Глава IV. Теплопроводность при нестационарном режиме (1013633), страница 2
Текст из файла (страница 2)
4.!. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры ((В = (Т вЂ” Т73!'(Тс — Т7! ] плоской бесконечной пластины: а — и аааскасти симметрии; б — ии паисрхиасти 35 т,а 08 О,б 0,5 0,4 01 Ва а,пб а,аб 0.04 аа5 7-0 7,0 08 0,6 0,5 0,4 0,5 и,! п,ав 006 ааб 004 П,05 ООО оо о ''о о о', 70 0,8 0,6 0,5 0,4 0' 0,08 П,ПВ 0,05 П,П4 0 05 7,0 О,В О,б 0,5 К4 0,3 0,7 008 Оаб 0,05 а,04 0 05 Построив графичесни эту зависимость и нанеся ва тот же график зависимость Ро =. 1' (В!В зада!.ную таблицыг значений, взятых из номограммы 4.(, б, в точке пересечения двух криных получим совокупность значений Ро и В!, удовлетворяющую требованию задачи. Этими значениями являются Ро — -- 4,3 и В! = О,!3, х По любому из них найдем потребную толщину стенки сопла; 6 = В! — = !х =- 0,(3 — =- 3,9 !О х и.
30 !000 Интересно рассмотреть качественный характер и некоторые предельные случаи изменения безразмерной избыточной темпера- 1-0 ч 1,0 ОВ п,б 0,5 0,4 1,0 п,в в =и! п,б 05 04 0,7 аа ол П,г 00В и пб о. е' о о -о о е,- апг йп! О. 01 1.0 О,В О,б 0,5 аь 0,5 ааг ор О,г рр р хр о о 5» 0,1 ОПВ баб Г(05 0,04 а 05 а,! аав О,аб 0,05 а па 0,05 о о о'р -.оо л о ,е. е» 'ь йпг п,пг п,п1 Па! б в !о !г а Рис. 4.2. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры бесконечного цилиндра: е — нн ееи; б — не веиерхнеетн 86 п,г й! П,ОВ О,пб й05 йпг 1,0 п,в п,б 0,4 а,г туры по безразмерному времени (го) при граничных условиях 3-го рода.
Очевидно, что при фиксированном числе В1 температура поверхности Т быстрее приближается к температуре окружающей среды Ть чем температура в точках, расположенных глубоко внутри тела (см. рис. 4.3). Степень этого различия в скоростях зависит, однако, от В1 = а11Х,. Так, при В1-+. О температуры центра и на поверхности в течение всего процесса можно считать одинаковыми, так как приток тепла к телу вследствие конвекции мал (мало сс), и температура внутри тела успевает в каждый момент выравняться в силу большой его теплопроводности (большое Х). В случае же В1 — ~- оо отличие в температурах внутренних точек тела и его поверхности будет максимальным, так как задача, как уже говорилось, стремится к задаче с граничными условиями 1-го рода, когда Т =- Т, в течение всего процесса.
Это легко обнаружить и на номограммах (см. рис. 4.1 . 4.3), сравнивая зависимости безразмерной температуры от Го в центре и на поверхности при малых и больших значениях В1. В практикс часто нельзя воспользоваться решениями для тел бесконечной протяженности (пластина, цилиндр) в силу того, что продольный размер реального объекта (например длина цилиндра) сравним с поперечным (его диаметром). В этих случаях задача сушественпо неодномерна. т-а» а,5 а5 а,г ааг а) т-а„ а,5 аз аг аа5 а,аб а,аг да~ да5 г г 5 5 5 та аб г, а) Рис. 4.3.
Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры саара: н — в центре; б — на поверхности 87 Рис. 4.4. Схема решения задачи о нагреве (охлаждении) нилиндра нонечнои длины (граничные условия 3-го рода) 4.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ (МЕТОД ФУРЬЕ) Классическим методом решения уравнения (4.7) является метод разделения переменных (метод Фурье). Идея метода состоит в предположении, что решение можно представить в виде проазведения двух функций, одна из которых является функцией безразмерных координат, а другая фупкцисй только критерия го. Таким образом находятся частные решения уравнения Ь)хо удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие начальным.
Затем, пользуясь линейностью уравнения, находят решение как линейную суперпозицию этих частных решений б) =-- = ~~ А„ш„, причем такую, которая удовлетворяет уже начальч —.— ! ным условиям путем соответствующего выоора коэффициентов А„. Итак, представляем 6 в виде 6(х, у, й, Вй Го) = гр(х, у, г, В1)чр(го). (4.10) 88 +х Можно показать, что для ряда простейших тел конечных -у размеров решение может быть по'и у ч лу гено комбинацией нмеюипзхся решений для тел бесконечной -к +х протяженности. Для цилиндра радиусом )с и длиной 2б рсше"о 'о г ние находится по формуле 0 = =- ОвлОннл, где Внл, О„„л — релзатермм шение для пластины и цилиндра еу соответственно (рис. 4.4). Для параллелепипеда с ребрами 26„, 26, и 2йа безразмерное решение будет равно 0 = 0,6аО„ где О; — безразмерное решение соответствующей задачи о бесконечной пластине толщиной 26ь Посгроение комбинированных решений для тел конечной протяженности, продемонстрированное здесь на примере задачи с граничными условиями 3-го рода, возможно и в задачах с граничными условиями других родов.
