Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Т~ = О. Решение (4.15) можно переписать в виде бесконечного ряда Т(х, у, г, т) =- 2, 'с„д„(х, у, г) е, (4.34) или Т(х, у, г, т) = с,д,е — '+с,б,е — "+ . ° (4.35) Рассматривая поведение ряда (4.35) с ростом времени т, убедимся, что все его члены убывают по времени, хотя и с неодинаковой скоростью. Причем, поскольку л4, ( т, ( т, ..., члены высших порядковых номеров убывают быстрее и уже очень скоро становятся пренебрежимо малыми.
Поэтому температура какой- либо произвольной точки тела задолго до достижения ею температуры окружающей среды (в нашем случае Т! —— 0) будет определяться, по существу, первым членом ряда (4.35), т. е. следовать простому экспоненциальному закону Т(х, у, г, т) ж С,дд(х, у, г)е — т Е (4.36) Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом 96 РегУлЯРного, т.
е, УпоРЯДочен- '44(ггго! ного режима. Функция 0 (х, у, х) по определению не зависит от начальных условий, а С„ хотя и определяется из начальных условий, но не зависит от коорди- ' й, нат точки и является постоянной геяу — — м «'з«.» длЯ всех точек тела. ПоэтомУ гпв Ум 1 при наступлении регулярного ре- п г ф жима можно считать, что начальное тепловое состояние тела Рис. 4.!О. Изменение по времени ' больше не оказывает влияния на логарифма избыточной температузакон изменения температур по ры двух точек произвольного тела времени во всех его точках. Логарифмируя выражение (4.36), получим 1и Т = — зпгт + д)п Т + Е (х, у, й), а следовательно, — — = пты т.
е. зависимость 1п Т от т в области регулярного режима для всех точек приобретает линейный характер, причем ее угол наклона одинаков для всех точек и равен — агс!и пт, (рис. 4,10). Величину т (индекс далее опускаем) называют темпом охлаждения. Существенно, что поле температур в теле в процессе регулярного охлаждения остается подобным самому себе, поскольку отношение температур любых точек тела становится постоянным и не зависящим от времени, а определяется лишь координатами этих точек, В этом легко убедиться, поделив полученное из равенства (4.36) выражение для Т, (х„у„х„т) на выражение для Т, х Х (хг, 9з хг т)! й, (»м рм гз) Тг йз(хз, ум гз)' Темп охлаждения пт зависит от формы, размеров и материала тела, а также от граничных условий задачи.
Значение т можно определить, замеряя в эксперименте изменение температуры какой-либо точки охлаждаемого тела по времени. Для этого, построив график зависимости 1п Тот т, следует взять на прямолинейном его участке (область регулярного режима) две точки и тогда )п Т (т,) — )п Т (т) (4.37) тг — тт Если Ту Ф- О, то под Т следует понимать разность температур тела и среды. Наглядную интерпретацию становления регулярного режима охлаждения можно дать, рассмотрев распределение температуры по толщине плоской стенки, помещенной в среду с постоянной температурой (рис. 4.11).
Если вначале (т = О) распределение температуры имело вид, изображенный кривой А'А, то в ближайшие за начальным моменты времени т, и т, изменения температуры отдельных точек по времени во многом еще определяются не внеш- 4 двауеаскна 97 Рис.
4.11, Распределение температуры пе телп,ине плоской стенки (граничные условия З.ге рода) для рааличяых моментов времени при произвольном начальном распределении А'А д С ними условиями (Тг ( Т (х, у, г, 0) ), Ю а самим начальным распределением. Так, в некогорых сечениях (близких к х,) температура сначала начинает даже возрастать. Но постепенно влияние начальных условий ослабевает, и, начиная с т ж та, температура всех точек тела начинает падать по одинаковому экспоненциальному закону„т.
е, наступает регулярный режим. Выше было дано представление о регулярном режиме охлаждения (нагрева) тела в среде с постоянной температурой Тп Понятие регулярности режима может оыть обобщено и на случай изменения Тг во времени по таким просгейшим законам, как линейный и гармонический. (При рассмотрении регулярных режимов здесь не делается различия между задачами с граничными условиями 1-го и 3-го рода, поскольку ранее было показано, что при Х~сс — ь 0 обе задачи эквивалентны (Тг — Т 1, а значит и все выводы, полученные из рассмотрения задачи с граничными условиями 3-го рода, легко обобщаются на случай граничных условий 1-го рода.) В соответствии с названными выше тремя типичными законами изменения Тг во времени различают регулярные режимы трех родов.
Рассмотренный в начале этого раздела Тг — — сопз1 называется регулярным режимом 1-го рода. Признак регуляризации режима ! -го рода состоит в том, что изменение температуры в каждой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек: Т = Стбте- '1 С, =- сопз(1 4) = 4) (х, у, г). Регулярный режим 2-го рода (дТС)дт = сопз1 = Ь) наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, оощей для всех точек тела и, во-вторых, равной скорости изменения температуры внешней среды: дТ дтг — = — =Ь дт дт т.
