'оат ! 2 $ ег1$ = = ~ е — Е'2$ — интеграл вероятности Гаусса. )т'и На рнс. (4.12) приведен характер зависимостей Т (х, т), описываемых этими решениями.
Если т — ь оо, можно найти ту единую температуру, которая установится в обоих телах в стационарном состоянии. Так как ег1 (0) = О, то Т, (х, оо) =-. Т, (х, оо) = Те ~ К е1+К' (4.48) При К = 1 (одннаковы тепловые активности тел) установится средняя арифметическая температура Т (х, оо) =- Те/2. Важно отметить, что на границе раздела (х =- 0) это равновесное значение температуры усгановится уже с самого начала процесса, т. е. в любой момент времени: Т,(0, т) = Т,(0, т) = Т(х, о) = Т,—. (4.49) К вЂ” о1+ К ° 105 где К = ='= 1 '"Р'; К„= — '; К.
= —" (величину К иногда называют отношением коэффициентов тепловой активности); с, и с, — удельные теплоемкости первого и второго тел соответственно. Функция ег1 определяется хорошо известной формулой: ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. В чем состоит основная идея метода разделения переменных для задачи нестапионариой теплопроводностя? 2. Поясните номограммы для определения безразмерной избыточной тем. пературы. Как их использовать для решения задач аестационарной теплопроводности в случае тел простейшей формы? 3. Что дает использование численных методов при решении задач нестацио.
парной теплопроводности? Какие основные достоинства и недостатки явного метода и неявного метода? 4. Что собой представляют регулярные тепловые режимы? Какие они бы. вают? 5. Как используются регулярные режимы 1-го рода для экспериментального определения коэффициента теплоотдачи и коэффициента температуропроводности? 6. Что собой представляют граничные условия 4-го рода? .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