Следовательно, номограммы типа приведенных иа рис. 4.1 ... 4.3 для определения температур простейших тел в нестацвонарных процессах применимы к весьма широкому кругу неодномерных задач. Следует учитывать, что полученные с помощью номограмм решения носят приближенный характер, так как они получены в предположении постоянства а по поверхности, неизменности теплофизических свойсгв тела по температуре и т. д. Подстановка (4.10) в уравнение (4.7) дает срВг =фпср или ~рдр ="~Р<р (411) откуда ! дф 1 ~~2 ядро ч Здесь слева функции только времени, а справа — только координат. Равенства (4.! 1) возможны лишь в том случае, если как левые, так и правые его части — одинаковые постоянные величины, не зависящие ни от времени, ни от координат.
Обозначим эту константу через — ст» (знак минус принят для удобства последующих преобразований,. что отнюдь не налагает каких-либо ограничений на знак самой константы т). Тогда исходная задача сводится к следующим двум: 1) — — = — т; 1 дф ф дно (4.12) — г д~р, 2) — у2<р = — -т; р (4. 1 3) ~р ' ~ рн (, дп Лр Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.12) имеет вид (4. 14) ф =-А ехр( — шло), где А — произвольная константа. Из полученного вида решения видна непригодность значений лч < О в рассматриваемой задаче, так как при т < О функция оказывается монотонно растущей функцией времени, что противоречит физическому смыслу задачи, согласно которому тело стремится к тепловому равновесию, т.
е. Вгп $ =- О. го Решение второго уравнения (4.13) зависит от геометрии тела. При этом оказывается, что не все положительные значения т позволяют удовлетворить граничным условиям так, чтобы решение не было тривиальным: гр = О. Дискретные значения постоянной и, при которых задача (4.13) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным условиям, называются собственными значениями задачи (4.13) и обозначаются тм т„гл„..., т„, ... (причем т, < глз < тз <"- < гп„...).
Соответствующие решения называются собственными функциями задачи (4.13) и обозначаются ~рм ~ры рм ..., ~р„, .... Общее решение уравнения (4.7), таким образом, имеет вид 9 = 2', А„~р„ехр( — т„Ро). (4.15) л=! Как уже говорилось, коэффициенты А„ выбираются из условия удовлетворения решения начальным условиям, т. е. при Ро = =О 1 = ~з А„~р„(х, у, й, В1). ч=~ (4.15) Рис.
4.о. Схема к задаче оо охлаждении плоской стенки (граничные условия 3-го рода) Для нахождения коэффициентов единица раскладывается в ряд по собственным функциям тр„. Рассмотрим конкретный пример определения собственных значений и собственных функций задачи в простом случае пространственно одномерной задачи об изменении температур в плоской бесконечной стенке толщиной 26 (рис. 4.5), В качестве характерного размера 1 возьмем 6. В этом случае задача (4.13) будет иметь вид 1 Наср — — —, = — т; (4.17) <р ох"" р(1) = в и ' (4'18) ! т(~р (1), 1) = в ~~ля (419) Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что распределение гр в стенке будет симметричным относительно плоскости х = О. Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться нч (и) (4.20) ох Это условие позволяет освободиться от 2-го граничного условия (4.19) при х = — 1 и свести к задаче о пластине толщиной 6, теплоизолированной от поверхности х = О. Частное решение исходного уравнения (4.17), удовлетворяющее граничному условию (4.20), имеет вид гр = 0 соз () лтх).
(4.21) Граничному условию при х = 1 это частное решение удовлетворяет, если В! О, соз ) т — 0„3 т зш ) т -.=- О. (4.22) Это уравнение получается подстановкой равенства (4.21) в условие (4.18). Отсюда получаем Ад)~ т =- )~го/В!. Это характеристическое уравнение позволяет найти собственные значения, а следовательно, и собственные функции рассматриваемой задачи.
Обозначая )г т через р, получим с1д р = р('В!. (4.23) На рис. 4.6 показан графический метод отыскания корней характеристического уравнения как координат точек пересечения котангенсонд ут = с!о р с прямой у, = )к(В!. Очевидно, что число корней бесконечно, причем каждый последующий корень больше 90 предыдущего: р, < р, < р, « ... <р < .... Этот набор корней зависит от В1. Таким образом, решение задачи (4.13) в данном случае имеет вид ср„(х, В1) =- 1:1 сов (р„х), или гр„(х, В1) = В сов ()/т„х), а общее решение (4.15) дифференциального уравнения теплоироводности 6(х, В1, Ро)= Л„соз()/гп„х) ехр ( — ж„)то). (4.24) Рис.
4,6. Графический метод отыскания корней характеристического уравнения Условие (4.16) для нахождения коэффипиентов Л, примет вид 1 =- 2', Ал сои(Р'~пах), откУда А„= "" ', т. е. л=и р'т„ + ми 1 тесов\/тл 6(х, В1, Ро) =, соз(рггл„х) ехр(т„ро). ~и 1 шл + Б1о )г тлл сов )г ж~ л — ч (4.25) 4.З, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Упоминавшиеся выше решения простейших задач, которые удается затабулировать или свести к расчетным номограммам, получены при неизменной по времени температуре окружающей среды Тг (или температуре стенки Т, илн теплового потока д ), а также при одинаковой по всему объему тела начальной температуре в момент т = О, В виде рядов выписывается решение в случае произвольно заданного распределения температур при т == 0 для тел простейшей формы и одномерных задач (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