е. Т = Тг ы М (х, у, г). Для регулярного режима 3-го рода (когда Ту —— Тм + + А соз вт) характерно, что температура любой точки тела колеблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, т, е. с периодом, одинаковым для всех точек тела: Т =- Р гпп вт + 1',1 соз вт =- Тс -1- А ' соз (вт — ч), где Р, Я, Тв, А' и ~р — функции координат. (Очевидно эти колебания происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены 98 по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.) Остановимся подробно на регулярном режиме 1-го рода.
В некоторых слу ~аях регулярный режим может наступать сразу после начала процесса охлаждения или нагрева тела. Пусть тело произвольной формы, с объемом У и поверхностью Р обладает высокой теплопроводностью Х, а коэффициент теплоотдачи у поверхности и мал. Это означает, что критерий В1 = а(./Х « 1 и можно считать, что температура внутри тела очень быстро выравнивается и в каждый данный момент времени близка к постоянной, равной температуре его поверхности Т . Тогда уравнение теплового баланса, приравнигаюшее количество тепла, поступившее через поверхность .ела, к изменению его эн;альпин, запишем в виде (4. 38) В э~ом уравнении Т вЂ” температура тела — не зависит от координат (х, у, г) в силу предположения, что В( « 1.
Считая теплофизические характеристики системы постоянными и вводя новую переменную 6 =- Т~ — Т, легко проинтегрировать это выражение: Л1п 6 яя = — — = — т Лт рск (4.39) или (4.40) представляющий собой отношение средней поверхностной температуры к средней по объему (очевидно, что при В1 « 1, когда Тх 4» 99 где т = сопз1. Таким образом, при В1 « 1 регулярный режим устанавливается сразу после начала процесса.
Уравнение, аналогичное уравнению (4.38), можно составить и для г. учая, когда В( произвольно, т. е. температура в различных точках тела в данный момент времени различна. Только при этом пришлось бы воспользоваться понятиями средней по объему 1 Г избыточной температуры Вг = — ) Ц 6 ~!У и средней по 1 поверхности избыточной температуры 6 = — ! ') 6 с(Р, И где В =- Тз — Т (х, у, г) — местная избыточная температура в данный момент времени. В этом произвольном случае темп охлаждения пг отличался бы от выражения (4.39) при В1 « 1 на коэффи- циент х (х, у, з) = Т„, 6 = 6к и ф =- 1; другой предельный случай, когда !р = О, соответствует В! -- оо, т.
е. максимальной неравномерности температурного поля внутри тела). Коэффициент !р, таким образом, характеризует неравномерность температурного поля в теле и потому, естественно, зависит от критерия В). Из выражения (4.40) видна также его зависимость от формы тела (от г" н Р). К. тому же выводу можно прийти, рассматривая т, в уравнении (4.35) как а))„где ))! — собственные значения, определяющиеся формой тела и граничными условиями. Однако, как уже говорилось, найти ()! для тел более или менее сложной формы весьма трудно. Итак, при произвольном В) темп охлаждения ос" т = !р— ср)с Ф и при В! — !- оо (а -+. оо) !р стремится к нулю.
Однако в этом предельном случае, который очевидно сводит задачу с граничными условиями 3-го рода к задаче с граничными условиями 1-го рода (Т! — — Т ), темп охлаждения стремится к определенному конечному пределу, независящему от В( и прямо пропорциональному коэффициенту температуропроводности тела а (это утверждение называют 1-й теоремой Кондратьева): а = Кт (4.41) В этом выражении коэффициент пропорциональности К зависит лишь от формы и размеров тела и для задач с граничными условиями 1-го рода, где доступно аналитическое решение (пластина, шар, цилиндр, параллелепипед и др.), может быть получен из показателя экспоненты первого члена ряда, представляющего соответствующее решение, Так, для шара радиусом Я К )!а(лм для цилиндра радиусом Я и длиной 1 ! (2,4048/)))' + (я)!)' ' для параллелепипеда со сторонами 1„1„1, 1 ~', (я)!!) Его размерность — м'.
Важным с точки зрения практики является то обстоятельство, что с увеличением В! темп охлаждения т очень быстро приближается к своему предельному значению т, соответствующему В( — оо. Исходя из сказанного, укажем на некоторые практические приложения теории регулярного режима 1-го рода. 100 В теплофизическом эксперименте часто необходимо экспериментально найти коэффициент теплоотдачн а на каком-то участке поверхности. В этом случае удобно воспользоваться тем обстоятельством, что при В1 — О ф -э 1, а следовательно, а= т Р Заделав в интересующей части поверхности тела датчик в виде тонкой пластины из теплопроводного материала (медь, серебро) и подсоединив в нему термопару, связанную с регистрирующим устройством (напрнмер осциллографом), можно получить зависимость температуры датчика от времени, после того как тело, на поверхности которого установлен датчик, поместили в поток или среду с постоянной температурой Тр Вследствие малости В1 = = — аб!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
